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無限旅館悖論 - 傑夫‧德克夫斯基

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    在1920年時期，
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    德國數學家大衛‧希爾伯特
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    設計了一個聞名的思考實驗
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    向世人展示要了解「無限」的概念
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    究竟有多麼困難。
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    試想一間擁有無限多間客房的旅館
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    和一名非常努力工作的夜班經理。
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    有一晚，這間旅館的房間均已客滿
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    入住了無限名房客。
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    一個男人走進了旅館，
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    想要入住
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    與其拒絕他，
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    這名夜班經理決定為他騰出一間空房。
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    怎麼做呢？
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    很簡單，經理先將原先入住1號房的客人
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    安置至2號房
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    將原先入住2號房的客人安置至3號房，
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    依此類推。
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    n號房間原有的客人
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    皆安置到n+1號房間。
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    由於旅館內有無限多個房間，
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    每一位既有的房客都能夠搬到新的房間，
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    於是新的客人便得以入住1號房。
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    這個過程可不斷重複，
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    只要新房客的數目是有限可數的。
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    假如一輛遊覽車駛進旅館
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    車上下來了40人都想入住
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    那麼每一位既有的房客
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    只要從原先入住的n號房
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    搬到n+40號房
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    就能將前40間房都空出來給新客人。
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    但假如有一輛無限大的遊覽車
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    載滿了無限多名的乘客
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    停進旅館要入住
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    「可數無限」便成了關鍵。
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    這輛載滿無限多名乘客的無限大遊覽車
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    起初讓夜班經理相當苦惱
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    幸好他後來還是找到了
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    能夠安頓每個新房客的方法。
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    他將原先入住1號房的客人
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    安置於2號房；
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    再將2號房的客人
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    安置於4號房；
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    將3號房的客人
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    安置於6號房；
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    依此類推。
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    每一位既有的房客都從原先入住的n號房
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    搬到2n號房
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    便只有無限間數的雙號房會有人住
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    如此一來，旅館中
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    無限多間的單號房都是空的了
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    而無限大的遊覽車上所乘載的無限多名乘客
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    便可入住
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    這不僅是皆大歡喜的結果
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    旅館的生意也越發興隆了。
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    不過實際上，旅館的生意
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    其實和先前相比沒有任何變化
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    每一晚都賺進無限可數的利潤。
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    這間不可思議的旅館名氣越來越響亮
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    人們從各地蜂擁而至
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    有一晚，意想不到的事發生了
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    夜班經理向外頭一看
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    發現有無限多輛大巴士
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    正在旅館前大排長龍
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    每輛巴士上都載滿了無限可數的乘客。
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    他該怎麼辦呢？
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    如果他無法為這些人安排房間
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    旅館便將損失
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    無限大的一筆收入
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    他也一定會丟了飯碗。
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    還好，他還記得
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    大約在西元前300年時
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    歐幾里得證明了一件事：
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    質數是無限的。
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    於是為了達成這項看似不可能的任務
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    找到無限多的床位
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    給乘坐在無限多輛巴士上的
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    的無限多名疲憊旅客
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    夜班經理將每一位既有房客
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    都安置在第一個質數，2，
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    再依該房客原本入住的房間號碼次方的房間號碼。
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    於是，原本入住7號房的客人
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    就會改住（2的7次方）號房
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    也就是第128號房。
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    接著，夜班經理將無限多輛巴士中
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    第一輛巴士上的所有乘客
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    都安排在下一個質數3
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    再依每一名乘客在巴士上的座號次方
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    所對應的房號。
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    如此一來，第一輛巴士上坐在7號座位的客人
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    便會入住（3的7次方）號房
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    也就是2187號房。
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    第一輛巴士上的客人皆經此安排。
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    第二輛巴士上的客人
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    所各自入住的房號則是下一個質數5的座號次方
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    下一輛巴士，7的次方
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    依序排列：
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    11的次方、
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    13的次方、
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    17的次方等等。
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    由於這些數字
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    只有1和數字本身的自然數次方
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    為其公因數
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    就不會有重複的房號產生。
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    所有的客人便遵循這從質數發展出來的
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    獨特房間安排方式
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    各自散開進入他們的房間。
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    如此一來，夜班經理便能將
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    每一輛巴士上的每一位客人都安置妥當。
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    雖然會因此有許多空房產生
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    例如6號房
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    因為6不是任何一個質數的次方
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    還好，夜班經理的老闆們並沒有很會算數學
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    他也因此保住了他的工作。
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    這位夜班經理所想出的策略之所以可行
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    是因為當這間無限旅館
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    雖然從後勤上來講像是一場噩夢
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    卻也只處理無限的最低層級
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    也就是可數的無限，
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    像是自然數
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    1、2、3、4， 等等。
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    另一名數學家康托爾稱這種程度的無限為「阿列夫零」。
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    旅館的房號和巴士上的座號
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    皆使用自然數。
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    假如我們今天所面對的是更高等的無限
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    例如實數的程度，
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    此類架構之下的策略
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    便不再可行
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    因為我們將無法
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    有系統的包含每一個數字。
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    實數無限旅館將會有
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    負數房號在地下樓層、
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    和幾分之幾的房號
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    於是住在1/2號房的人便總會懷疑
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    自己的房間大小不如1號房
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    平方根號的房號，像是（2的開根號）號房
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    以及數學常數Pi號房，
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    入住此房的客人也許會期待被招待點心
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    有哪一個有自尊心的夜班經理
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    會想在這裡工作
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    即便薪水是無限高？
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    但在希爾伯特的無限旅館
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    住房率總是百分之百
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    卻總還是有空房可供入住
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    這名勤奮並可能過於好客的夜班經理
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    所面對的各種狀況
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    可以提醒我們
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    理解「無限」這樣的概念
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    對人類相對有限的頭腦來說
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    是多大的困難。
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    或許在好好睡一頓覺後，
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    你會有辦法解開這些難題。
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    但老實說，你可能會在半夜兩點時
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    被通知要換房間。
Title:
無限旅館悖論 - 傑夫‧德克夫斯基
Speaker:
Jeff Dekofsky
Description:

全文網址連結： http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

「無限旅館」是由德國數學家大衛希爾伯特所提出的思想實驗，是一間擁有無限多房間的旅館。很容易了解吧？錯了！如果今晚全部客滿，但有一個人、40人、甚至一台無限大的巴士上的無限多名乘客想入住，該怎麼辦呢？傑夫‧德克夫斯基將利用希爾伯特悖論解開這些住宿難題。

教學：傑夫‧德克夫斯基
動畫：The Moving Company Animation Studio
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
06:00

Chinese, Traditional subtitles

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