O Hotel do Paradoxo do Infinito — Jeff Dekofsky

Vejam a lição completa em: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

O Hotel Infinito, um exercício intelectual criado pelo matemático alemão David Hilbert, é um hotel com um número infinito de quartos. Fácil de compreender, certo? Errado. E se estiver completamente esgotado, mas uma pessoa quiser fazer o "check-in"? E se forem 40? Ou um autocarro infinitamente cheio de pessoas? Jeff Dekofsky resolve estas questões de alojamento desafiantes usando o paradoxo de Hilbert.
Lição de Jeff Dekofsky, animação de The Moving Company Animation Studio.

Nos anos 20,

o matemático alemão David Hilbert

concebeu um famoso exercício intelectual

para nos mostrar como é difícil

assimilar o conceito de infinito.

Imaginem um hotel
com um número infinito de quartos

e um gerente muito diligente.

Numa noite,
o Hotel Infinito está completamente cheio,

totalmente esgotado
com um número infinito de hóspedes.

Um homem entra no hotel

e pede um quarto.

Em vez de o rejeitar,

o gerente decide arranjar-lhe um quarto.

Como?

É fácil. Pede ao hóspede do quarto 1

para mudar para o quarto 2,

ao hóspede do quarto 2
para mudar para o quarto 3,

e assim em diante.

Todos os hóspedes mudam do quarto número "n"

para o quarto número "n+1".

Uma vez que o número de quartos é infinito,

há um novo quarto
para cada um dos hóspedes existentes.

Isto deixa o quarto 1 livre para o novo cliente.

O processo pode ser repetido

para qualquer número finito de novos hóspedes.

Imaginemos que um autocarro descarrega

40 novas pessoas à procura de quarto.

Então, cada hóspede já existente muda

do quarto número "n"

para o quarto número "n+40",

vagando assim os primeiros 40 quartos.

Mas agora um autocarro infinitamente grande

com um número de passageiros infinito contável

encosta para alugar quartos.

Infinito contável é a chave.

O autocarro infinito de passageiros infinitos

deixa o gerente perplexo ao início,

mas ele apercebe-se de que há forma

de alojar cada pessoa nova.

Ele pede ao hóspede do quarto 1

para mudar para o quarto 2.

Depois pede ao hóspede do quarto 2

para mudar para o quarto 4,

ao hóspede do quarto 3

para mudar para o quarto 6,

e assim em diante.

Cada hóspede actual muda do quarto número "n"

para o quarto número "2n",

enchendo apenas
os quartos dos números infinitos pares.

Desta forma, esvaziou

todos os quartos infinitos ímpares,

que são então ocupados pelas pessoas

que saem do autocarro infinito.

Todos ficam felizes e o negócio do hotel

está a florescer mais que nunca.

Na verdade, está a florescer

exactamente na mesma quantidade de sempre,

fazendo um número infinito de dólares por noite.

A notícia espalha-se sobre este incrível hotel.

As pessoas chegam de toda a parte.

Numa noite, o impensável acontece.

O gerente olha lá para fora

e vê uma fila infinita

de autocarros infinitamente grandes,

cada um com um número infinito contável
de passageiros.

O que pode ele fazer?

Se não arranjar quartos para eles,

o hotel irá perder

uma soma infinita de dinheiro,

e ele perderá de certeza o emprego.

Felizmente, ele recorda-se

que por volta do ano 300 a.C.

Euclides provou
que existe uma quantidade infinita

de números primos.

Portanto, para realizar
esta tarefa aparentemente impossível

de encontrar camas infinitas

para autocarros infinitos

de infinitos viajantes cansados,

o gerente atribui a cada actual hóspede

o primeiro número primo, 2,

elevado à potência
do número do seu quarto actual.

Portanto, o actual ocupante do quarto 7

vai para o quarto 2^7,

que é o quarto 128.

Depois o gerente pega nas pessoas

do primeiro autocarro infinito

e atribui-lhes o número de quarto

do primo seguinte, 3,

elevado à potência
do número do seu assento no autocarro.

Então, a pessoa do assento 7
do primeiro autocarro

vai para o quarto número 3^7

ou o quarto número 2187.

Isto continua para todo o primeiro autocarro.

Aos passageiros do segundo autocarro

são atribuídas potências do próximo primo, 5.

Ao autocarro seguinte, potências do 7.

Os autocarros que se seguem:

potências do 11,

potências do 13,

potências do 17, etc.

Visto que cada um destes números

tem apenas 1 e as potências dos números naturais

do seu número primo base como factores,

não há sobreposições de números de quarto.

Todos os passageiros se dispersam pelos quartos

usando um esquema único
de atribuição de quartos

baseado em números primos únicos.

Desta forma, o gerente pode acomodar

cada passageiro de cada autocarro.

No entanto, haverá muitos quartos por preencher,

como o quarto 6,

visto que 6 não é potência
de nenhum número primo.

Felizmente, os patrões dele
não são muito bons a matemática,

poranto, o emprego dele está salvo.

As estratégias do gerente apenas são possíveis,

porque, apesar do Hotel Infinito

ser um pesadelo logístico,

apenas lida com o nível mais baixo do infinito.

Sobretudo, com o infinito contável

dos número naturais:

1, 2, 3, 4, e por aí em diante.

Georg Cantor chamou
a este nível de infinito aleph-zero.

Usamos números naturais
para os números dos quartos

bem como para os números dos assentos
nos autocarros.

Se estivéssemos a lidar
com ordens mais elevadas de infinito,

tal como as dos números reais,

estas estratégias estruturadas

não seriam mais possíveis,

visto não termos forma

de incluir sistematicamente todos os números.

O Hotel Infinito de Números Reais tem

quartos com números negativos na cave,

quartos fraccionais.

Portanto, o tipo do quarto 1/2 suspeita sempre

que tem menos espaço que o tipo do quarto 1.

Quartos de raiz quadrada,
como o quarto radical 2

e o quarto Pi,

em que os hóspedes esperam sobremesa gratuita.

Que gerente que se preze

quereria trabalhar aqui

mesmo por um salário infinito?

Mas no Hotel Infinito de Hilbert,

onde nunca há nenhuma vaga

e há sempre quarto para mais um,

Os cenários enfrentados pelo sempre diligente

e talvez demasiado hospitaleiro gerente

servem para nos recordar

de como é difícil

para as nossas mentes relativamente finitas

compreender um conceito
tão grande como o infinito.

Talvez consigas ajudar
a lidar com estes problemas

depois de uma boa noite de sono.

Mas, sinceramente, talvez precisemos

que mudes de quarto às 2h da manhã.