Paradoks nieskończonego hotelu - Jeff Dekofsky

Zobacz pełną lekcję na: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

Nieskończony hotel to eksperyment myślowy stworzony przez niemieckiego matematyka Davida Hilberta, opisujący hotel z nieskończoną ilością pokoi. Łatwe do zrozumienia, prawda? Nieprawda. Co się stanie, jeśli do drzwi wypełnionego po brzegi hotelu zastuka jeszcze jeden gość? Albo 40? A co, jeśli przyjedzie autobus z nieskończoną ilością pasażerów? Jeff Dekofsky rozwiązuje problemy z zakwaterowaniem, wykorzystując paradoks Hilberta.

Lekcja: Jeff Dekofsky, animacja: The Moving Company Animation Studio.

W latach 20. XX wieku

niemiecki matematyk, David Hilbert,

opracował słynny eksperyment myślowy,

w którym pokazał, jak trudno jest

ogarnąć rozumem nieskończoność.

Wyobraźcie sobie hotel
z nieskończoną liczbą pokoi

oraz bardzo pracowitego
kierownika nocnej zmiany.

Pewnej nocy wszystkie pokoje
nieskończonego hotelu są zajęte

przez nieskończoną liczbę gości.

Do hotelu wchodzi człowiek,

pytając o wolny pokój.

Zamiast mu odmówić,

kierownik postanawia
znaleźć dla niego miejsce.

Jak?

To proste: prosi gościa z pokoju numer 1,

żeby przeniósł się do pokoju numer 2,

gościa z dwójki przenosi do trójki

i tak dalej.

Każdy gość przenosi się
z pokoju o numerze "n"

do pokoju o numerze "n+1".

Ponieważ liczba pokoi jest nieskończona,

dla każdego gościa znajdzie się miejsce.

W ten sposób pokój numer 1
będzie wolny dla nowego gościa.

Proces można powtórzyć

dla dowolnej, skończonej liczby gości.

Jeżeli z autobusu wysiądzie

40 osób szukających wolnego pokoju,

wtedy każdy zameldowany gość

przeniesie się z pokoju "n"

do pokoju "n+40",

zwalniając w ten sposób pierwsze 40 pokoi.

Następnie pod hotel podjeżdża

nieskończenie długi autobus

z przeliczalnie nieskończoną
liczbą pasażerów.

Przeliczalna nieskończoność jest tu ważna.

Nieskończony autobus
z nieskończoną ilością pasażerów

początkowo zaskakuje menedżera,

ale szybko znajduje on sposób

na pomieszczenie nowych gości.

Gościa z pokoju 1

przenosi do pokoju 2,

gościa z pokoju 2,

do pokoju 4,

a tego z pokoju 3,

do pokoju 6,

i tak dalej.

Każdy zameldowany gość
przenosi się z pokoju "n"

do pokoju "2n",

zapełniając tylko parzyste numery pokoi.

W ten sposób kierownik opróżnił
nieskończenie wiele pokoi

o numerach nieparzystych,

które teraz może przydzielić gościom

wysypującym się
z nieskończenie długiego autobusu.

Wszyscy są zadowoleni,
a biznes kręci się w najlepsze.

W zasadzie kręci się tak samo jak zwykle,

przynosząc co noc nieskończony dochód.

Hotel staje się sławny.

Zewsząd zjeżdżają się goście.

Pewnej nocy wydarza się
coś niewyobrażalnego.

Kierownik wygląda przez okno

i widzi nieskończenie długą kolejkę

nieskończenie długich autobusów,

z nieskończenie dużą liczbą pasażerów.

Co ma zrobić?

Jeśli nie znajdzie dla nich pokoi,

hotel straci

nieskończenie wiele pieniędzy,

a on może stracić pracę.

Kierownik pamięta jednak,

że około 300 roku p.n.e.

Euklides udowodnił istnienie

nieskończonej ilości liczb pierwszych.

Żeby znaleźć nieskończoną liczbę łóżek

dla nieskończonej liczby

zmęczonych pasażerów wszystkich autobusów,

kierownik przenosi każdego
obecnego gościa do pokoju o numerze

2 do potęgi równej numerowi
ich obecnego pokoju.

Obecny mieszkaniec pokoju 7

przeniesie się do pokoju 2^7,

czyli 128.

Następnie kierownik zaprasza gości

z pierwszego autobusu

i przydziela im pokoje o numerze

równym kolejnej liczbie pierwszej,

3 do potęgi równej numerowi
ich fotela w autobusie.

Osoba z fotela 7

zamieszka w pokoju 3^7,

czyli 2187.

W ten sposób rozmieszcza wszystkich
pasażerów pierwszego autobusu.

Ci z drugiego autobusu zajmą pokoje

oznaczone potęgami
kolejnej liczby pierwszej, 5.

Pasażerowie następnego - liczby 7,

a kolejnych autobusów

liczby 11, liczby 13,

liczby 17 i tak dalej

Ponieważ potęgowane są liczby

o takiej samej podstawie potęgi,

a wykładnikami są
kolejne liczby naturalne,

numery pokoi się nie powtarzają.

Pasażerowie autobusów zajmują pokoje

przydzielone według unikatowego schematu

opartego na niepowtarzalnych
liczbach pierwszych.

W ten sposób kierownik może pomieścić

pasażerów wszystkich autobusów.

Wiele pokoi pozostanie pustych,

na przykład pokój 6,

ponieważ 6 nie jest potęgą
żadnej liczby pierwszej.

Na szczęście szefowie kierownika
są słabi z matematyki,

więc jego posada jest bezpieczna.

Strategię kierownika
można zastosować tylko dlatego,

że Nieskończony Hotel,

choć trudny w zarządzaniu,

opiera się jedynie na najprostszym
rodzaju nieskończoności,

czyli nieskończoności policzalnej

liczb naturalnych

1, 2, 3, 4, i tak dalej.

Georg Cantor nazwał
ten poziom nieskończoności alef-zero.

Do oznaczenia numerów pokoi
oraz siedzeń w autobusie

używamy liczb naturalnych.

Gdybyśmy mieli do czynienia
z nieskończonością wyższego rzędu,

na przykład związaną
z liczbami rzeczywistymi,

taka strategia na nic by się nie zdała,

bo nie da się uwzględnić wszystkich liczb.

Nieskończony Hotel Liczb Rzeczywistych

ma w piwnicy pokoje o numeracji ujemnej,

a także ułamkowej,

więc mieszkaniec pokoju 1/2 podejrzewa,

że ma mniej miejsca
niż mieszkaniec pokoju 1.

Są pokoje pierwiastków kwadratowych,
jak pierwiastek z 2

oraz pokój o numerze Pi,

którego mieszkańcy dostają darmowy deser.

Jaki szanujący się kierownik

chciałby tam pracować,

nawet za nieskończenie wysoką pensję?

Ale w Nieskończonym Hotelu Hilberta,

gdzie nigdy nie ma wolnych pokoi

lecz zawsze znajdzie się
miejsce dla gości,

sytuacje, którym musi sprostać

nasz pracowity i zbyt gościnny kierownik,

przypominają o tym,

jak ciężko jest objąć

naszym skończonym umysłem

tak rozległą koncepcję,
jaką jest nieskończoność.

Może łatwiej będzie ci to ogarnąć,

kiedy porządnie się wyśpisz.

Ale uważaj - być może będziesz musiał

zmienić pokój o 2 nad ranem.