Το παράδοξο του Άπειρου Ξενοδοχείου - Τζεφ Ντεκόφσκι

Δείτε το βίντεο ολόκληρο εδώ: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

Το Άπειρο Ξενοδοχείο, ένα νοητικό πείραμα που επινόησε ο Γερμανός μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ, είναι ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Αυτό είναι εύκολο να το καταλάβει κάποιος, σωστά; Λάθος. Τι γίνεται εάν όταν το ξενοδοχείο είναι εντελώς γεμάτο, έρθει ένας καινούριος πελάτης; Ή ακόμα καλύτερα, 40 πελάτες; Ή ένα λεωφορείο με άπειρους επιβάτες; Ο Τζεφ Ντεκόφσκι προσφέρει τις λύσεις αυτών των δύσκολων προβλημάτων εφαρμόζοντας το παράδοξο του Χίλμπερτ.

Μάθημα από τον Τζεφ Ντεκόφσκι, κινούμενη απεικόνιση από The Moving Company Animation Studio.

Τη δεκαετία του 1920, ο Γερμανός
μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ

επινόησε ένα νοητικό πείραμα ώστε
να αποδείξει πόσο δύσκολο είναι

να αντιληφθούμε την έννοια του απείρου.

Φανταστείτε ένα ξενοδοχείο
με άπειρο αριθμό δωμάτιων

και έναν σκληρά εργαζόμενο
νυχτερινό υπάλληλο.

Ένα βράδυ, το Άπειρο Ξενοδοχείο
γέμισε εντελώς.

Άπειροι φιλοξενούμενοι
έκλεισαν όλα τα δωμάτια.

Ένας άντρας μπαίνει στο ξενοδοχείο
και ζητά ένα δωμάτιο.

Αντί να τον απορρίψει, ο υπάλληλος
αποφάσισε να τον βολέψει.

Πώς; Εύκολα!

Ζήτησε από αυτόν που έμενε στο δωμάτιο
1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.

Από αυτόν που έμενε στο δωμάτιο 2
να μεταφερθεί στο δωμάτιο 3, κτλ.

Κάθε φιλοξενούμενος μεταφέρεται
από το δωμάτιο «ν» στο δωμάτιο «ν+1».

Εφόσον υπάρχουν άπειρα δωμάτια, υπάρχουν
πάντα δωμάτια για νέους φιλοξενούμενους.

Έτσι το δωμάτιο 1 είναι πάντα
διαθέσιμο για καινούριους πελάτες.

Η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί
για κάθε πεπερασμένο αριθμό πελατών.

Αν για παράδειγμα, έρθει
ένα τουριστικό λεωφορείο με 40 άτομα,

τότε κάθε υπάρχον φιλοξενούμενος

θα μετακινηθεί από το δωμάτιο «ν»
στο δωμάτιο «ν+40»,

ώστε να αποδεσμευτούν τα πρώτα 40 δωμάτια.

Αλλά τώρα φτάνει ένα άπειρα
μεγάλο λεωφορείο με άπειρους επιβάτες.

Η λύση είναι η καταμέτρηση του απείρου.

Στην αρχή, ο υπάλληλος προβληματίζεται
από το άπειρο λεωφορείο και τους επιβάτες

αλλά βρίσκει τρόπο να βρει δωμάτια
για όλους τους νέους ενοίκους.

Ζητά από τον επισκέπτη στο δωμάτιο 1
να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2.

Έπειτα, ζητά από τον επισκέπτη του
δωματίου 2 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 4.

Στον επισκέπτη του δωματίου 3
να μεταφερθεί στο δωμάτιο 6, κτλ.

Όλοι οι υπάρχοντες επισκέπτες μεταφέρονται
από το δωμάτιο «ν» στο δωμάτιο «2ν»,

γεμίζοντας μόνο τα άπειρα δωμάτια
με ζυγό αριθμό,

Έτσι έμειναν κενά όλα τα απείρως
πολλά, με μονό αριθμό, δωμάτια,

τα οποία ύστερα δόθηκαν στους
επιβάτες του άπειρου λεωφορείου.

Όλοι είναι ευχαριστημένοι και
οι δουλειές πάνε καλύτερα από ποτέ.

Για την ακρίβεια, οι δουλείες πάνε το ίδιο
αφού εισπράττει άπειρα δολάρια τη νύχτα.

Η φήμη αυτού του καταπληκτικού
ξενοδοχείου εξαπλώθηκε.

Πελάτες καταφθάνουν από παντού.

Ένα βράδυ συνέβη κάτι αδιανόητο.

Ο υπάλληλος κοίταξε την είσοδο
και είδε μια άπειρη ουρά

με απείρως μεγάλα λεωφορεία
με άπειρους επιβάτες στο καθένα.

Τι να έκανε!

Αν δε βρει δωμάτια γι' αυτούς, θα ζημιώσει
το ξενοδοχείο και θα απολυθεί σίγουρα.

Ευτυχώς, θυμήθηκε πως περίπου
το 300 π.Χ., ο Ευκλείδης απέδειξε

πως υπάρχει μια άπειρη
ποσότητα πρώτων αριθμών.

Για να κατορθώσει, λοιπόν, το αδύνατο

και να βρει άπειρα κρεβάτια για άπειρα
λεωφορεία για άπειρους ταξιδιώτες,

ο υπάλληλος τοποθετεί τους παλιούς
ένοικους στον αρχικό πρώτο αριθμό,

τον αριθμό 2, εις τη δύναμη του
αριθμού του δωματίου που είχαν.

Έτσι ο τωρινός ένοικος του δωματίου 7

πηγαίνει στο δωμάτιο 2 εις την 7η,
που είναι το 128.

Έπειτα, ο υπάλληλος παίρνει
τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου

και τους δίνει τον αριθμό δωματίου

με τον επόμενο πρώτο αριθμό, το 3,

εις τον αριθμό της θέσης τους
στο λεωφορείο.

Έτσι, ο επιβάτης στη θέση 7 του πρώτου
λεωφορείου πάει στο δωμάτιο 3 εις την 7η,

δηλαδή το δωμάτιο 2.187.

Αυτό συνεχίζεται για όλους
τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου.

Για τους επιβάτες του 2ου λεωφορείου

χρησιμοποιεί τις δυνάμεις
του επόμενου πρώτου αριθμού, το 5.

Για το επόμενο λεωφορείο, δυνάμεις του 7.

Για κάθε λεωφορείο που ακολουθεί,
δυνάμεις του 11, του 13, του 17, κτλ.

Εφόσον κάθε αριθμός

έχει ως βάση έναν πρώτο αριθμό
εις τη δύναμη ενός φυσικού αριθμού,

δεν υπάρχουν
αλληλοεπικαλυπτόμενοι αριθμοί.

Όλοι οι επιβάτες τακτοποιήθηκαν σε δωμάτια

χρησιμοποιώντας ένα μοναδικό σχέδιο
εκχώρησης δωματίου,

βασισμένο σε μοναδικούς πρώτους αριθμούς.

Έτσι ο υπάλληλος έχει
πάντα διαθέσιμα δωμάτια

για τους επιβάτες όλων των λεωφορείων.

Αν και θα μείνουν πολλά κενά
δωμάτια όπως το 6,

αφού το 6 δεν είναι δύναμη
κανενός πρώτου αριθμού.

Ευτυχώς, τα αφεντικά του δεν ξέρουν
καλά μαθηματικά και έτσι είναι ήσυχος.

Οι στρατηγικές του υπαλλήλου
είναι εφικτές μόνο επειδή

αν και το ξενοδοχείο «Άπειρο»
είναι ο εφιάλτης κάθε διαχειριστή,

διαπραγματεύεται μόνο με το απλό άπειρο,

δηλαδή το μετρήσιμο άπειρο
των φυσικών αριθμών, 1, 2, 3, 4, κτλ.

Ο Γκέοργκ Κάντορ ονόμασε
αυτό το επίπεδο: Άλεφ-μηδέν.

Χρησιμοποιούμε φυσικούς αριθμούς για τα
δωμάτια και τις θέσεις των λεωφορείων.

Εάν ασχολούμασταν με υψηλότερες τάξεις
απείρου, όπως των πραγματικών αριθμών,

δεν θα ίσχυαν οι ίδιες
μεθοδευμένες στρατηγικές,

καθώς δεν υπάρχει τρόπος να
συμπεριλάβουμε κάθε αριθμό συστηματικά.

Το Άπειρο Ξενοδοχείο Πραγματικών Αριθμών,

έχει δωμάτια με αρνητικούς αριθμούς
στο υπόγειο, κλασματικά δωμάτια,

έτσι ο ένοικος στο δωμάτιο 1/2 υποψιάζεται

πως έχει μικρότερο δωμάτιο
από αυτόν στο 1.

Δωμάτια με τετραγωνική ρίζα, όπως το
δωμάτιο ρίζα 2 και το δωμάτιο π,

όπου οι ένοικοι απαιτούν δωρεάν επιδόρπιο.

Ποιος αξιοπρεπής υπάλληλος
θα ήθελε να δουλέψει εκεί,

έστω και αν λάμβανε
έναν άπειρα μεγάλο μισθό;

Στο ξενοδοχείο «Άπειρο» του Χίλμπερτ, όπου
είναι πάντα πλήρες αλλά χωράει και άλλους,

τα σενάρια που έχει να αντιμετωπίσει
ο πιο εργατικός και φιλόξενος υπάλληλος,

μας υπενθυμίζουν πόσο δύσκολο
είναι για το περιορισμένο μυαλό μας,

να συλλάβει μια τόσο μεγάλη έννοια,
όσο αυτή του απείρου.

Ίσως μετά από έναν καλό ύπνο να μπορέσετε
να λύσετε τέτοια προβλήματα.

Αλλά για να είμαστε ειλικρινείς, μπορεί
να σας αλλάξουμε δωμάτιο στις 2 τη νύχτα.