Das Paradoxon des Unendlichen Hotels -- Jeff Dekofsky

Die ganze Lektion: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

Das Unendliche Hotel, ein Gedankenexperiment des deutschen Mathematikers David Hilbert, ist ein Hotel mit einer unendlichen Anzahl an Zimmern. Eigentlich ganz einfach, oder? Falsch. Was, wenn es vollständig ausgebucht ist, aber eine einzelne Person möchte einchecken? Oder vierzig? Oder ein unendlich voller Bus? Jeff Dekovsky löst diese Kopfnüsse mit Hilberts Paradoxon.

Lektion: Jeff Dekofsky, Animation: The Moving Company Animation Studio.

In den zwanziger Jahren

erdachte David Hilbert,
ein deutscher Mathematiker,

ein berühmtes Gedankenexperiment,

das demonstrieren sollte,
wie schwer es ist,

das Konzept von Unendlichkeit
zu verstehen.

Stellt euch ein Hotel
mit unendlich vielen Zimmern vor

und einen sehr emsigen Nachtportier.

Eines Nachts ist
das Unendliche Hotel ausgebucht,

eine unendliche Anzahl von Gästen
belegt die Zimmer.

Ein Mann kommt ins Hotel

und möchte ein Zimmer.

Anstatt ihn abzuweisen,

entschließt sich der Nachtportier,
Platz für ihn zu schaffen.

Wie?

Ganz einfach,
er bittet den Gast in Zimmer 1,

ins Zimmer 2 umzuziehen,

der Gast in Zimmer 2
zieht ins Zimmer 3,

und so weiter.

Jeder Gast bewegt sich
von Zimmer Nummer n

zu Zimmer Nummer n+1.

Da es unendlich viele Zimmer gibt,

gibt es für jeden Hotelgast ein Zimmer.

Somit wird Zimmer 1
frei für den neuen Kunden.

Dieser Prozess kann für jede

endliche Anzahl an Gästen
wiederholt werden.

Sagen wir, ein Tourbus

kippt 40 Zimmersuchende aus,

dann bewegt sich jeder Hotelgast

einfach von Zimmer Nummer n

zu Zimmer Nummer n+40.

So werden die ersten 40 Zimmer frei.

Nun kommt aber
ein unendlich großer Bus an

und bringt eine abzählbar
unendliche Menge an Passagieren,

die gern ein Zimmer hätten.

Abzählbar unendlich ist das Schlüsselwort.

Der unendliche Bus mit
unendlich vielen Passagieren

verwirrt den Nachtportier zuerst,

doch dann sieht er eine Möglichkeit,

jeden neuen Gast unterzubringen.

Er bittet den Gast in Zimmer 1,

ins Zimmer 2 zu ziehen.

Dann bittet er den Gast in Zimmer 2,

ins Zimmer 4 zu ziehen,

den Gast in Zimmer 3,

in Zimmer 6 zu ziehen,

und so weiter.

So zieht jeder aktuelle Gast
von Zimmer Nummer n

ins Zimmer Nummer 2n,

wodurch nur die unendlichen
geraden Zahlen genutzt werden.

Dadurch hat er nun Platz

in allen unendlichen ungeraden
Hotelzimmern geschaffen,

die dann von den Leuten besetzt werden,

die aus dem unendlichen Bus strömen.

Alle sind glücklich und das Hotelgeschäft

blüht mehr denn je.

Na ja, es blüht eigentlich

genau so wie sonst auch,

denn es bringt unendlich
viele Dollars pro Nacht ein.

Dieses unglaubliche Hotel
spricht sich nun herum.

Von überall her strömen die Leute.

Eines Nachts passiert das Undenkbare.

Der Nachtportier schaut hinaus

und sieht eine unendliche Schlange

unendlich großer Busse,

von denen alle abzählbar unendlich
viele Passagiere bringen.

Was kann er tun?

Wenn er keinen Platz für sie findet,

dann wird das Hotel

einen unendlich hohen Geldbetrag verlieren,

und sicherlich verliert er seinen Job.

Zum Glück fällt ihm ein,

dass um 300 v. u. Z.

Euklid bewies, dass es
eine unendliche Menge

an Primzahlen gibt.

Um also diese scheinbar
unmögliche Aufgabe zu bewältigen,

unendlich viele Betten

für unendlich viele Reisende

in unendlich vielen Bussen zu finden,

teilt der Nachtportier jedem Hotelgast

die erste Primzahl zu, 2,

mit ihrer aktuellen Zimmernummer
als Exponenten.

Der aktuelle Bewohner von Zimmer 7 also

bekommt Zimmer 2 hoch 7,

also Zimmer 128.

Der Nachtportier nimmt dann die Leute

aus dem ersten der unendlich vielen Busse

und gibt ihnen die Zimmerzahl

der nächsten Primzahl, 3,

mit der Sitzplatznummer im Bus
als Exponenten.

Die Person auf Sitz 7 im ersten Bus also

bekommt Zimmer 3^7,

also Zimmer 2187.

Das setzt sich so für den ersten Bus fort.

Die Passagiere im zweiten Bus

bekommen Exponenten
der nächsten Primzahl, 5.

Der folgende Bus erhält
Exponenten von 7.

Und so geht es weiter:

Exponenten von 11,

Exponenten von 13,

Exponenten von 17 und so weiter.

Da die Faktoren

jeder dieser Zahlen

nur 1 und ihre eigene natürliche Zahl sind,

überlappen die Zimmernummern nicht.

Alle Passagiere in den Bussen
verteilen sich mittels

einzigartiger Zuteilungsmuster
auf die Räume,

die auf einzigartigen Primzahlen basieren.

So kann der Nachtportier jeden Passagier

in jedem Bus unterbringen.

Es wird aber viele unbelegte Zimmer geben,

etwa Zimmer 6,

da 6 keine Potenz von einer Primzahl ist.

Zum Glück waren seine Chefs
nicht sehr gut in Mathe,

also ist sein Job sicher.

Die Strategien des Nachtportiers
sind nur möglich,

weil das Unendliche Hotel

zwar ein logistischer Alptraum ist,

sich aber nur mit der niedrigsten Klasse
der Unendlichkeit befasst:

nämlich der zählbaren Unendlichkeit

der natürlichen Zahlen,

1, 2, 3, 4, und so weiter.

Georg Cantor nannte
diese Klasse Aleph-Funktion.

Für die Zimmernummern
und die Sitzplätze in den Bussen

verwenden wir natürliche Zahlen.

Würden wir uns mit höheren Klassen
der Unendlichkeit befassen,

wie etwa mit den reellen Zahlen,

wären diese strukturierten Ansätze

nicht länger möglich,

da wir nicht länger

jede Zahl systematisch
einschließen können.

Das Unendliche Hotel der reellen Zahlen

hat im Keller Zimmer
mit negativen Zahlen,

Räume mit Brüchen,

und der Typ in Zimmer 0,5
hat ständig Angst,

weniger Platz zu haben
als der in Zimmer 1.

Quadratwurzelzimmer,
also Zimmer Wurzel 2

und Zimmer Pi,

das möglicherweise kreisrund ist.

Welcher Nachtportier,

der etwas auf sich hält, würde selbst

für ein unendliches Gehalt
so etwas auf sich nehmen?

Aber in Hilberts Unendlichem Hotel,

in dem es nie freie Zimmer gibt,

und jeder Gast noch einen Platz findet,

helfen uns die Situationen,
denen der eifrige

und vielleicht auch
zu gastfreundliche Nachtportier

ausgesetzt ist,

als Erinnerungshilfe dafür,

wie schwer es für unsere
recht endlichen Gemüter ist,

ein Konzept von unendlicher Größe
zu verstehen.

Vielleicht könnt ihr beim Lösen
dieser Probleme helfen,

nach einer Mütze voller Schlaf.

Aber seid gewarnt: Vielleicht müsst ihr

morgens um 2 das Zimmer wechseln.