Може ли да откриете фалшивата монета? – Дженифър Лу

Пълният текст може да намерите тук: http://ed.ted.com/lessons/can-you-solve-the-counterfeit-coin-riddle-jennifer-lu

Вие сте най-способният математик в царството, но сте заключен в килия заради критика на царските данъчни закони. За ваш късмет един от царските наместници е осъден за плащане на данъци с фалшива монета, която незабелязана се оказва в хазната. Ако намерите фалшивата монета, властелинът обещава да ви върне свободата.

Текст – Дженифър Лу
Анимация – Артрейк Студио

Вие сте най-способният математик
в царството,

но откакто сте критикували
царските данъчни закони,

сте заключени в килия,

а малък маркер ви помага
да отбелязвате дните.

Един ден внезапно
ви отвеждат при царя,

който изглежда по-гневен
от обичайното.

Един от дванадесетте му наместници
е осъден за плащане на данъци

с фалшива монета,

която вече
се оказва в хазната.

Като най-способният математик
в царството,

властелинът ви дава шанс да спечелите
свободата си като намерите фалшификата.

Пред вас са дванадесет еднакви на вид
монети и везна.

Вие знаете, че фалшивата монета ще бъде
малко по-тежка или по-лека

от истинските монети.

Но царят не се слави с търпение.

Може да мерите с везните
само три пъти

преди да ви хвърлят
обратно в зандана.

Вие се оглеждате наоколо за
допълнителна помощ,

но не виждате нищо, освен

монетите,

везната

и вашия доверен маркер.

Как ще откриете коя е фалшивата монета?

Натиснете „пауза“, ако искате сами
да намерите отговора.

Отговор след: 3

Отговор след: 2

Отговор след: 1

Ясно е, че не може да сравните теглото
на всяка монета с всяка от останалите,

ще трябва да мерите
по няколко монети едновременно

като първо разделите
купчината монети на групи

за да ограничите възможното местоположение
на фалшивата монета.

Започнете като разделите дванадесетте
монети на три групи от по четири монети.

Поставете две от тези групи на везната и
възможностите за крайния резултат са две.

Ако везната е в равновесие, значи всичките
осем монети върху везната са истински,

а фалшивата ще трябва да е
между останалите четири монети.

Как да помним
отделните стъпки в решението?

Тук парчето креда идва на помощ.

Отбележете осемте истински монети с „0“.

Поставете три от тях на везната и ги сравнете
с три от небелязаните монети.

Ако везната е в равновесие, оставащата
небелязана монета трябва да е фалшивата.

В противен случай, напишете „+“ върху
трите небелязани монети, ако са по-тежки,

и „–“, ако са по-леки.

Сега вземете две от току-що белязаните
монети и сравнете теглото им.

При равенство, третата
току-що белязана монета е фалшивата.

Иначе, погледнете означенията
върху монетите.

При означение с „+“, по-тежката монета
е фалшивата.

При означение с „–“, по-леката монета
е фалшивата.

Да разгледаме случая, когато двете групи
от по 4 монети са с различно тегло.

Отбележете монетите
от по-тежката страна с „+“

и тези от по-леката страна с „–“.

Останалите четири монети може да
отбележите с „0“ (истински),

защото вече сте сигурни, че фалшификатът е
върху една от страните на везната.

Внимателно обмислете възможностите

за да намерите фалшификата
само с две претегляния.

За да успеете,
налага се да прегрупирате монетите.

Един начин:
заместете три означени с „+“ монети

с три „–“ монети,

а на мястото на трите „–“ монети
поставете три „0“ (истински) монети.

От тук следват три възможни
показания на везните.

Ако след горепосочените размени,
по-тежката страна отново е по-тежката,

тогава или останалата „+“ монета
от по-тежката страна на везната

е фалшива и по-тежка,

или останалата „–“ монета
от по-леката страна на везната

е фалшива и по-лека.

Вземете една от тези две монети, сравнете
теглото ѝ с това на истинска монета

и ще разберете
кое заключение е вярно.

Ако по-тежката страна на везната
стане по-леката страна,

тогава една от трите „–“ монети,
които разменихте,

е по-лека и фалшива.

Сравнете теглото на две
от тези три „–“ монети

Ако са с еднакво тегло,
третата „–“ монета е фалшивата.

Ако двете са с различно тегло,
по-леката монета е фалшивата.

По аналогия, ако везната е в равновесие
след първоначалната размяна на монети,

то една от трите „+“ монети,
които разменихте с три „–“ монети,

следва да е по-тежка.

Сравнете теглата
на две от тези „+“ монети.

Ако теглата им са равни,
третата „+“ монета е фалшивата.

Ако теглата им не са равни, по-тежката
от двете „+“ монети е фалшивата.

Властелинът с одобрение кима,
слушайки вашите разсъждения,

а феодалът-фалшификатор е пратен
вместо вас в затвора.