그룹 이론 101: 루빅스큐브를 피아노처럼 연주하는 법 | 마이클 스태프(Michael Staff )

전체 강의 보기 : http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

수학은 분자물리학부터 공학과 경제학까지 우주의 현상들을 설명합니다. 수학은 심지어 음악과도 연관이 있으며 루빅큐브와도 공통점이 있습니다. 마이클 스태프는 그룹이론을 통해 루빅스큐브를 피아노처럼 연주할 수 있는 방법을 설명합니다.

강의: 마이클 스태프
애니메이션: 식시

어떻게 루빅스큐브를
연주할 수 있을까요?

단지 가지고 노는것이 아니라
피아노처럼 연주할 수 있을까요?

이 질문이 처음에는
이해하기 쉽지 않습니다.

하지만 그룹이론이라는 이론 수학에서
그 답을 찾을 수 있습니다.

힘들겠지만 잘 들어보세요.

수학에서, 그룹은
특정 원소의 집합체입니다.

정수의 집합

루빅큐브의 면

무엇이든 될 수 있습니다.

특수한 4가지 규칙이나 원리를
따르기만 한다면요.

원리 1:

그룹연산은 그룹의 원소에만
닫히거나 한정되어야 합니다.

루빅큐브 한면을 어떻게 돌려도

이쪽이나 저쪽으로 돌려도

결국은 그 그룹의 원소가 됩니다.

원리 2:

단일 그룹 연산을 할 때
괄호를 어디에 놓든지

결과는 같습니다.

즉, 큐브 면을 오른쪽으로
두 번 돌리고, 한 번 더 돌리는 것은

한 번 돌리고, 두 번
돌리는 것과 같습니다.

수에서는, 일 더하기 이는
이 더하기 일과 같습니다.

원리 3:

모든 연산에 있어, 그룹에는
항등원이라는 원소가 있습니다.

이를 우리 그룹의
다른 원소에 적용시켜도

여전히 그 원소가 됩니다.

큐브 면을 돌리거나,
정수를 더하는 데 있어서

항등원은 0 입니다.

별로 흥미롭지 않죠.

원리 4:

이 그룹에는 각 원소의 역원도
들어 있습니다.

이 둘을 덧셈 연산 하면

그 결과는 항등원인 0이 됩니다.

이것을 상쇄한다고 합니다.

그렇다 치고,
여기서 핵심은 무엇일까요?

이 원리들을 더 생각해 보면

흥미로운 특징들이 보입니다.

예를 들어,큐브의 면을
완전한 루빅큐브로 확장시켜 봅시다.

원소도 많고

식도 많지만

이 그룹은 모든 원리를 만족합니다.

각 열을 모든 방향으로
돌릴 수 있습니다.

각 위치를 순열이라고 합니다.

그룹에 원소가 많아지면
만들 수 있는 순열도 많아집니다.

루빅큐브에는
4300경 이상의 순열이 있고

이를 무작정 풀려하면 잘 안될 겁니다.

그러나 그룹이론으로 큐브를 분석하여

원하는 순열의 조합을 알아냅니다.

돌리는 순서를 나타내는
그룹이론 표기법을 사용할지라도

이것이 일반적인 방법입니다.

그룹이론은 퍼즐에만
유용한 것이 아니라

음악에도 적용되어 있습니다.

화음을 시각화하는 한 방법은
12음을 모두 적고

그 안에 사각형을 그리는 것입니다.

어떤 음이든 상관 없지만,
가장 위에 있는 C에서 시작해봅시다.

이렇게 생기는 화음이 감7화음입니다.

이제 이 화음은 네 개의 음을
원소로 가지는 그룹입니다.

여기서 맨 아래음을 맨 위로
옮길 수 있습니다.

음악에서 이것을
자리바꿈음정이라고 합니다.

이것은 앞서 언급한 덧셈과 동일합니다.

이렇게 음의 자리를 바꾸면
화음의 소리는 바뀌지만

C 감7화음을 벗어나지 않습니다.

즉, 이것은 원리1을 충족합니다.

작곡가는 자리바꿈음정을 사용해서

멜로디가 어색하지 않게 만듭니다.

오선에서 보면,
자리바꿈음정은 이렇습니다.

또한 이것들을 사각형에 올려보면
이런 모양이 됩니다.

모든 루빅큐브를 음으로 덮어서

완성된 큐브의 각 면이
조화로운 화음이라 생각하면

화음 진행 하듯이
문제를 해결할 수 있을 것입니다.

이것은 마치 점차
불협화음을 화음으로 만들어 가듯

루빅스큐브를 연주하는 것과 같습니다.