Θεωρία Ομάδων 101: Πώς να παίξετε τον κύβο του Ρούμπικ σαν πιάνο - Μάικλ Σταφ

Δείτε όλο το μάθημα: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

Τα Μαθηματικά εξηγούν τη λειτουργία του σύμπαντος από τη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ως τη Μηχανική και τα Οικονομικά. Τα Μαθηματικά συνδέονται στενά με τη μουσική και το κοινό τους έδαφος έχει σχέση με τον κύβο του Ρούμπικ. Ο Μάικλ Σταφ εξηγεί πώς η Θεωρία Ομάδων μπορεί να μας μάθει να παίζουμε τον κύβο του Ρούμπικ σαν πιάνο.

Μάθημα: Μάικλ Σταφ. Κινούμενα σχέδια: Shixie.

Πώς μπορείτε να παίξετε
έναν κύβο του Ρούμπικ;

Όχι να παίξετε μαζί του,
αλλά να τον παίξετε όπως το πιάνο;

Η ερώτηση δεν βγάζει
και πολύ νόημα εκ πρώτης όψεως,

αλλά ένα αφηρημένο πεδίο των Μαθηματικών,
η Θεωρία Ομάδων δίνει την απάντηση,

αν με παρακολουθήσετε.

Στα Μαθηματικά, ομάδα είναι
μια συγκεκριμένη συλλογή στοιχείων.

Μπορεί να είναι ένα σύνολο ακεραίων,

μία πλευρά του κύβου του Ρούμπικ,

ή οτιδήποτε,

αρκεί να τηρεί τέσσερις
συγκεκριμένους κανόνες ή αξιώματα.

Αξίωμα 1:

Η ομάδα είναι κλειστή

και οι λειτουργίες της
περιορίζονται μόνο στα στοιχεία της.

Άρα στο τετράγωνό μας,
όποια πράξη κι αν κάνετε,

όπως να το γυρίσετε έτσι ή αλλιώς,

θα καταλήξετε πάλι
σε κάποιο στοιχείο της ομάδας.

Αξίωμα 2:

Ανεξάρτητα από το πού βάζουμε παρενθέσεις
όταν εκτελούμε μία πράξη της ομάδας,

πάντα θα παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα.

Δηλαδή, αν περιστρέψουμε το τετράγωνο δύο
φορές στα δεξιά και μετά άλλη μία φορά,

είναι το ίδιο με το να
το περιστρέψουμε μία φορά και μετά δύο -

ή με αριθμούς,
1+2 είναι το ίδιο με το 2+1.

Αξίωμα 3:

Για κάθε πράξη, υπάρχει ένα στοιχείο
στην ομάδα, που ονομάζεται ουδέτερο.

Όταν το εφαρμόζουμε σε οποιοδήποτε
άλλο στοιχείο της ομάδας,

παίρνουμε πάλι το ίδιο στοιχείο.

Άρα, τόσο στην περιστροφή του τετραγώνου,
όσο και στην πρόσθεση ακεραίων

το ουδέτερο στοιχείο είναι το 0,
κάτι όχι ιδιαίτερα συναρπαστικό.

Αξίωμα 4:

Για κάθε στοιχείο της ομάδας υπάρχει
στην ομάδα το συμμετρικό του στοιχείο.

Όταν αυτά τα δύο συνδυάζονται μέσα από
την πράξη της πρόσθεσης της ομάδας,

δίνουν ως αποτέλεσμα
το ουδέτερο στοιχείο, το 0,

άρα μπορεί να θεωρήσει κανείς
ότι αλληλοεξουδετερώνονται.

Ωραία και καλά όλα αυτά,
αλλά ποιος είναι ο σκοπός;

Όταν ξεπεράσουμε αυτούς
τους βασικούς κανόνες,

αναδύονται μερικές
ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

Π.χ. ας επεκτείνουμε το τετράγωνό μας
σε έναν ολόκληρο κύβο του Ρούμπικ.

Παραμένει ομάδα
που ικανοποιεί όλα τα αξιώματα,

αν και τώρα με πολύ περισσότερα στοιχεία

και πολύ περισσότερες πράξεις.

Μπορούμε να περιστρέψουμε
κάθε γραμμή και στήλη κάθε πλευράς.

Κάθε θέση ονομάζεται μετάθεση,

και όσο περισσότερα στοιχεία έχει η ομάδα,
τόσο περισσότερες οι δυνατές μεταθέσεις.

Ένας κύβος του Ρούμπικ έχει περισσότερες
από 43 πεντάκις εκατομμύρια μεταθέσεις,

άρα το να προσπαθήσουμε να τον λύσουμε
στην τύχη, δεν θα πάει και τόσο καλά.

Ωστόσο, με τη χρήση της Θεωρίας Ομάδων
μπορούμε να αναλύσουμε τον κύβο

και να προσδιορίσουμε μια σειρά μεταθέσεων
που θα καταλήξει σε λύση.

Για την ακρίβεια,
αυτό κάνουν οι περισσότεροι λύτες,

χρησιμοποιούν ακόμα και συμβολισμούς
της Θεωρίας Ομάδων για τις περιστροφές.

Και δεν βοηθά μόνο στο να λύνουμε γρίφους.

Η Θεωρία Ομάδων είναι βαθιά
ενσωματωμένη και στη μουσική.

Ένας τρόπος οπτικοποίησης μιας συγχορδίας
είναι να γράψουμε και τις δώδεκα νότες

και να ζωγραφίσουμε
ένα τετράγωνο ανάμεσά τους.

Μπορούμε να ξεκινήσουμε
με οποιαδήποτε νότα,

αλλά ας πάρουμε την ντο (C),
μιας και είναι στην κορυφή.

Η συγχορδία που προκύπτει
ονομάζεται ελαττωμένη εβδόμη.

Αυτή η συγχορδία είναι ομάδα
με στοιχεία αυτές τις τέσσερις νότες.

Η πράξη που μπορούμε να κάνουμε είναι να
μετατοπίσουμε την κάτω νότα στην κορυφή.

Στη μουσική αυτό ονομάζεται αναστροφή

και είναι το ισοδύναμο
της πρόσθεσης από προηγουμένως.

Κάθε αναστροφή αλλάζει
τον ήχο της συγχορδίας

αλλά δεν σταματά ποτέ να είναι
μία ελαττωμένη εβδόμη στο ντο.

Με άλλα λόγια, ικανοποιεί το Αξίωμα 1.

Οι συνθέτες χρησιμοποιούν αναστροφές
για να χειριστούν ακολουθίες συγχορδιών

και να αποφύγουν χοντροκομμένες
ακολουθίες που ακούγονται περίεργα.

Στο πεντάγραμμο
μια αναστροφή φαίνεται έτσι,

αλλά μπορούμε επίσης να την υπερθέσουμε
στο τετράγωνό μας και να πάρουμε αυτό.

Έτσι, αν θέλατε να καλύψετε ολόκληρο
τον κύβο σας του Ρούμπικ με νότες,

ώστε κάθε πλευρά του λυμένου κύβου
να είναι μία αρμονική συγχορδία,

τότε θα μπορούσατε να εκφράσετε
τη λύση ως μία διαδοχή συγχορδιών

που προχωρά βαθμιαία
από τη δυσαρμονία προς στην αρμονία,

και να παίξετε τον κύβο του Ρούμπικ,
αν τη βρίσκετε με κάτι τέτοιο.