Das 1x1 der Gruppentheorie: Ein musikalischer Zauberwürfel – Michael Staff

Die ganze Lektion unter: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

Ob Teilchenphysik, Technik oder Wirtschaft – Mathematik erklärt die Zusammenhänge der Welt. Selbst mit Musik ist Mathematik eng verknüpft und das führt uns zu Zauberwürfeln. Michael Staff erklärt, wie man mit Gruppentheorie auf einem Zauberwürfel wie auf einem Klavier spielen kann.

Lektion von Michael Staff, Animation von Shixie.

Wie kann man einen Zauberwürfel spielen?

Also nicht wie ein Spielzeug,
sondern wie ein Klavier?

Auf den ersten Blick
ergibt diese Frage nicht viel Sinn,

aber im abstrakten mathematischen Gebiet
der Gruppentheorie liegt die Lösung.

Schauen wir uns das an.

Eine mathematische Gruppe
ist eine besondere Sammlung von Elementen.

Das kann eine Menge von Zahlen,

die Seite eines Zauberwürfels

oder alles mögliche sein,

solange vier Regeln oder Axiome
eingehalten werden.

Axiom 1:

Operationen müssen abgeschlossen sein,
also immer wieder Gruppenelemente ergeben.

Das heißt bei unserem Viereck:

Egal, ob man es nach
links oder rechts dreht,

erhält man wieder ein Element der Gruppe.

Axiom 2:

Egal, wo wir Klammern setzen,
wenn wir eine Gruppenoperation anwenden,

erhalten wir das gleiche Ergebnis.

Wenn wir zum Beispiel das Quadrat
zweimal nach rechts drehen, dann einmal,

ist das das Gleiche
wie einmal, dann zweimal.

Oder mit Zahlen: 1 + 2
ist das Gleiche wie 2 + 1.

Axiom 3:

Für jede Operation
gibt es ein neutrales Element.

Wenn wir es auf andere
Elemente der Gruppe anwenden,

erhalten wir wieder das gleiche Element.

Für das Drehen der Vierecke
und das Addieren von Zahlen

ist das neutrale Element hier 0.

Nicht sehr spannend.

Axiom 4:

Jedes Element hat ein entgegengesetztes
Element in der Gruppe, sein Inverses.

Wenn die beiden mit der Addtionsoperation
kombiniert werden,

ergeben sie das neutrale Element, 0.

Man kann sagen, sie heben
sich gegenseitig auf.

Soweit so gut, aber was nützt das?

Wenn wir mehr als
diese einfachen Regeln ansehen,

zeigen sich interessante Eigenschaften.

Erweitern wir zum Beispiel unser Viereck
wieder auf den gesamten Zauberwürfel.

Das ist immer noch eine Gruppe,
die alle Axiome erfüllt,

obwohl wir jetzt deutlich mehr Elemente

und auch mehr Operationen haben.

Wir können jede Reihe und Spalte drehen.

Jede Stellung wird Permutation genannt

und je mehr Elemente eine Gruppe hat,
desto mehr mögliche Permutationen gibt es.

Ein Zauberwürfel hat mehr als
43 Trillionen Permutationen,

also werden wir ihn eher nicht
zufällig lösen können.

Stattdessen können wir den Würfel
mit Gruppentheorie untersuchen

und eine Folge von Permutationen finden,
die zu einer Lösung führen.

Tatsächlich machen
die meisten Löser genau das,

sogar mit gruppentheoretischen
Bezeichnungen für die einzelnen Schritte.

Aber Gruppentheorie ist nicht nur
praktisch zum Rätsellösen.

Gruppentheorie ist auch
ein fester Bestandteil von Musik.

Man kann einen Akkord darstellen,
indem man alle 12 Töne aufschreibt

und ein Quadrat in der Mitte zeichnet.

Wir könnten mit jedem Ton anfangen,
aber nehmen wir C ganz oben.

Der Akkord heißt
"verminderter Septakkord".

Der Akkord ist eine Gruppe
mit diesen vier Tönen als Elemente.

Als Gruppenoperation können wir
den untersten Ton an die Spitze heben.

In der Musik heißt das Umkehrung

und entspricht der Addition von vorhin.

Jede Umkehrung verändert
den Klang des Akkords,

aber es ist und bleibt
ein verminderter C-Septakkord.

Mit anderen Worten: Axiom 1 ist erfüllt.

Komponisten nutzen Umkehrungen,
um mit Akkordfolgen zu spielen,

damit sich die Harmoniefolge
nicht gestückelt oder plump anhört.

Die Noten einer Umkehrung sehen so aus.

Aber wir können sie auch
auf unserem Viereck abbilden.

Wenn du den ganzen Würfel
mit Tönen bedeckst,

sodass jede Seite des gelösten Würfels
ein harmonischer Akkord ist,

kannst du die Lösung
als Akkordfolge angeben,

die dissonant beginnt
und immer harmonischer wird,

und du kannst den Zauberwürfel
wie ein Klavier spielen, wenn du magst.