無限大有多大? - Dennis Wildfogel
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0:14 - 0:16我在四年級的時候,
國小老師有一天跟我們說: -
0:16 - 0:19「偶數的個數
和正整數的個數一樣多。」 -
0:19 - 0:25「真的嗎?」我心想。
噢對!兩個都是無限多個,所以一樣多。 -
0:25 - 0:30但另一方面,偶數只是正整數的一部份,
而奇數就是剩下的部份, -
0:30 - 0:33所以正整數應該要比偶數還多,對吧?
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0:33 - 0:39要了解老師那段話的道理,
我們要知道兩個集合一樣大是什麼意思。 -
0:39 - 0:44當我說我左手的手指
和右手的手指一樣多時,是什麼意思? -
0:44 - 0:48當然,兩隻手都是五根手指,
但是可以更簡單一些。 -
0:48 - 0:53我不用去算,我只要知道
我能夠將它們「一對一」對應起來。 -
0:53 - 0:56事實上,我們認為古代那些
語言裡數字只到三的人們 -
0:56 - 1:02就是用這個技倆。
如果你把你的羊從羊圈裡放出去吃草, -
1:02 - 1:06你可以隨時知道有幾隻羊跑出去。
你只要在羊出去時將一顆石子放旁邊, -
1:06 - 1:09然後在羊回來的時候
再把石子放回來就好。 -
1:09 - 1:12這樣你就不會亂掉,
儘管你沒有真的去算羊的數目。 -
1:12 - 1:15另一個「一對一」的例子
比計數更單純一些。 -
1:15 - 1:20如果在一個擁擠的禮堂裡,
每個位子都有人坐而且沒人站著, -
1:20 - 1:23這樣我就知道
人數跟椅子數一樣多, -
1:23 - 1:26雖然說我並不知道
這兩者的個數。 -
1:26 - 1:28所以,我們說兩個集合一樣大時
真正的意思 -
1:28 - 1:33就是兩集合裡的元素
有辦法「一對一」對應在一起。 -
1:33 - 1:38所以國小老師將正整數寫成一列,
並將數字的兩倍寫在下面。 -
1:38 - 1:42你可以看到,底部那列包含了所有的偶數,
這樣就有了「一對一」的對應。 -
1:42 - 1:45也就是說,偶數和正整數一樣多。
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1:45 - 1:51但依舊苦惱我們的是
偶數只是正整數的一部份這件事實。 -
1:51 - 1:56不過這樣能說服你
我左右手手指數目不一樣嗎? -
1:56 - 2:01當然沒有!就算有的方法
配對失敗,那也沒關係, -
2:01 - 2:03因為這並沒說服我們什麼。
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2:03 - 2:06如果你可以找到一種方法
讓兩邊元素配對起來, -
2:06 - 2:10那我們就說這兩個集合個數一樣。
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2:10 - 2:15你有辦法將分數像正整數那樣列出來嗎?
可能有點難,分數有很多! -
2:15 - 2:19而且不太明顯哪個要放前面、
或是怎樣把它們串起來。 -
2:19 - 2:24不過,有一個辦法
我們可以把所有分數依序串起來。 -
2:24 - 2:28這是十九世紀末
數學家康托爾的貢獻。 -
2:28 - 2:36首先,我們把分數上下左右對好。
全部的分數都在這。比如說,你可以找到 117/243 -
2:36 - 2:39它在第 117 列第 243 行。
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2:39 - 2:44現在我們要把它們串起來,
從左上開始,然後斜對角地串下來、串上去。 -
2:44 - 2:49其中像 2/2 這類之前已經算過的分數
就把它跳掉。 -
2:49 - 2:53因此我們就把分數串成一串了,
這意思是分數 -
2:53 - 2:58和正整數有「一對一」的對應,
雖然我們直覺是分數比較多個。 -
2:58 - 3:01好,這就是有趣的地方了。
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3:01 - 3:06你也許知道用分數沒辦法表示所有的實數
──也就是那些數線上的數。 -
3:06 - 3:09像是根號 2、還有圓周率 π 這些。
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3:09 - 3:15這類的數字叫作「無理數」。
不只是因為它們很難懂,而是因為分數包含了 -
3:15 - 3:21所有整數的「比率」,所以被叫「可比的」,
而剩的就被叫作「不可比的」,也就是「無理的」。 -
3:21 - 3:25無理數可以用無窮小數表示,
而且各位數沒有規律。 -
3:25 - 3:29那麼,我們可以將正整數和
所有無理、有理的小數 -
3:29 - 3:34「一對一」對應嗎?
也就是,我們可以將所有小數串起來嗎? -
3:34 - 3:39康托爾證明了這行不通。
不只想不到辦法,而是真的沒辦法。 -
3:39 - 3:46來看看,如果你聲稱你把小數串好了。
我要來告訴你這是不可能的, -
3:46 - 3:48因為我要找一個你那串那面沒有的小數。
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3:48 - 3:51我要在小數點後一個一個位數決定。
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3:51 - 3:55我要用你那串的第 1 個數字的第 1 位數
來決定我的第 1 位數。 -
3:55 - 4:00如果它是 1,我的就是 2;否則我的就是 1。
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4:00 - 4:05再用你的第 2 個數字的第 2 位數
來決定我的第 2 位數。 -
4:05 - 4:09一樣,如果你的是 1,我的就是 2;
否則我的就是 1。 -
4:09 - 4:14看出怎麼算下去了嗎?
我找到的這個小數,不可能在你那串裡。 -
4:14 - 4:21為什麼?比如說,它和你的第 143 個數會一樣嗎?
不可能,因為第 143 位數裡 -
4:21 - 4:25你的和我的不一樣。
這是我特別挑的。 -
4:25 - 4:29你沒串成功。
沒有串到所有小數。 -
4:29 - 4:34而不論你怎麼串,我都可以做同樣的事,
然後找到一個你那串裡沒出現的小數。 -
4:34 - 4:37所以我們得到了
令人訝異的結論: -
4:37 - 4:43所有小數沒辦法串成一串。
它的「無限大」比正整數的「無限大」還大。 -
4:43 - 4:49所以,儘管你只熟悉幾個無理數,
像是根號 2 和圓周率 π, -
4:49 - 4:52無理數的「無限大」實際上也比
分數的「無限大」還要大。 -
4:52 - 4:57有人曾這樣比喻:
有理數,或者說分數,就像天空中的星星; -
4:57 - 5:01而無理數就像是無盡的黑暗。
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5:01 - 5:07康托爾同時也證明任何無窮大的集合,
只要把它的所有子集都蒐集起來, -
5:07 - 5:12新的集合的「無限大」就比原本的還大。
意思是說,只要你有一種「無限大」 -
5:12 - 5:18那你就可以用它的所有子集
來做出比它更「無限大」的集合。 -
5:18 - 5:22接著再用這集合做出更加「無限大」的集合。
不斷做下去。 -
5:22 - 5:26所以,「無限大」之間也是有分不同的大小。
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5:26 - 5:31如果你覺得這令人想吐,並不奇怪。
一些康托爾那年代的偉大數學家 -
5:31 - 5:35也對這觀念非常反感。
他們試著要把無限這觀念抽離, -
5:35 - 5:38讓數學可以
沒有無限也能運作。 -
5:38 - 5:42康托爾甚至受到人身攻擊,
嚴重到讓他飽受沮喪之苦, -
5:42 - 5:46並且在精神療院渡過後半餘生。
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5:46 - 5:51不過他的想法最終得到肯定。
今天,這觀念被認為是基礎並重要的。 -
5:51 - 5:56所有數學研究者都接受這觀念,
每個數學系都也都在教, -
5:56 - 5:58而我剛剛已經花了幾分鐘來解釋。
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5:58 - 6:01也許有一天,這會變成大家的常識。
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6:01 - 6:06還有一點。我們剛剛指出
小數,也就是實數, -
6:06 - 6:10比正整數的「無限大」還多。
康托爾在想兩個「無限大」之間 -
6:10 - 6:14是否還有不同層級的「無限大」。
我們不這麼認為,但也沒辦法證明。 -
6:14 - 6:18康托爾的猜想變成
有名的「連續統假說」。 -
6:18 - 6:24在 1900 年,大數學家希爾伯特
把連續統假說列為 -
6:24 - 6:26數學裡最重要的未解問題。
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6:26 - 6:32這問題在 20 世紀露出一些端倪,
但是結果和超乎預期、並跌破大家眼鏡。 -
6:32 - 6:38在 1920 年代,哥德爾證明了
你不可能證明連續統假說是錯的。 -
6:38 - 6:43接著在 1960 年代,寇恩證明了
你不可能證明連續統假說是對的。 -
6:43 - 6:48合在一起,這些結果告訴你
數學裡也有一些不能回答的問題。 -
6:48 - 6:50這是一個很令人震驚的結論。
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6:50 - 6:53數學被公認是人類邏輯的結晶,
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6:53 - 6:57但現在我們知道
就算是數學也有它的極限。 -
6:57 - 7:01還有就是,數學裡有一些值得我們思考、
而且很令人著迷的道理。
- Title:
- 無限大有多大? - Dennis Wildfogel
- Speaker:
- Dennis Wildfogel
- Description:
-
完整課程請見:http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
藉由集合論的基礎,我們來探索這令人費解的「無限多種無限大」── 並看看它如何讓數學家得到「數學裡也有沒辦法回答的問題」這樣的結論。
課程:Dennis Wildfogel
動畫:Augenblick Studios - Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 07:13
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