Sonsuz Ne Büyüklüktedir?

Kümeler teorisinin temellerini kullanarak, zihnin sınırlarını zorlayan "sonsuzların sonsuzluğu" kavramını ve matematikçilerin bu kavram sayesinde matematiğin de yanıtlayamadığı sorular olduğu sonucuna nasıl vardığını keşfedin.

Ders: Dennis Wildfogel, animasyon: Augenblick Studios.

Dersin tamamı için: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity

4.sınıftayken öğretmen bir gün şöyle demişti:

"Ne kadar sayı varsa, o kadar çift sayı vardır."

"Gerçekten mi?", diye düşündüm. Aslında evet, ikisinden de sonsuz tane olduğuna göre aynı miktarda oldukları varsayılabilir.

Öte yandan, çift sayılar tüm sayıların sadece bir bölümü olup, bir o kadar da tek sayı vardır.

Öyleyse, tüm sayıların miktarı çift sayılardan daha fazla olmalı, değil mi?

Öğretmenin nereye varmak istediğini anlamak için, önce iki kümenin eşit büyüklükte olmasının anlamını düşünelim.

Sağ elimdeki parmak sayısının sol elimdekine eşit olduğunu söylerken neyi kastediyorum?

Tabi ki her birinde 5 parmak var, ama aslında bundan daha basit.

Saymama gerek yok. sadece onların birebir karşılıklı olduğunu görmem yeterli.

3'ten büyük sayılara ad verilmemiş diller konuşan bazı eski toplumlarda,

insanların bu tür bir sihir kullandığı düşünülüyor. Örneğin, otlamaları için koyunları saldığınızda,

her biri için bir taş koyarak, kaç tanesinin çıktığının hesabını tutabilirsiniz.

Geri dönenler için de taşları eksiltirsiniz.

Böylece, saymadan eksik olup olmadığını görebilirsiniz.

Karşılaştırma yapmanın saymaktan daha temel olmasına bir diğer örnek olarak şu verilebilir:

Bütün sandalyelerin kapıldığı ve kimsenin ayakta kalmadığı ağzına kadar dolu bir salonda konuşurken,

sandalyelerin de dinleyicilerin de sayısını bilmesem bile,

aynı sayıda olduklarını bilirim.

Yani, iki kümenin eşit büyüklükte olduğunu söylerken kastettiğimiz şey,

bu kümelerdeki elemanların birebir karşılıklı eşlenebileceğidir.

4.sınıf öğretmenim, tamsayıları yanyana dizmiş ve her birinin altına iki katını yazmıştı.

Gördüğünüz gibi, alttaki satırda çift sayılar var ve birebir karşılık gelme söz konusu.

Yani, ne kadar sayı varsa, o kadar çift sayı var.

Ama hâlâ, çift sayıların, bütün sayıların sadece bir bölümü olması gerçeğinden ötürü çektiğimiz sıkıntı, bizi endişelendiriyor.

Peki ama böyle yapmam, sizi iki elimdeki parmak sayısının aynı olmadığına ikna eder mi?

Elbette hayır. Elemanları eşleştirmeyi denediğiniz yollardan biri işe yaramazsa sorun olmaz.

Bu ikna edici olmaz.

Eğer iki kümenin elemanlarını eşleştirecek bir adet yol bulabilirseniz,

o zaman bu iki kümenin eleman sayısı eşittir, deriz.

Bütün kesirlerin bir listesini yapabilir misiniz? Çok zor, çünkü çok fazla kesir var!

Nereden başlanacak, hepsinin yazıldığından nasıl emin olunacak?

Neyse ki, tüm kesirleri listelememizi sağlayan akıllıca bir yol var.

İlk olarak 1800'lerin sonunda, Georg Cantor tarafından yapılmış.

Önce tüm kesirleri bir ızgaraya yerleştiriyoruz. Hepsi burada. Örneğin, 117/243'ü bulmak için

117.satıra ve 223.sütuna bakabilirsiniz.

Şimdi bundan bir liste çıkarmak için sol üstten başlayıp, çaprazlama ileri-geri giderek,

2/2 gibi zaten seçilmiş sayıya rastladığımızda atlayarak ilerleyebiliriz.

Böylece, tam sayılarla kesirler arasında birebir eşleme yaparak,

bütün kesirlerin bir listesini yapmış oluruz; daha fazla kesir olabileceğini düşündüğümüz gerçeğine rağmen.

İşin ilginç noktası şurada:

Gerçel sayıların tümünün -- yani bir sayı doğrusundaki tüm sayıların -- kesir olmadığını biliyorsunuzdur.

Örneğin 2'nin karekökü ya da pi sayısı.

Böyle sayılara irrasyonel sayı denir. Çılgın falan olduklarından değil.

Kesirlerin, tam sayıların oranları olması nedeniyle rasyonel (oransal) olarak adlandırılmaları, dolayısıyla geriye kalanların rasyonel olmayan anlamında irrasyonel olmasından dolayı.

İrrasyonel sayılar, sonsuza kadar tekrarsız devam eden ondalıklarla temsil edilir.

Peki acaba tam sayılarla, hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları kapsayan tüm ondalıklı sayılar arasında birebir eşleme yapılabilir mi?

Yani, tüm ondalıklı sayıların bir listesini yapabilir miyiz?

Cantor yapılamayacağını gösterdi. Nasıl yapılacağını bilmediğimizden değil, bu mümkün olmadığından.

Tüm ondalıklı sayıların listesini yaptığınızı iddia ettiğinizi varsayalım. Listenizde olmayan bir ondalıklı sayı üreterek,

aslında başaramadığınızı göstereyim size.

Ondalıklı sayımı basamak basamak oluşturacağım.

İlk basamak için, sizin ilk sayınızın ilk basamağına bakacağım.

Eğer 1 ise, benimkini 2 alacağım. Değilse benimkini 1 alacağım.

İkinci basamağım için, sizin ikinci sayınızın ikinci basamağına bakacağım.

Yine eğer sizinki 1 ise benimkini 2 alacağım, değilse benimkini 1 alacağım.

Nasıl ilerlediğini görüyor musunuz? Ürettiğim ondalıklı sayı sizin listede olamaz.

Neden? Örneğin sizin 143. sayınız olabilir mi? Hayır, çünkü benim sayımın 143.basamağı

sizin 143.sayınızın 143.basamağından farklı. Bu şekilde yapıyorum.

Listeniz eksik. Benim ürettiğim ondalıklı sayıyı içermiyor.

Ve bana hangi listeyi getirirseniz getirin, aynı şeyi yaparak orada olmayan bir ondalıklı sayı üretebilirim.

Buradan şu şaşırtıcı sonuca ulaşıyoruz:

Ondalıklı sayıların listesi yapılamaz. Onlar, tam sayıların sonsuzluğundan daha büyük bir sonsuzluk temsil eder.

2'nin karekökü ve pi sayısı gibi az sayıda irrasyonel sayıya aşina olsak da,

irrasyonellerin sonsuzluğu, kesirlerin sonsuzluğundan daha büyüktür.

Birisi şöyle demişti: Rasyoneller --kesirler-- gece göğündeki yıldızlar gibidir;

irrasyoneller ise oradaki siyahlıktır.

Ayrıca Cantor herhangi bir sonsuz kümenin tüm alt kümelerinden oluşan yeni bir küme oluşturulduğunda,

orijinal kümeden daha büyük bir sonsuzluk temsil edeceğini gösterdi. Yani, bir sonsuzluğunuz varsa,

daima onun alt kümelerinin kümesinden daha büyük bir sonsuzluk elde edebilirsiniz.

Ondan da daha büyüğünü, onun alt kümelerinin kümesi ile elde ederek devam edebilirsiniz.

Dolayısıyla, değişik boyutlardaki sonsuzlukların sayısı sonsuzdur.

Bu düşüncelerden rahatsız olan tek kişi siz değilsiniz. Cantor'un zamanındaki büyük matematikçilerin çoğu

bu durumdan hiç hoşlanmamıştı. Bu farklı sonsuzlukları saf dışı ederek,

onlarsız bir matematik yapmayı denediler.

Cantor'un kişiliğine saldırılar bile yapıldı ve bu durum onu öyle kötü etkiledi ki,

ağır bir depresyona girdi ve ömrünün ikinci yarısını akıl hastanelerine girip-çıkarak geçirdi.

Ama sonunda fikri galip geldi. Bugün artık vazgeçilmez ve muhteşem olarak kabul görüyor.

Tüm matematik araştırmacıları bu fikirleri kabul ediyor, tüm üniversitelerin matematik bölümlerinde öğretiliyor

ve bunları size bir kaç dakika içinde açıkladım.

Belki bir gün, bunlar herkesçe bilinir olacak.

Dahası var. Ondalık sayılar kümesinin -yani gerçel sayıların-

tam sayılar kümesinden daha büyük bir sonsuzluk olduğunu gösterdik. Cantor, büyüklüğü bu iki sonsuzluğun arasında olan

başka sonsuzluklar olup olmadığını merak etmişti. Olabileceğine inanmıyordu, fakat bunu kanıtlayamadı.

Cantor'un tahmini "süreklilik hipotezi" olarak bilinir.

1900 yılında, büyük matematikçi David Hilbert "süreklilik hipotezi"nin

matematikteki çözülmemiş en önemli problem olduğunu belirtmişti.

20.yüzyıl bu probleme bir çözüm önerdi, ama bütünüyle beklenmedik, taşları yerinden oynatan bir biçimde.

1920'lerde, Kurt Gödel "süreklilik hipotezi"nin yanlış olduğunun kanıtlanmasının mümkün olmadığını gösterdi.

Ardından 1960'larda, Paul J. Cohen "süreklilik hipotezi"nin doğruluğunun asla kanıtlanamayacağını gösterdi.

Bu ikisi birleştirildiğinde, matematikte çözülmesi olanaksız problemler olduğu sonucu çıkıyordu.

Son derece çarpıcı bir sonuç.

Matematiği hep insan mantığının zirvesi olarak görürüz,

ama artık biliyoruz ki, matematiğin bile bir sınırı var.

Yine de matematik bize üzerinde düşünülecek heyecan verici şeyler sunuyor.