무한대는 얼마나 클까?

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기본적인 집합론을 이용해서 정신착란에 빠질만한 무한대의 무한성을 알아봅니다. 그리고 이런 생각들이 수학에도 답을 할 수 없는 질문이 있다는 것을 설명합니다.

데니스 윌포겔 강의(Dennis Wildfogel, animation by Augenblick Studios.)

제가 4학년이었을 때, 선생님께서 우리들에게 이런 말씀을 하셨습니다:

"전체 숫자들 만큼이나 많은 짝수들이 있어요."

"정말일까?" 라고 저는 생각했어요. 네 그래요. 정말 무한히 많은 수와 짝수가 있고 저는 아마도 그 숫자들의 수가 같을거라고 생각했어요.

하지만 짝수는 전체 숫자들의 일부이고 홀수가 남아 있잖아요,

그래서 짝수보다는 전체 숫자가 더 많아야 한다고 생각했어요. 그렇죠?

선생님께서 말씀하신 것을 알아보기위해 두개의 집합이 같은 크기라는것이 의미하는바를 생각해보죠.

제가 오른손의 손가락 수와 왼손의 손가락 수가 같다고 말하면 무엇을 의미할까요?

물론 각 손마다 5개의 손가락이 있지만 사실 더 간단하게 갯수가 같음을 알수 있습니다.

셀 필요가 없이 이렇게 두손을 겹쳐보면 됩니다.

사실 3보다 더 큰 숫자를 표현하는 단어가 없었던

고대 사람들은 이런 마술같은 방법을 사용했습니다. 예를들어 양들을 우리에서 목초지로 방목을 시킬때,

몇마리가 나갔는지는 돌을 하나씩 차례로 두고,

양들이 돌아오면 다시 돌을 하나씩 빼게 됩니다,

그래서 잃어버린 양이 있는지를 알게 되는 것이죠.

이렇게 세는것 보다 더 기본적인 예를 한가지 들어볼께요,

서있는 사람없이 모두가 앉아 있는 강연장에서 연설을 한다면,

도대체 몇명이 왔고, 의자의 갯수가 몇개인지는 몰라도

저는 이 강연에 오신 분들의 숫자가 의자수 만큼이라는 것을 알수 있습니다.

그래서 두개의 집합이 같은 크기라는 말은

각 집합의 원소들이 적당한 방법으로 1대1로 대응이 된다는 말입니다.

그래서 제 선생님께서는 전체 숫자를 쓰시고 밑에 2를 곱한 숫자를 쓰셨습니다.

보는시대로 밑에 줄의 숫자들은 모두 짝수이고 이숫자들은 1대1로 대응 관계를 이루고 있습니다.

그것이 바로 전체 숫자만큼 짝수의 갯수도 많다는 것입니다.

하지만 여전히 짝수는 전체 숫자들중의 일부라는 사실이 신경쓰이죠.

그런데 이렇게하면 오른손 손가락 수가 왼손가락의 수가 다르다고 생각이 드나요?

물론 아니죠. 여러분들이 다른 방법으로 대응해 보더라도 상관없습니다,

그래도 우리는 그렇게 생각하지 않습니다.

두 집합이 1대1로 대응할 수 있는 방법만 있다면

그 두집합의 크기는 같다고 말할수 있는 것입니다.

모든 분수의 목록를 작성 할 수 있을까요? 너무 많아서 힘들겠죠.

먼저 어떤 분수부터 써야할지도 명확하지 않고, 모든 분수를 목록에 작성했는지를 확인하는 것도 어렵습니다.

그렇지만 모든 분수의 목록를 만들수 있는 아주 똑똑한 방법이 있습니다.

이 방법은 1800년대 말에 게오르크 칸토어(Georg Cantor)라는 독일의 수학자가 처음으로 시도했습니다.

먼저 모든 분수를 이렇게 격자 형태로 배열합니다. 예를들어, 117/243은

117번째 열, 243번째 행에 있게되죠.

그리고 왼쪽상단에서 부터 시작하여 이렇게 대각선으로 하나씩 빼면서 리스트를 만듭니다,

그리고 2/2와 같이 1로 약분되는 분수는 처음에 뽑았으니 포함시키지 않으면 됩니다.

그러면 모든 분수를 포함하는 리스트를 만들 수 있게됩니다. 이 뜻은

더 많은 분수가 있을거라고 생각하지만 모든 숫자들에 이 분수들을 1대1로 대응 할 수 있다는 뜻입니다.

좋습니다, 여기에 정말 재밌는게 있어요.

여러분은 모든 실수가 분수는 아니라는걸 알고 있죠. 즉, 모든 수가 이 선위에 있지 않습니다.

예를들어 루트 2와 파이(Pi)가 그렇습니다.

이런 수들을 무리수라고 합니다. 이 숫자들이 미쳐서가 아니라

분수들은 전체 숫자의 비율로 표시합니다, 그래서 유리수라고하죠; 즉, 나머지가 끊임없이 이어지기 때문에 무리수입니다.

무리수는 무한히 반복되지 않는 숫자들로 표시합니다.

그럼 모든 숫자들과 모든 유리수, 무리수사이에 1대1 대응관계를 만들수 있을까요?

즉, 모든 소수들의 리스트를 만들수 있겠냐는것이죠.

칸토어는 만들수 없다는 것을 증명했습니다. 단순히 어떻게 하는지 모르니까 안된다고 한 것이 아니라 실제로 안된다는 것을 보여주었죠.

자 보세요, 여러분들이 그런 목록을 만들었다고 가정해보죠. 제가 그말이 잘못되었다는 것을

여러분이 만든 리스트에 없는 소수가 있다는 것으로 증명할 수 있습니다.

저는 한번에 소수자리 하나씩 만들겁니다.

제가 만들 소수의 첫번째 자리부터 시작해서, 여러분들의 숫자의 첫번째 소수자리부터 보죠.

만약 여러분의 소수자리가 1이면 저는 2라고 쓰고, 그외의 숫자가 나오면 저는 1이라고 제 숫자를 만들겠습니다.

제 숫자의 두번째 소수자리는 여러분의 두번째 숫자의 두번째 소수자리와 비교해서 만듭니다.

여러분의 숫자가 1이 나오면 저는 2라고 쓰고, 그외 숫자가 나오면 저는 1이라고 쓰겠습니다.

어떻게 되지는 보세요? 제가 만들어낸 소수자리는 여러분의 숫자 리스트에는 없습니다.

왜그럴까요? 예를들어, 143번째 숫자정도에는 나올까요? 그렇지 않습니다.

왜냐하면 제 숫자의 143번째 소수자리는 여러분 숫자의 143번째 소수자리와는 다르기 때문입니다. 이런식으로 만들었습니다.

그래서 여러분이 만든 리스트는 완벽하지 않습니다. 제 숫자는 포함하지 않는다는 말이죠.

그래서 여러분이 어떤 리스트를 만들더라도 저는 같은 방법으로 여러분의 리스트가 포함하지 않는 숫자를 만들수 있습니다.

그래서 우리는 이렇게 놀라운 결론에 이르게 됩니다:

소수는 리스트에 들어 갈 수 없습니다. 그 숫자들은 전체 숫자의 무한대 보다 더 큰 무한대를 표현합니다.

그래서 루트 2나 파이와 같은 무리수에 친숙하기는 하지만

모든 무리수의 무한대는 분수의 무한대 보다 훨씬 더 큽니다.

누군가 분수와 같은 유리수는 밤하늘의 별들과 같다고 말했습니다;

그럼 무리수는 그냥 암흑과 같다고 생각하면 됩니다.

또한 칸토어는 무한집합에 대해서, 원래 집합의 모든 부분집합으로 만든 새로운 집합은

원래 집합보다 더 큰 무한대를 표현한다는 것을 증명했습니다. 이말은 여러분들이 하나의 무한대를 가지고 있다면,

언제든지 그 부분집합으로 더 큰 집합을 만들수 있고,

그렇게 계속해서 반복해서 정말 더 큰 집합을 계속 만들수 있습니다.

그래서 서로 다른 크기의 무한대 집합이 무한히 많습니다.

이런 이야기가 잘 이해가 안되더라도 걱정마세요. 칸토어가 살았던 시대의 위대한 수학자들도

이말에 매우 당황했으니까요. 그분들도 이런 무한대를 별볼일 없는것으로 취급해서

이런 개념없이 수학을 하려고 했으니까요.

칸토어 조차도 이런 개념 때문에 비난받아 우울증으로 고통 받기도 했습니다.

그리고 인생의 절반을 정신병원을 오가면서 살았습니다.

하지만 결국 그의 생각은 맞았습니다. 오늘날, 그의 생각은 중요하고 위대한 것으로 알려졌습니다.

모든 수학자들은 이런 생각들을 인정하고, 모든 학교에서 가르칩니다.

그리고 제가 여러분에게 불과 몇분만에 그 생각을 설명하기도 합니다.

아마도 언젠가는 그 생각들이 상식이 되는 날이 올겁니다.

더 많은 생각들이 그러겠죠. 우리는 단지 소수 집합은 전체 숫자의

집합보다 더 크다라는 점을 말했습니다. 칸토어는 이런 두개의 무한대 사이에

크기가 다른 무한대가 있는지를 궁금해했습니다. 없다고 생각했지만 증명 할 수 있다고 생각했습니다.

칸토어의 추측은 연속체 가설(Continuum Hypothesis)로 잘 알려져 있습니다.

1900년에 유명한 수학자 데이비드 힐버트(David Hilbert)가 연속체 가설을

수학분야에서 풀리지 않은 가장 중요한 문제로 만들었습니다.

20세기에 와서 전혀 기대하지 않았던 패러다임이 깨지는 방법으로 이 문제의 해결책을 보게 되었습니다.

1920년대에, 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)은 연속체 가설이 틀렸다고는 증명할수 없음을 증명했습니다.

그리고 1960년대에 폴 코헨(Paul J. Cohen)이 연속체 가설이 사실이라는 것을 증명할 수 없다는 것을 증명했습니다.

두가지 증명을 종합해보면, 수학에는 답할수 없는것도 있다는 것을 의미합니다.

정말 놀라운 결론이죠.

수학은 사람의 이성적인 판단이 표현하는 최고점이라고 알고 있습니다.

하지만 수학도 한계가 있다는 것을 이제 알았습니다.

그래도 여전히 수학은 사람들이 뭔가를 생각하는데 있어 아주 놀라운 도구입니다.