بینهایت میشود چندتا؟
-
0:14 - 0:17وقتی کلاس چهارم بودم،
معلمم یه روز بهمون گفت: -
0:17 - 0:20«به اندازهی تمام اعداد،
عدد زوج هم هست». -
0:20 - 0:21من گفتم «واقعاً؟».
-
0:21 - 0:24خب آره، در هر دو تاش
بینهایت عدد هست، -
0:24 - 0:26پس فکر میکردم تعدادشون هم برابره.
-
0:26 - 0:29ولی اعداد زوج
بخشی از اعداد صحیح هستند، -
0:29 - 0:31اعداد فرد هم گذاشتیم کنار.
-
0:31 - 0:34پس باید اعداد صحیح بیشتر
از اعداد زوج باشن، درسته؟ -
0:34 - 0:36برای فهم اینکه منظور معلمم چی بود،
-
0:36 - 0:39بیایید اول بفهمیم هماندازه بودنِ
دو مجموعه یعنی چی؟ -
0:39 - 0:42وقتی من میگم تعداد انگشتان
دست چپم با انگشتان دست راستم -
0:42 - 0:44برابرند یعنی چی؟
-
0:44 - 0:48البته که من پنج انگشت در هر دستم دارم
اما موضوع سادهتر از اینه. -
0:48 - 0:52لازم نیست بشمارم، فقط کافیه ببینم که
همپوشانی دارن. یک به یک. -
0:53 - 0:55در واقع، فکر میکنیم
بعضی از مردم باستان -
0:55 - 0:58که در زبانشون کلمهای برای
شمارههای بزرگتر از سه نداشتن -
0:58 - 0:59از این جادو استفاده میکردن.
-
1:00 - 1:02مثلاً، اگر گوسفندانتان را برای چرا
از آغلشون بیرون میبرید، -
1:02 - 1:06میتونید با بیرون رفتن هر یک، سنگی کنار
بذارید و تعدادشون رو نگه دارید. -
1:06 - 1:09و وقتی برگشتن برای هرکدوم
یک سنگ رو برگردونید سرجاش -
1:09 - 1:12اینطوری میفهیمد چندتا گم شدن
بدون اینکه واقعا شمارش کنید. -
1:12 - 1:15بعنوان مثال دیگری از اولویتِ
همپوشانی نسبت به شمارش کردن، -
1:15 - 1:17اگر من در یک تالار سخنرانی صحبت کنم،
-
1:17 - 1:20جایی که تک تک صندلیها پر باشد
و هیچکس سرپا نباشد ، -
1:20 - 1:23میدانم که به اندازهی صندلیها
آدم در آنجا حضور دارد، -
1:23 - 1:26گرچه تعداد دقیق هیچکدام را نمیدانم.
-
1:26 - 1:29پس، واقعا منظور واقعیمان وقتی
میگوییم دو مجموعه هماندازه هستند -
1:29 - 1:31این است که عناصر آن دو مجموعه
-
1:31 - 1:33به نوعی میتوانند یک به یک همپوشانی کنند.
-
1:33 - 1:35معلم کلاس چهارمم به ما نشان داد
-
1:35 - 1:38اگر اعداد صحیح در یک ردیف باشند
و زیر هر یک دوبرابرش را داشته باشیم. -
1:38 - 1:41همانطور که میبینید، ردیف پایین
شامل همهی اعداد زوج است، -
1:41 - 1:42و یک همپوشانی یک به یک داریم.
-
1:42 - 1:45بعبارت دیگر، به اندازه تمام اعداد،
عدد زوج هم داریم. -
1:45 - 1:48اما چیزی که هنوز اذیتمان میکند نگرانی ما
-
1:48 - 1:51از این واقعیت است که اعداد زوج ظاهراً
تنها بخشی از اعداد صحیح هستند. -
1:51 - 1:53اما آیا باور میکنید
-
1:53 - 1:55که تعداد انگشتان دست چپ و
انگشتان دست راستم -
1:55 - 1:57با هم برابر نیستند؟
-
1:57 - 1:58البته که نه.
-
1:58 - 2:00مهم نیست که سعی کنید این عناصر
-
2:00 - 2:02به نوعی همپوشانی کنند و اینطور نشود،
-
2:02 - 2:04این در هیچ چیزی ما را قانع نمیکند.
-
2:04 - 2:05اگر بتوانید راهی پیدا کنید
-
2:05 - 2:07که عناصر دو مجموعه همپوشانی کنند،
-
2:07 - 2:10آنگاه میگوییم این دو مجموعه
تعداد برابری از عناصر دارند. -
2:10 - 2:12آیا میتوانید اعداد کسری را فهرست کنید؟
-
2:13 - 2:15کار سختی است،
کسرهای بسیار زیادی وجود دارد! -
2:15 - 2:17و معلوم نیست اول کدام را باید آورد،
-
2:17 - 2:19و چطور مطمئن شویم
همگی در فهرست آمدهاند. -
2:19 - 2:22با این حال، راه زیرکانهای هست
-
2:22 - 2:24که میتوانیم اعداد کسری را فهرست کنیم.
-
2:24 - 2:28این کار نخستین بار توسط جورج کانتور،
در اواخر قرن نوزده انجام شد. -
2:28 - 2:31اول، همهی کسرها را در یک زمین میچینیم.
-
2:31 - 2:32همگی اینجا هستند.
-
2:32 - 2:36برای مثال، میتوانید ۱۱۷ تقسیم بر
۲۴۳ را در ردیف -
2:36 - 2:39۱۱۷ام و ستون ۲۲۳ام پیدا کنید.
-
2:39 - 2:41حالا اینها را فهرست میکنیم
-
2:41 - 2:44از بالا چپ شروع میکنیم
و ادامه میدهیم و قطری جلو میرویم، -
2:44 - 2:47از هر کسر مثل ۲/۲ چشمپوشی میکنیم،
-
2:47 - 2:50که بیانگر همان تعدادی است که
تا بحال انتخاب کردیم. -
2:50 - 2:52فهرستی از اعداد کسری حاصل میشود،
-
2:52 - 2:54یعنی یک همپوشانی یک به یک ایجاد کردیم
-
2:54 - 2:56بین اعداد صحیح و اعداد کسری،
-
2:56 - 2:59با وجود این واقعیت که فکر میکردیم
شاید تعداد اعداد کسری بیشتر باشند. -
2:59 - 3:01خیلیخوب، از اینجا به بعد
خیلی جالب میشود. -
3:01 - 3:03شاید بدانید که همهی اعداد صحیح
-
3:03 - 3:06-- یعنی، همهی اعداد روی یک محور --
کسری نیستند. -
3:07 - 3:09برای مثال، ریشهی دوم دو و عدد پی
-
3:09 - 3:11هر عددی مثل این اصم یا گنگ است.
-
3:11 - 3:13نه اینکه بیعقل یا دیوانه باشد، نه
-
3:13 - 3:16بلکه به این خاطر که کسرها
نسبت اعداد صحیح هستند، -
3:16 - 3:18و برای همین به آنها گویا میگوییم،
-
3:18 - 3:21یعنی باقی اعداد غیرگویا یا همان گنگ هستند.
-
3:21 - 3:25اعداد گنگ اعداد با اعشار بینهایت
و غیرتکرار شونده هستند. -
3:25 - 3:27پس، آیا میتوانیم یک همپوشانی یک به یک
-
3:27 - 3:30بین اعداد صحیح و مجموعهی
کامل اعداد اعشار بیابیم -
3:30 - 3:32هم اعداد گویا و هم اعداد گنگ؟
-
3:32 - 3:34بعبارت دیگر، آیا میتوانیم
اعداد اعشاری را فهرست کنیم؟ -
3:34 - 3:36کانتور نشان داده که نمیتوانیم.
(جرج کانتور ریاضیدان آلمانی) -
3:36 - 3:40نه اینکه راهش را ندانیم،
بلکه کلاً نشدنی است. -
3:40 - 3:44ببینید، تصور کنیم ادعا دارید که
اعداد اعشاری را فهرست کردهاید. -
3:44 - 3:46حالا من میخواهم نشانتان دهم
که موفق نشدید، -
3:46 - 3:48با تولید عددی که در فهرست شما وجود ندارد.
-
3:48 - 3:51من هربار عدد اعشاریام را فوری میسازم.
-
3:51 - 3:53برای اولین رقم اعشار عددم،
-
3:53 - 3:56به اولین اعشار اولین عدد تو نگاه میکنم.
-
3:56 - 3:58اگر یک باشد، مال من میشود دو،
-
3:58 - 4:00وگرنه عدد یک را انتخاب میکنم.
-
4:00 - 4:03برای دومین رقم اعشارم،
-
4:03 - 4:05به دومین اعشار دومین عدد تو نگاه میکنم.
-
4:05 - 4:08دوباره، مال تو اگر یک باشد
من عدد دو را انتخاب میکنم، -
4:08 - 4:10وگرنه عدد یک را مینویسم.
-
4:10 - 4:11میبینید چطور میشود؟
-
4:11 - 4:14عدد اعشاری که من تولید کردم
نمیتواند در فهرست شما باشد. -
4:14 - 4:18چرا؟ آیا میتواند
مثلاً ۱۴۳مین عدد شما باشد؟ -
4:18 - 4:21نه، چونکه ۱۴۳مین اعشار عدد من
-
4:21 - 4:24با ۱۴۳مین رقم ۱۴۳مین عدد شما فرق دارد.
-
4:24 - 4:26اینگونه آنرا ساختهام.
-
4:26 - 4:27فهرست شما کامل نیست.
-
4:27 - 4:29چون عدد من را نیاوردهاید.
-
4:30 - 4:32و مهم نیست چه فهرستی ارائه کنید،
من باز هم این کار را میکنم. -
4:32 - 4:35و عددی میسازم که در فهرست شما نیست.
-
4:35 - 4:37پس با این نتیجهی شگفتانگیز
مواجه میشویم: -
4:37 - 4:40اعداد اعشاری را نمیتوان فهرست کرد.
-
4:40 - 4:44این اعداد بیانگر بینهایتی بزرگتر
از بینهایتِ اعداد صحیح هستند. -
4:44 - 4:47خب، گرچه با تعداد کمی از
اعداد گنگ آشنا هستیم -
4:47 - 4:49مثل جذر دوم دو و عدد پی،
-
4:49 - 4:50بینهایتِ اعداد گنگ
-
4:50 - 4:53خیلی بزرگتر از بینهایتِ
اعداد کسری/گویا است. -
4:53 - 4:54یک نفر گفته است که اعداد گویا
-
4:54 - 4:58-- اعداد کسری -- مثل ستارهها
در آسمان شب هستند. -
4:58 - 5:01و اعداد گنگ مثل سیاهی شب هستند.
-
5:01 - 5:04کانتور همچنین نشان داده که،
برای هر مجموعهی بینهایت، -
5:04 - 5:07تشکیل یک مجموعهی جدید از
زیر مجموعههای مجموعهی اصلی -
5:07 - 5:10بیانگر بینهایتی بزرگتر از
مجموعهی اصلی آن است. -
5:10 - 5:12این یعنی،
وقتی یک بینهایت داشته باشید، -
5:12 - 5:14میتوانید یک بینهایت بزرگتر را
-
5:14 - 5:17بوسیله ساختن یک مجموعه از همهی
زیرمجموعههای مجموعهی اول بسازید. -
5:17 - 5:18و بعد بازم یکی بزرگتر از آن.
-
5:18 - 5:21با ساختن مجموعهای از همهی
زیرمجموعههای این یکی -
5:21 - 5:22و به همین ترتیب.
-
5:22 - 5:26در نتیجه، بیشمار بینهایت
در اندازههای گوناگون وجود دارد. -
5:26 - 5:29اگر این اصول شما را ناراحت میکند
فقط شما نیستید. -
5:29 - 5:32بعضی از بزرگترین ریاضیدانان هم عصر کانتور
-
5:32 - 5:33از این موضوع خیلی ناراحت بودند.
-
5:33 - 5:36سعی کردند بگویند این بینهایتهای
گوناگون بیربط هستند. -
5:36 - 5:38تا ریاضی را از آن خلاص کنند.
-
5:38 - 5:40حتی از شخص کانتور بدگویی میکردند،
-
5:40 - 5:43و این برای او آنقدر بد بود که
به افسردگی شدید مبتلا شد، -
5:43 - 5:46و نیمهی آخر زندگیاش را در
موسسات روانپزشکی گذراند. -
5:46 - 5:49اما نهایتاً، ایدهی او برتر بود.
-
5:49 - 5:52امروز، ایدههای او
اصولی و ممتاز شمرده میشوند. -
5:52 - 5:54همهی ریاضیدانان نظری
ایدههای او را قبول دارند، -
5:54 - 5:56دانشکدههای ریاضی بزرگ
آنها را تدریس میکنند، -
5:56 - 5:58و من تنها در چند دقیقه
به شما توضیح دادم. -
5:58 - 6:01شاید یک روز
تبدیل به اطلاعات عمومی شوند. -
6:01 - 6:02بقیهاش مانده.
-
6:02 - 6:04گفتیم که مجموعهی اعداد اعشاری
-
6:05 - 6:07-- یا همان اعداد حقیقی --
بینهایتِ بزرگتری است -
6:07 - 6:08از مجموعهی اعداد صحیح.
-
6:08 - 6:11کانتور خواست ببیند
آیا بینهایتهایی هم -
6:11 - 6:13با اندازههای دیگر بین
این دو بینهایت هست. -
6:13 - 6:15فکر نمیکرد باشد اما
نتوانست اثبات کند. -
6:15 - 6:19حدس کانتور به عنوان
«فرضیه پیوستار» معروف شد. -
6:19 - 6:22در سال ۱۹۰۰ ریاضیدان بزرگ
دیوید هیلبرت -
6:22 - 6:24فرضیهی پیوستار را در فهرستی
-
6:24 - 6:26به عنوان مهمترین مسألهی حل نشده
در ریاضیات ارائه کرد. -
6:26 - 6:29در قرن بیستم راه حلی برای آن پیدا شد،
-
6:29 - 6:33اما به شکلی کاملاً غیرمنتظره،
و مخالف باورهای قبلی. -
6:33 - 6:35در دهه ۱۹۲۰، کورت گودل نشان داد
-
6:35 - 6:38هرگز نمیتوان اثبات کرد
که فرضیه پیوستار غلط است. -
6:38 - 6:41بعدتر در دهه ۱۹۶۰، پال جی.کوهن نشان داد
-
6:41 - 6:44هرگز نمیتوان اثبات کرد
که فرضیه پیوستار درست است. -
6:44 - 6:46این دو در کنار هم یعنی اینکه
-
6:46 - 6:49در ریاضیات مسائل بیپاسخی وجود دارد.
-
6:49 - 6:50یک نتیجهی فوقالعاده.
-
6:50 - 6:53ریاضیات به درستی
اوج منطق انسان لقب گرفته. -
6:53 - 6:57اما حالا میدانیم که حتی ریاضیات هم
محدودیتهایی دارد. -
6:57 - 7:01اما هنوز هم ریاضی مسائل واقعاً
شگفتانگیزی برای فکر کردن دارد.
- Title:
- بینهایت میشود چندتا؟
- Speaker:
- Dennis Wildfogel
- Description:
-
more » « less
درس کامل را در این نشانی ببینید:
http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinityبا استفاده از اصول نظریه‌ی مجموعه‌ها، به کاوش در مفهوم خیال‌انگیز «بیشمار بینهایت» بپردازید -- و اینکه چطور این مفهوم ریاضیدانان را به این نتیجه رساند که ریاضی در خودش مسائل بی پاسخی هم دارد.
درس از دنیس ویلدفوگل، انیمیشن از استودیوی Augenblick.
- Video Language:
- English
- Team:
closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 07:13
|
soheila Jafari approved Persian subtitles for How big is infinity? | |
|
|
soheila Jafari edited Persian subtitles for How big is infinity? | |
|
|
soheila Jafari accepted Persian subtitles for How big is infinity? | |
|
hassan qodusi edited Persian subtitles for How big is infinity? | |
|
|
hassan qodusi edited Persian subtitles for How big is infinity? | |
|
|
hassan qodusi edited Persian subtitles for How big is infinity? | |
|
|
hassan qodusi edited Persian subtitles for How big is infinity? | |
|
|
hassan qodusi edited Persian subtitles for How big is infinity? |