Compreendendo os números irracionais - Ganesh Pai

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Como muitos heróis dos mitos gregos, dizia-se que o filósofo Hípaso de Metaponto havia sido mortalmente punido pelos deuses. Que crime ele cometeu, afinal? Será que ele matou convidados ou interrompeu um ritual sagrado? Não. A transgressão de Hípaso foi provar matematicamente o até então improvável. Ganesh Pai descreve a história e a matemática por trás dos números irracionais.

Lição de Ganesh Pai, animação de Anton Trofimov.

Como muitos heróis dos mitos gregos,

dizia-se que o filósofo
Hípaso de Metaponto

fora mortalmente punido pelos deuses.

Que crime ele cometeu, afinal?

Será que matou convidados?

Ou atrapalhou um ritual sagrado?

Não, a transgressão de Hípaso
foi uma prova matemática:

a descoberta dos números irracionais.

Hípaso pertencia a um grupo
chamado matemáticos pitagóricos,

os quais tinham uma reverência
religiosa por números.

A frase deles, "tudo se resume a números",

sugeria que os números eram
os blocos de construção do universo.

Parte dessa crença era que tudo,

da cosmologia e da metafísica
à música e à moralidade,

seguia regras eternas

que podiam ser descritas
como a razão entre dois números inteiros.

Assim, qualquer número poderia
ser escrito como uma fração:

5 como 5/1,

0,5 como 1/2

e assim por diante.

Até um decimal infinito como este poderia
ser expresso exatamente como 34/45.

Todos esses são o que hoje
chamamos de números racionais.

Hípaso, porém, encontrou um número
que violava essa regra harmoniosa,

um número que não deveria existir.

O problema começou com uma forma simples,

um quadrado em que cada lado
mede uma unidade.

Segundo o Teorema de Pitágoras,

o comprimento da hipotenusa
seria a raiz quadrada de 2.

Infelizmente,

Hípaso não conseguiu expressar isso
como uma fração com números inteiros,

mas, em vez de desistir,
ele decidiu provar que era impossível.

Hípaso começou supondo que a visão
de mundo pitagórica era verdadeira,

que a raiz de 2 poderia ser expressa
como uma razão entre dois inteiros.

Ele chamou esses inteiros
hipotéticos de p e q.

Considerando que a fração fosse reduzida
à sua forma mais simples,

p e q não poderiam ter
quaisquer fatores comuns.

Para provar que a raiz de 2
não era racional,

Hípaso tinha apenas que provar
que p/q não podia existir.

Então, ele multiplicou
ambos os membros da equação por q

e elevou ambos os lados ao quadrado,
o que resultou nesta equação.

Multiplicar qualquer número por 2
resulta em um número par.

Sendo assim, p^2 tinha que ser par.

Isso não poderia ser
verdadeiro se p fosse ímpar

porque um número ímpar
vezes ele mesmo sempre dá ímpar.

Então, p também era par.

Assim, p poderia ser expresso como 2a,
onde a é um número inteiro.

Substituindo isso na equação
e simplificando-a,

temos q^2 = 2a^2.

Mais uma vez, 2 vezes qualquer número
resulta em um número par.

Então, q^2 só pode ser par
e q também só pode ser par;

ou seja, p e q são pares.

Se isso fosse verdadeiro, porém,
eles teriam um fator comum 2,

o que contradiria a afirmação inicial,

e foi assim que Hípaso concluiu
que tal fração não existe.

É o que chamamos de prova por contradição

e, segundo a lenda,

os deuses não gostaram de ser contestados.

O interessante é que, embora não possamos
expressar números irracionais

como frações de números inteiros,

é possível localizar alguns dele
num eixo numérico ou reta orientada.

Vejamos a raiz de 2.

Basta formarmos um triângulo retângulo
em que dois dos lados meçam uma unidade.

A hipotenusa mede raiz de 2,
e pode ser projetada sobre o eixo.

Podemos então formar
outro triângulo retângulo

com uma base de mesmo comprimento
e com altura medindo uma unidade,

e sua hipotenusa seria igual à raiz de 3,
a qual também pode projetada sobre o eixo.

A questão aqui é que decimais e frações
são apenas formas de expressar números.

A raiz de 2 é simplesmente
a hipotenusa de um triângulo retângulo

que tem lados medindo uma unidade cada.

Da mesma forma,
o famoso número irracional pi

é sempre igual a exatamente
o que ele representa:

a razão entre a circunferência
de um círculo e o seu diâmetro.

Aproximações como 22/7,

ou 355/113,

jamais serão precisamente iguais a pi.

Nunca saberemos o que realmente
aconteceu com Hípaso,

mas o que sabemos é que a descoberta
que ele fez revolucionou a matemática.

Então, seja o que for que os mitos digam,
não tenha medo de tentar o impossível.