一副牌的排序有多少種？ - 楊奈·凱金 (Yannay Khaikin)

完整課程請見：http://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-can-you-arrange-a-deck-of-cards-yannay-khaikin

一副牌有 52 張，那麼有多少種排序？這麼說吧，每次洗好牌，你幾乎可以確定這副牌的排序前無古人，後無來者。楊奈·凱金解釋了階乘的意義，告訴我們如何用階乘來表示一副牌有多少種排序方式。

課程：楊奈·凱金，動畫：搬家公司動畫工作室 (The Moving Company Animation Studio)。

抽一張牌，隨便一張，

其實，乾脆把整副牌都攤開來
看一看，

一副共有 52 張的撲克牌，
已沿用了好幾個世紀。

每天，成千上萬副這樣的牌，

在全球各個賭場被洗來洗去，

每次洗都會重新排序。

但當你每回拿起一副洗好的牌，

像這副一樣，

你幾乎可以確定的是，

你手上這副牌的順序

在過去從未出現。

怎麼會這樣？

答案在於，究竟有多少排列組合，
不論是這 52 張牌，

或任何物件，
有多少可能的排列組合存在？

52 看起來不是個很大的數字，

但我們還是先從
更小的數字開始吧。

例如有四個人嘗試坐在

四張有編號的椅子上，

他們的座位有幾種坐法？

一開始，四人中的任何一位
都可以坐在一號位置，

決定好之後，

還有三個人站著，

第二個人坐下之後，

就剩下兩個人有可能

坐在三號位置。

第三個人坐下後，

最後一個站著的人便別無他選，

只能坐在四號椅子。

如果我們寫下
所有可能的座位排法，

或者說排列，
(permutations)

結果將有 24 種不同的坐法，

讓四個人坐上四張椅子。

但當要處理的數字較大時，

這就要花上好些時間了。

我們來想想有沒有更快的方法。

從頭來過，

由誰坐上一號椅子，

引出二號椅子的三種可能選擇，

而當中的每個選項，

再引出三號座位的兩種可能性。

所我們不需要
一個一個排出最終的坐法，

只需乘上每張椅子的可能選項：
4 乘以 3 乘以 2 乘以 1。

就會得到相同的結果，
即 24 種坐法。

所以，出現了有趣的規則：

我們先確認要排列的物件數量，

這次是四個人，

然後連續乘以越來越小的整數，

直到 1 為止。

這是很有趣的發現，
數學家將這種計算方法

命名為階乘，

以驚嘆號「！」表示。

一般而言，任意整數的階乘，

計算方法為：

從自己開始，越來越小的整數，
往下相乘，直到 1 為止。

我們剛剛那個簡單的例子，

4 個人座位的排列方法，

就可以寫成 4 的階乘「 4! 」，

計算結果等於 24。

所以讓我們回頭來看這副牌，

如同計算 4 個人
座位的排列方式，

52 張牌就有 52! 種排列方式。

好在我們不需要用手算，

只要按計算機就可以知道，

可能的排列方式共有

8.07 乘以 10 的 67 次方
這麼多種的可能排序，

大約就是 8 後面加上 67 個 0 。

這數字到底是多大呢？

嗯，如果每秒鐘排一種順序，

大約要花 138 億年，

差不多是從
宇宙大爆炸要開始的時候，

一直排到此時此刻都還沒排完，

還要再排個幾百萬年，
才可能排出所有的可能順序。

事實上，52 張牌的排法，

數量可能遠超過，
地球上所有的原子數目總和。

所以下次輪到你洗牌的時候，

記得想想
你現在洗出來的這副牌，

它的排列順序，
可能是絕無僅有，空前絕後的。