Exact Equations Intuition 2 (proofy)
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0:01 - 0:04上节课
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0:04 - 0:05我给大家介绍了
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0:05 - 0:06偏导下的链式法则
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0:06 - 0:10我们说 如果有一个函数Ψ
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0:10 - 0:14这是希腊字母Ψ 它是x、y的函数
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0:14 - 0:17如果我要求它的偏导数
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0:17 - 0:19关于。。。 不对 我要求导数
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0:19 - 0:23不是偏导 求它关于x的导数
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0:23 - 0:30那就是?Ψ
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0:30 - 0:33除以?x 加上?Ψ
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0:33 - 0:35除以?y 乘以dy/dx
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0:35 - 0:38上一个视频中 我没有证明
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0:38 - 0:40但我给了大家一种直观
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0:40 - 0:41所以相信我吧
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0:41 - 0:41但可能某天
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0:41 - 0:43我会严格地证明它
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0:43 - 0:45不过如果有兴趣的话
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0:45 - 0:46也能在网络上找到
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0:46 - 0:50偏导下的链式法则的证明
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0:50 - 0:53放一边吧
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0:53 - 0:54下面来看看偏导的另一个性质
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0:56 - 0:56这之后 我们就能直观地感受
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0:56 - 0:57恰当方程了
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0:57 - 0:59因为你会发现
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0:59 - 1:02这些足够让我们去解恰当方程了
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1:02 - 1:05但直觉这东西吧
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1:05 - 1:06好吧 我不想说它有点难
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1:06 - 1:07因为直觉有了就是有了
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1:07 - 1:11所以 如果有一个函数Ψ
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1:11 - 1:15我要求Ψ的偏导数
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1:15 - 1:17首先是关于x的偏导
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1:17 - 1:18写下Ψ
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1:18 - 1:20我不用每次都写上x、y
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1:20 - 1:23然后我求关于y的
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1:23 - 1:25偏导数
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1:29 - 1:33正如记号 可以写成。。。
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1:33 - 1:33多多少少可以看做
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1:33 - 1:35把操作符(求导符号)相乘
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1:35 - 1:36可以写成这样
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1:36 - 1:42上面是?2Ψ
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1:42 - 1:48下面是?y 或者?x
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1:48 - 1:50也可以写成。。。
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1:50 - 1:53这是我最喜欢的符号
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1:53 - 1:54因为它没有多余的符号
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1:54 - 1:55你可以说
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1:55 - 1:56求偏导 先是x
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2:00 - 2:01这意味着 对Ψ求关于x的偏导
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2:01 - 2:04然后求关于y的偏导
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2:04 - 2:06这是其中一种情况
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2:06 - 2:08先求关于x 再求关于y的偏导
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2:08 - 2:09是怎样做的呢?
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2:09 - 2:13先是关于x
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2:13 - 2:14把y固定 求关于x的偏导
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2:14 - 2:15关于x的 把y忽略
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2:15 - 2:17然后把x固定
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2:17 - 2:19求关于y的偏导
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2:19 - 2:21那交换x和y的顺序
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2:21 - 2:22会发生什么呢?
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2:22 - 2:25会发生的是。。。
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2:25 - 2:30用另一种颜色 写下Ψ
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2:30 - 2:33然后求偏导
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2:33 - 2:34先是关于y
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2:34 - 2:36然后是关于x 这是什么呢?
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2:37 - 2:38这只是记号罢了
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2:38 - 2:41大家应该适应了吧
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2:41 - 2:45这是?x和?y
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2:45 - 2:46这是算符
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2:46 - 2:49这里可能会引起误会
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2:49 - 2:50这两个记号
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2:50 - 2:51尽管是一样的
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2:51 - 2:53但顺序变了
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2:53 - 2:54这不过是因为
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2:54 - 2:55看待事物的方法不一样
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2:55 - 2:58这是说 先求关于x的偏导 再y
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2:58 - 3:00这看上更像算符
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3:00 - 3:03先求关于x的偏导 然后求关于y的
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3:03 - 3:05就像是算符乘积那样
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3:05 - 3:09无论怎样 这也可以写成
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3:09 - 3:11先是y 然后才是x
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3:11 - 3:13不好意思 关于y
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3:13 - 3:15然后才是关于x的偏导
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3:15 - 3:18现在 我要告诉大家
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3:18 - 3:21如果求偏之后函数都是连续的
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3:21 - 3:22我们处理的
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3:22 - 3:25大部分函数的定义域都是平凡的
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3:25 - 3:27也就是 是连续的 没有洞的
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3:27 - 3:29函数的定义中也没有诡异的地方
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3:29 - 3:30它们通常都是连续的
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3:30 - 3:33特别地 在第一年的微积分或微分课程中
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3:34 - 3:35我们处理的
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3:35 - 3:36大部分是连续函数
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3:36 - 3:38定义域是好的
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3:38 - 3:40如果这两个函数是连续的
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3:40 - 3:45求偏之后还都是连续的
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3:45 - 3:47那它们就是相等的
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3:47 - 3:55Ψxy等于Ψyx
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3:55 - 4:01现在 我们要应用它了
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4:01 - 4:05求偏下的链式法则
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4:05 - 4:07应用它去解
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4:07 - 4:09一种类型的微分方程
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4:09 - 4:13一阶的微分方程
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4:13 - 4:14叫做“恰当方程”
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4:14 - 4:18恰当方程是怎样的呢?
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4:18 - 4:22它们是这样的
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4:22 - 4:24选择颜色真不容易啊
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4:24 - 4:26这是我的微分方程
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4:26 - 4:30关于x和y的函数
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4:30 - 4:32不确定是什么
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4:32 - 4:33它可能是x2*cosy 或者其他
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4:33 - 4:35不确定是什么 可以是任意x、y的函数
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4:35 - 4:40加上另一个x、y的函数
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4:40 - 4:45称之为N 乘以dy/dx之后等于0
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4:45 - 4:46这是。。。
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4:46 - 4:48我不确定是否为恰当方程
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4:48 - 4:51不过你看到这样的形式
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4:51 - 4:53首先要做的是。。。
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4:53 - 4:54首先考虑它是否可分离变量
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4:54 - 4:56你们应该做一些代数练习
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4:56 - 4:58看看变量是否可分离
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4:58 - 4:59因为那可以直接解出来
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4:59 - 5:00如果不可分离
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5:00 - 5:02但还是这样的形式
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5:02 - 5:04你就会问“喔 这是恰当方程么?”
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5:04 - 5:06什么是恰当方程?
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5:06 - 5:07好吧 首先要看
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5:07 - 5:12这里的形式
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5:12 - 5:14看上去和这里很相似
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5:14 - 5:18如果M是?Ψ/?x呢?
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5:18 - 5:25Ψx是否就是M呢?
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5:25 - 5:27这是Ψx吗?
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5:27 - 5:30又如果这是Ψy呢?
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5:30 - 5:32也就是Ψy=N
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5:32 - 5:33如果。。。
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5:33 - 5:35我只是想说 我们并不确定
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5:35 - 5:38如果你偶然在某处看到这个式子
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5:38 - 5:40你不会知道这是否
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5:40 - 5:42是某函数关于x的偏导数
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5:42 - 5:43或者这也是一个偏导数
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5:43 - 5:44某函数关于y的偏导数
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5:44 - 5:46但我们说 如果是呢?
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5:46 - 5:47如果确实是
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5:47 - 5:50我们就可以重新写成 Ψ
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5:50 - 5:53关于x的偏导 加上Ψ
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5:53 - 5:59关于y的偏导 乘以dy/dx 等于0
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5:59 - 6:02这里左边的式子
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6:02 - 6:05和这里是一样的 对吧?
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6:05 - 6:09这是Ψ关于x的导数
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6:09 - 6:11用到了偏导下的链式法则
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6:11 - 6:13所以可以重写了
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6:13 - 6:17重写成 这是Ψ关于x的
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6:17 - 6:20导数
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6:20 - 6:23Ψ是关于x、y的函数 等于0
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6:23 - 6:28看这个微分方程
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6:28 - 6:29写出这样的形式
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6:29 - 6:31你会说 哎 还是不能分离变量吧
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6:31 - 6:32但这是一个恰当方程
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6:32 - 6:36显然
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6:36 - 6:37如果它出现在
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6:37 - 6:38最近的考试中
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6:38 - 6:39那它很可能是一个恰当方程
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6:39 - 6:41但看到这个形式 你会说
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6:41 - 6:42它可能是一个恰当方程
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6:42 - 6:45如果它是一个恰当方程。。。
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6:45 - 6:45告诉大家
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6:45 - 6:48怎样最快地作出判断
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6:48 - 6:50然后就可以写成
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6:50 - 6:53某函数Ψ的导数了
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6:53 - 6:55这是Ψ关于x的偏导
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6:55 - 6:58这是Ψ关于y的偏导
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6:58 - 7:00如果可以写成这样
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7:00 - 7:01就可以对两边求导。。。
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7:01 - 7:07不对 应该是两边取不定积分
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7:07 - 7:08就能得到Ψ(x,y)=C
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7:08 - 7:10是方程的一个解
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7:10 - 7:11有两件事
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7:11 - 7:13是我们应该关心的
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7:13 - 7:16之后你可能会说 好的 Sal
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7:16 - 7:20考虑过了Ψ 、偏导数 所有的这些
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7:20 - 7:22首先 怎样知道这是否是一个恰当方程?
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7:22 - 7:25然后 如果是恰当方程
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7:25 - 7:27也就是存在那样的一个Ψ
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7:27 - 7:28然后怎样解出Ψ呢?
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7:28 - 7:32所以 判断是否恰当方程的办法
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7:32 - 7:35就是利用这个信息
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7:35 - 7:38我们知道 Ψ和它的偏导们
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7:38 - 7:40在定义域上都是连续的
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7:40 - 7:42然后关于x和y
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7:42 - 7:46求偏导数
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7:46 - 7:47在两种求偏顺序下 它们还是一样的
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7:47 - 7:49所以我们说 这是偏导
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7:49 - 7:50关于x的 对吧?
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7:53 - 7:56这是关于y的偏导
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7:56 - 8:00如果这是恰当方程
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8:00 - 8:01如果它是恰当的
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8:01 - 8:03对它关于y的
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8:03 - 8:05偏导数 对吧?
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8:05 - 8:12对M求关于y的偏导。。。
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8:12 - 8:14也就是Ψx
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8:14 - 8:16等于M
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8:16 - 8:17如果我们对它求关于y的
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8:17 - 8:18偏导数
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8:18 - 8:22可以重写成这样
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8:22 - 8:26它是等于
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8:26 - 8:28Nx 对吧?
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8:28 - 8:32Ψ关于y的偏导 是N
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8:32 - 8:35如果我们对两边
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8:35 - 8:36求关于x的偏导
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8:36 - 8:41我们知道它们应该是相等的
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8:41 - 8:44如果Ψ和它的偏导都是连续的话
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8:44 - 8:49所以这是相等的
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8:49 - 8:52因此 这其实是判断
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8:52 - 8:54恰当与否的办法
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8:54 - 8:56我来重新写一下
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8:56 - 8:57总结一番
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8:57 - 9:05如果你看到这样的形式M(x,y)
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9:05 - 9:10加上N(x,y)dy/dx 等于0
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9:10 - 9:13然后就应该 对M求关于y的
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9:13 - 9:14偏导数
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9:14 - 9:18然后对N求关于x的偏导
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9:18 - 9:24它们会是相等的
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9:24 - 9:26这。。。是当且仅当的
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9:26 - 9:29如果满足的话 它就是恰当方程
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9:29 - 9:31恰当微分方程
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9:31 - 9:32这是恰当的
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9:32 - 9:34如果它是恰当方程
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9:34 - 9:36也就告诉了我们 存在一个Ψ
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9:36 - 9:47它的导数等于0
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9:47 - 9:52或者Ψ(x,y)=C
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9:52 - 9:53这是方程的解
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9:53 - 9:58Ψ关于x的偏导
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9:58 - 10:00等于M
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10:00 - 10:04Ψ关于y的偏导
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10:04 - 10:05等于N
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10:05 - 10:08在下一个视频中
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10:08 - 10:10我会告诉大家 怎么利用这个信息解方程
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10:10 - 10:12这里我还是要指出某些东西
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10:12 - 10:14这是Ψ关于x的
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10:14 - 10:15偏导数
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10:15 - 10:18当我们要做判断时
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10:18 - 10:20要关于y求偏
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10:20 - 10:21因为我们想得到混合导数
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10:21 - 10:21同样地
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10:21 - 10:23这是Ψ关于y的
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10:23 - 10:27偏导数 但我们要判断的话
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10:27 - 10:30就要取其关于x的偏导
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10:30 - 10:31又得到了混合导数
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10:31 - 10:33这是关于y的
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10:33 - 10:34这是关于x的 得到这个
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10:34 - 10:36无论如何 有点复杂
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10:36 - 10:38但希望大家能明白我所做的一切
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10:38 - 10:41我想 大家应该有了
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10:41 - 10:43一种关于恰当方程的直觉
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10:43 - 10:46下节课 我教大家
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10:46 - 10:49解一些恰当方程 下次见啦~