Tam Denkemler Sezgi 2

Tam denklemler için yapı taşları

Geçen videoda sizi kısmi türevlerle zincir

kuralı fikriyle tanıştırdım.

Ve dedik ki eğer bir fonksiyonumuz psi varsa ve bu

x ve y e bağlı bir fonksiyonsa

ve ben bu fonksiyonun kısmi--

yok yok ,türevini kısmi değil--

x e göre türevini almak istiyorsam,

bu türev eşittir psi nin x e göre kısmi türevi artı

psi nin y ye göre kısmi türevi çarpı dydx.

Son videoda bunu size ispat etmedim ama

ümit ederim ki bana inanmanızı sağlayacak az da olsa

bir fikir vermişimdir.

Belki birgün biraz daha fazla ispat yaparım

ama isterseniz internette kısmi denklemlerin zincir

kuralı ile ilgili ispatlar bulabilirsiniz.

Şimdi bunu bir kenara koyalım ve kısmi türevlerin bir

başka özelliğini inceleyelim ve sonra tam denklemlerin

arkasında yatan sezgiyi kazanmış oluruz.

Çünkü göreceksiniz ki tam denklemleri çözmek bayağı

basittir ama o sezgiyi kazanmak

biraz daha zor diyemicem

o sezginiz varsa vardır.

O zaman diyelimki bu fonksiyon psi var

ve onun x e göre kısmi türevini alıcam.

Sadece psi yazıcam.

Her seferinde x ve y yazmıcam.

Sonra da y ye göre kısmi türev

alıcam.

İşaretle gösterirken bunu şu şekilde yazabilirsiniz,bunu

operatörler i çarpıyormuş gibi farzedersek şu şekilde

yazabiliriz.

del kare çarpı psi nin kısmi türevi yada del kare psi bölü

dely del yada del.x.

Bu şu şekilde de yazılabilir-- ki ben bunu tercih ediyorum

çünkü bütün bu extra fazlalıklar yok

etrafta.

Diyebilirsiniz ki kısmi

ilk olarak x e göre kısmi türev aldık.Bu psi nin x e

göre kısmi türevidir.

Sonra da y ye göre kısmi türev aldık.

Bu düşünüle cek bir durum.

Önce x e ve sonrada y ye göre kısmi

türev alırsak ne olur?

Evet x e göre,kısmi türev almak için

y yi sabit tutuyoruz.

Burdaki y i görmeyin.

Sonra x i sabit tutuyoruz ve

y ye göre kısmi alıyoruz.

Bununla eğer sırasını değiştirirsek elde edeceğimiz arasındaki

fark nedir?

Eğer şöyle yapsak ne olur-- farklı bir renkle yapıcam--

eğer psi olsaydı ve onun önce y ye göre sonrada

x e göre kısmi türevini

alsak?

Bunun, yazılı ifadesi,

şöyle olur--kısmi x,kısmi y.

Bu da operatör.

Burası biraz karışık gelebilir,bu iki yazılı

ifade arasında,aynı şey olmalarına rağmen,

sırası karışıktır.

Bunun nedeni sadece değişik bir düşünme

şekli olmasıdır.

Bu diyor ki ,kısmi türev önce x e göre sonra y ye göre.

Önce x in kısmi türevini

sonra ynin kısmi türevini aldık sanki ikisini

çarpar gibi.

Neyse bu aynı zamanda şöyle yazılabilir y nin x e

göre kısmi --pardon ,y nin kısmi türevi vesonra

bunun x e göre kısmi türevi.

Ş imdi size şunu söylicem--eğer bu ilk kısmi türevler

sürekli ise--ki şimdiye kadar uğraştığımız

denklemler

arada kopukluk,delikler

ya da fonksiyon tanımında bir gariplik olmadığı sürece

süreklidirler.

Bilhassa kalkülüs va da diferansiyel konusunda ilk

sene sadece sürekli denklemlerle

uğraşıcağız.

Eğer bu fonksiyonların ikisi de sürekli ise, eğer ilk kısmiler

de sürekli ise o zaman bu ikisi birbirine

eşit olacaktır.

Ve xy nin psi si , yx in psi sine eşit olacaktır.

Şimdi bu bilgiyi kullanabiliriz ki bu kısmi türevlerin

zincir kuralıdır, ve bir tür differansiyel

,denklemleri bununla çözebiliriz.

Birinci derece diferansiyel denklemler ki bunlara

tam denklemler diyoruz.

Tam denklem neye benzer?

Tam denklem şöyledir.

Bu renk seçmek işin zor kısmı.

Diyelim ki diferansiyel denklemimiz bu.

Bir x ve y fonksiyonum var.

Ne biliim,x kare çarpı

kosinüs y ya da başka bişi.

Bilmiyorum,herhangi bir x y fonksiyonu olabilir.

artı bir x y fonksiyonu,buna N dicez,çarpı dy,

dx eşittir sıfır.

Bu--daha tam denklem olup olmadığını bilmiyorum,

ama bu şekilde bir denklem görürseniz,ilk tepkiniz,

evet ilk sorunuz

bu ayrılabilir mi?

ve biraz cebir kullanarak ayrılabilir olup olmadığını

görebilirsiniz çünkü

bu her zaman en kolay yoldur.

Eğer ayrılabilir değilse,ama yine de bu şekle sokabiliyorsanız,

o zaman dersiniz ki hey,bu bir tam denklem mi?

Tam denklem ne demek?

Eveet derhal bakın.

Bu şekil çok fazla

burdaki şekle benziyor.

Eğer M psi nin x e göre kısmi türeviyse?

Ya x e göre psi eşittir M ise?

Ya da x e göre psi bu ise?

Ya da y ye göre psi bu ise

y ye göre psi eşittir N

ya da

Demek istediğim tam olarak bilmiyoruz tamam mı?

Eğer bunu herhangi bir yerde görürseniz

tam olarak bilemezsiniz ki bu bir fonksiyonun x e göre kısmi türevidir

ve de bu bir fonksiyonun y ye göre kısmi

türevidir.

Biz diyoruz ki ya olsaydı?

Eğer bu doğruysa,şu şekilde yazabiliriz

psi nin x e göre kısmi türevi artı psi nin

y ye göre kısmi türevi çarpı dy,dx eşittir sıfır.

Ve bu burda,sol taraf orda,bununla

aynı şey değil mi?

Bu sadece psi nin x e göre kısmi türevi,

kısmi türevler için zincir kuralını kullanarak.

Böylece yeniden yazabilirsiniz

Yeniden yazarken bu sadece psi nin x e göre türevi,

içersi x in bir fonksiyonu,

y eşittir 0.

Eğer bir differansiyel denklem görürseniz ve

bu şekildeyse,diyebilisiniz ki,ben bunu ayıramam ama belki

bir tam denklemdir.

Gerçekten eğer bu sınavdan önce işlediğimizse

belki de bir gerçek denklemdir.

Ama bu şekli görünce diyebilirsiniz ki

belki de tam denklemdir.

Eğer tam denklemse-- ve size bu bilgiyi kullanarak nasıl test edeceğinizi

göstericem o zaman bunu şöyle yazabiliriz--bir fonksiyon psi nin

türevi ,burda bu psi nin x e göre

kısmisi oluyor.

Bu psinin y ye göre kısmisi oluyor.

Ve sonra da bunu şöyle yazabilirseniz,

ve iki tarafın da türevini alırsanız,pardon

iki tarafın da integralini alırsanız-- psi x,y eşittir

c çözümüne ulaşırsınız.

İki şey hakkında sizin dikkatinizi çekmek isterim.

Diyebilirsiniz ki bana tamam Sal psi ler,kısmiler

bunları işledin.

Birincisi,tam denklem olduğunu nerden biliyorsun?

Eğer tam denklemse bir psi olması gerekiyor

ve bu psi yi nasıl çözücez?

Tam denklem olup olmadığını bulmak için

bu bilgiyi kullanmamız gerekir.

Eğer psi ve onun türevleri sürekli ise

önce x ve sonra y ye göre kısmisini alırsak

bu diğer sırayla almakla

aynı şeydir.

Dedik ki bu x e göre

kısmi dir tamam mı?

Bu da y ye göre kısmidir.

Bu bir tam denklemse,bu o tam denklemse,

ve bunun y ye göre kısmisini

alıyorsak?

Eğer Mnin y ye göre kısmisini alıyorsak

psi nin x e göre kısmisi eşittir M.

Eğer bunların y ye göre kısmisini alıyorsak

o zaman bunu tekrardan şöyle yazabiliriz--o zaman

bu Nnin x e göre kısmisine eşit olur.

Psi nin y ye göre kısmisi eşittir N.

Bu ikisinin x e göre kısmisini alırsak ,bu ikisinin,

bunlar eşit olmalı,eğer psi ve kısmileri o domain de

sürekli ise.

O zaman bu da eşit olur.

O zaman bu tam denklem olup olmadığını

bulmak için bir testtir.

Bunun tümünü tekrar yazıp

biraz da özetliyeyim.

Eğer şu şekilde birşey görürseniz,M x y cinsinden,artı N x,y

cinsinden,çarpı dy,dx eşittir 0.

Sonra Mnin y ye göre kısmisini alır,

Nnin x e göre kısmisini alırsanız

ve birbirine eşitse

bu ancak ve ancak

denklem tam ise olur,tam diferansiyel denklemse.

Bu bir tam denklem.

Eğer bu tam denklemse bir psi vardır ki

bu psi nin x,y ye göre türevi

eşittir 0 ya da psi eşittir c,

bu denklemin bir çözümüdür.

Ve psi nin x e göre kısmi türevi

eşittir M.

Ve psi nin ye göre kısmi türevi eşittir

N.

Ve bir sonraki videoda bu bilgiyi

psi yi çözmede nasıl kullanacağınızı göstericem.

Bazı şeylere dikkatinizi çekmek istiyorum.

Bu psi nin x e göre kısmisi olacak fakat

tam denklem testi için

y ye göre türev alıyoruz çünkü karışık

türev almak istiyoruz.

Aynı şekilde bu da psi nin y ye göre türevi olacak ama

testi yapmak için

x e göre türev alıyoruz ki

karışık türev alalım.

Bu y ye göre ve sonra x e göre

ve bunu elde ediyorsunuz.

Bu biraz derin gelebilir ama

yaptığım herşeyi anladıysanız

tam denklemlerin nasıl çalıştığıyla ilgili

sezginiz oluşmuştur.

Gelecek videoda bazı tam denklemleri

çözeceğiz.Görüşmek üzere...