Intuição de Equações Exatas 2 (com prova)

Blocos de construção mais intuitivos para equações exatas.

No último vídeo introduzi à ideia

de regra de cadeias com
derivadas parciais.

E dissemos, bem, se eu tenho uma função,
psi, letra Grega,

psi, é uma função de x e y.

E se eu quisesse tirar a derivada
parcial disso, em relação

a-- não, eu quero tirar a derivada, não
a parcial--

a derivada disso, em relação a x,
isso é igual a

parcial de psi, em relação a x,
mais a parcial

de psi, em relação a y, vezes dy,dx.

E no último vídeo eu não
provei isso para você, mas

espero ter te dado um pouco
de intuição de que

você pode acreditar em mim.

Mas talvez um dia eu vá provar
um pouco mais

rigorosamente, mais você pode encontrar
provas na internet se estiver

interessado, para a regra da cadeia com
derivadas parciais.

Então vamos esquecer isso e
explorar outra propriedade

de derivadas parciais, e então
estamos prontos para entender

a intuição por trás das
equações exatas.

Porque você vai encontrar,
é bastante simples de

resolver equações exatas, mas a
intuição é um pouco

mais-- bem, eu não quero dizer que
é difícil, porque se

você tem a intuição,
você tem.

Então e se eu tivesse, digamos, essa
função, psi, e eu fosse

tirar a derivada parcial de psi,
em relação a x, primeiro.

Vou apenas escrever psi.

Eu não tenho que escrever x e y
toda hora.

E então se eu tomasse a
derivada parcial

em relação a y.

Então apenas como notação, isso você
pode escrever como, você pode

ver isso como se estivesse
multiplicando os operadores, então

isso poderia ser escrito assim.

A parcial delta ao quadrado vezes
psi, ou delta ao quadrado psi, sobre

delta y delta, ou d encaracolado x.

E isso também pode ser escrito
como-- e essa é minha notação

preferida, porque ela não
tem todo esse lixo extra

por todo lado.

Você poderia dizer, bem, a parcial,
nós tiramos a parcial,

em relação a x primeiro. Então
isso apenas significa a parcial de

psi em relação a x.

E então tiramos a parcial em
relação a y.

Então essa é uma situação
a se considerar.

O que acontece quando tiramos
a parcial em relação a x

e depois a y?

Então em relação a x, você
mantém o y constante para pegar apenas

a parcial em relação a x.

Ignore o y lá.

E então você mantém o x
constante, e tira a

parcial em relação a y.

Então qual é a diferença entre isso
e se eu fosse

trocar a ordem?

O que aconteceria se eu fosse--
Vou fazer isso em uma cor

diferente-- se tivéssemos psi, e
fôssemos tirar a parcial em relação

a y primeiro, e depois fôssemos
tirar a parcial

em relação a x.

Então apenas a notação,
apenas para você ficar confortável com ela

isso seria-- parcial de x,
parcial de y.

E esse é o operador.

E pode parecer um pouco
confuso aqui, entre

essas duas notações, mesmo que
elas sejam a mesma coisa,

a ordem é misturada.

Isso acontece porque é
apenas um jeito diferente de

pensar sobre isso.

Ele diz, OK, parcial primeiro,
em relação a x, depois y.

Ele vê isso mais como o
operador, então tiramos

a parcial de x primeiro, depois
tiramos y, como se você estivesse

multiplicando os operadores.

Mas de qualquer forma, isso também
pode ser escrito como a parcial de

y, em relação a x-- desculpa,
a parcial de y, e então

tiramos a parcial daquilo
em relação a x.

Agora, eu vou te dizer bem
agora, que cada uma das

primeiras parciais são contínuas--
e a maioria das

funções com as quais lidamos
em um domínio normal, desde que

não exista nenhuma
descontinuidade, ou buracos, ou

algo estranho na
definição da função, elas

são normalmente contínuas.

E especialmente em um curso de
cálculo ou diferencial do

primeiro ano, vamos lidar provavelmente
com funções

contínuas em nosso domínio.

Se ambas as funções são
contínuas, se ambas as

primeiras parciais são contínuas,
então essas duas serão

iguais.

então psi de xy será
igual a psi de yx.

Agora, podemos usar esse conhecimento,
que é a regra da

cadeia usando derivadas parciais,
e esse

conhecimento para resolver certa
classe de equações

diferenciais, equações diferenciais
de primeira ordem, chamadas

equações exatas.

E como uma equação exata se parece?

Uma equação exata se parece com isso.

Escolher as cores é a parte difícil.

Então, digamos que essa é
a minha equação diferencial.

Eu tenho uma função de x e y.

Então, sei lá, poderia ser
x ao quadrado vezes

cosseno de y ou alguma coisa.

Sei lá, poderia ser qualquer
função de x e de y.

Mais uma função de x e de y, vamos
chamar isso de n, vezes dy vezes

dx é igual a zero.

Isso é-- bom, eu não sei se
é uma equação exata ainda.

mas se você viu algo com esse
formato, seu primeiro impulso

deve ser, oh-- bem, na verdade,
seu primeiro

impulso é: isso é separável?

E você deveria tentar manipular
a álgebra um

pouco para ver se é separável,
porque essa é

sempre o caminho mais rápido.

Se não for separável, mas você
ainda puder escrever dessa forma,

você pergunta, ei, isso não é
uma equação exata?

E o que é uma equação exata?

Bom, veja.

Essa padrão aqui
parece muito

com esse padrão.

E se M for a parcial de psi,
em relação a x?

E se psi, em relação
a x, for igual a M?

E se isso for psi em
relação a x?

E se isso for psi em
relação a y?

Então, psi em relação
a y é igual a N.

E se?

Estou só dizendo, nós não
temos certeza, certo?

Se você ver isso em algum lugar
aleatório, você não saberá

com certeza que isso é a parcial
de, em relação a x de alguma

função, e isso é a parcial em relação
a y de

outra função.

Mas estamos apenas dizendo: e se?

Se isso fosse verdade, então
poderíamos reescrever isso como a

parcial de psi em relação a x,
mais a parcial de psi

em relação a y, vezes dy, dx,
é igual a zero.

E isso aqui, o lado esquerdo
aqui, isso é

a mesma coisa que isso, certo?

Isso é apenas a derivada de
psi em relação a x, usando

a regra da cadeia para
derivadas parciais.

Então você pode reescrever isso.

Você pode reescrever, isso é apenas
a derivada de psi

em relação a x, dentro
da função de x e y

é igual a zero.

Então se você ver uma equação
diferencial, e ela tiver esse

formato, você diz, rapaz, eu não posso
separar isso, mas talvez

seja uma equação exata.

E sinceramente, se isso for o que foi
dado antes

antes do exame atual, isso provavelmente
é uma equação exata.

Mas se você ver essa forma,
e disser, rapaz, talvez

seja uma equação exata.

Se isso é uma equação exata-- e
eu vou te mostrar como testar

isso em um segundo usando essa
informação-- então isso pode ser

escrito como a derivada de
uma função, psi, onde isso

é a parcial de psi
em relação a x.

Isso é a parcial de psi
em relação a y.

E então se você pode escrever isso
assim, e você tira a

derivada dos dois lados--
desculpa, você tira a

antiderivada dos dois lados--
e você encontrar psi de x e y

é igual a C como solução.

Então existem duas coisas com as quais
deveríamos nos importar.

Você poderia dizer, OK,
Sal, você já passou por

psi's, e parciais,
e tudo isso.

Primeiro, como eu sei que isso
é uma equação exata?

E então, se for uma equação
exata, que nos diga que

exista algum psi, então
como eu resolvo para o psi?

Então o jeito de descobrir se
isso é uma equação exata, é usar

essa informação aqui.

Sabemos que se psi e suas
derivadas forem contínuos

sobre um domínio, que quando
você tira a parcial em

relação a x e depois y, é
a mesma coisa que fazer

isso na ordem contrária.

Então dissemos, isso é
a parcial em

relação a x, certo?

E isso é a parcial em
relação a y.

Então se isso é uma equação exata,
se isso é a equação

exata, se formos tirar a
parcial disso, em relação

a y, certo?

Se fôssemos tirar a parcial de M,
em relação a y-- então

a parcial de psi, em relação
a x, é igual a M.

Se fôssemos tirar a parcial
daqueles, em relação a y--

Poderíamos apenas reescrever aquilo
como aquilo-- aquilo deveria ser

igual a parcial de N
em relação a x, certo?

A parcial de psi em relação a y
é igual a N.

Então se tirarmos a parcial em
relação a x, dessas

duas, saberemos por isso que
elas devem ser iguais, se psi

e suas parciais forem contínuas
sobre esse domínio.

Então isso também
vai ser igual.

Então esse é o teste
para testar se

isso é uma equação exata.

Então deixe-me reescrever tudo isso
de novo e resumir isso

um pouco.

Então se você ver alguma coisa da
forma, M de x, y mais N de x, y,

vezes dy, dx é igual a zero.

E você tirar a derivada
parcial de M em relação

a y, e você tira a derivada
parcial de N

em relação a x, e elas forem
iguais, então --

e é na verdade se e somente
se, então serve para os dois caminhos--

isso é uma equação exata, uma
equação diferencial exata.

Isso é uma equação exata.

E se isso é uma equação exata,
que nos diz que existe

um psi, tal que a derivada
de psi de x, y é

igual a zero, ou psi de x, y é
igual a C, é uma solução

dessa equação.

E a derivada parcial de psi,
em relação a x, é

igual a M

E a derivada parcial de
psi em relação a y é

igual a N.

E eu vou te mostrar no próximo
vídeo como usar, de fato, essa

informação para resolver para psi.

Então aqui estão algumas coisas
que eu quero salientar.

Isso vai ser a derivada
parcial de psi,

em relação a x, mas quando
tomarmos o tipo de teste exato,

tomamos isso em relação a y,
porque queremos encontrar aquela

derivada mista.

Similarmente, isso vai ser a
derivada parcial de psi,

em relação a y, mas quando fizermos
o teste, tiramos

a parcial disso em relação
a x para termos aquela derivada

mista.

Isso é em relação a y,
e então em relação a

x, então você tem isso.

De qualquer forma, eu sei que pode estar
um pouco envolvido, mas se

você entendeu tudo que eu fiz,
eu acho que você tenha a

intuição por trás do
porquê da metodologia

de equações exatas funciona.

Vejo você no próximo vídeo, onde
iremos, de fato,

resolver algumas equações exatas.

Legendado por [Eduardo Rebelo]
Revisado por [Marcia Yu]