-
W ostatnim filmie, przedstawiłem ideę reguły
-
łańcucha z pochodnymi cząstkowymi.
-
Powiedzieliśmy, że jeżeli mam funkcję, psi - grecka litera,
-
psi, jest funkcją x i y.
-
I jeśli chcę wziąć pochodną cząstkową tego, względem
-
- nie, chcę wziąć pochodną, nie pochodną cząstkową -
-
Pochodna tego, względem x, jest równa
-
pochodnej cząstkowej psi, względem x, plus pochodna cząstkowa
-
psi względem y, razy dy po dx.
-
W ostatnim filmie, nie udowodniłem tego, ale, mam nadzieję,
-
dałem Ci trochę intuicji, tak że możesz
-
mi uwierzyć.
-
Może pewnego dnia udowodnię to nieco
-
ściślej, ale możesz znaleźć dowody w sieci, jeśli jesteś
-
zainteresowany regułą łańcucha z pochodnymi cząstkowymi.
-
Połóżmy to na bok i zbadajmy koleją własność
-
pochodnych cząstkowych, potem będziemy gotowi żeby
-
zdobyć intuicję stojącą za równaniami zupełnymi.
-
Ponieważ zamierzasz znaleźć, że rozwiązywanie równań zupełnych
-
jest całkiem proste, ale intuicja jest czymś
-
więcej - nie chcę powiedzieć, że jest to trudne, ponieważ jeśli
-
masz intuicję to ją masz.
-
Tak więc, co gdy mam, powiedzmy, tę funkcję, psi, i chcę wziąć
-
pochodną cząstkową psi, względem x, najpierw.
-
Będę pisał psi.
-
Nie muszę cały czas pisać x i y.
-
I teraz, gdybym miał wziąć pochodną cząstkową
-
względem y.
-
Możesz to zapisać - taka jest notacja - możesz
-
patrzeć na to jako na pewnego rodzaju mnożenie operatorów, więc
-
to może być zapisane w ten sposób.
-
Czątkowa delta do kwadratu razy psi, lub delta kwadrat psi nad
-
delta y delta lub kręcone d x.
-
To może być także zapisane jako - i jest to moja ulubiona
-
notacja, ponieważ nie ma tych wszystkich śmieci
-
dookoła.
-
Możesz po prostu powiedzieć, pochodna cząstkowa, bierzemy pochodną cząstkową
-
względem x, najpierw. Tak więc to znaczy tylko pochodną cząstkową
-
psi względem x.
-
I później bierzemy pochodną cząstkową względem y.
-
Tak więc to jedna z sytuacji do rozważenia.
-
Co dzieję się, kiedy bierzemy pochodną cząstkową względem x,
-
a potem względem y?
-
Więc, względem x, trzymasz y ustalone, żeby dostać pochodną
-
cząstkową, względem x.
-
Zignoruj y tutaj.
-
A potem trzymasz x stałe, i bierzesz pochodną
-
cząstkową, względem y.
-
Jaka jest więc różnica pomiędzy tym, a sytuacją w której
-
odwrócilibyśmy kolejność?
-
Co dzieje się gdybyśmy mieli - zapiszę to innym
-
kolorem - gdybyśmy mieli psi i mielibyśmy wziąć pochodną cząstkową
-
najpierw względem y, a dopiero potem pochodną cząstkową
-
względem x?
-
Tylko notacja, jesteś z nią zaznajomiony,
-
to byłoby - pochodna cząstkowa x, pochodna cząstkowa y.
-
I to jest operator.
-
Może być trochę dezorientujące, że tutaj, pomiędzy tymi
-
dwoma notacjami, nawet jeżeli jest to tam sama rzecz,
-
kolejność jest zamieniona.
-
To dlatego, że jest to po prostu inny sposób
-
myślenia o tym.
-
To mówi, OK, najpier pochodna, względem x, a potem y.
-
To wygląda bardziej jak operator, więc najpierw wzięliśmy
-
pochodną cząstkową względem x, a potem względem y, tak
-
jak mnoży się operatory.
-
W każdym razie, może być to także zapisane jako pochodna cząstkowa
-
po y, względem x - przepraszam, pochodna y i potem
-
bierzemy pochodną tego względem x.
-
Zamierzam teraz powiedzieć, że jeżeli każda
-
z tych pierwszych pochodnych jest ciągła - a większość
-
funkcji z którymi się stykamy w normalnych dziedzinach, tak długo, gdy
-
nie ma żadnych nieciągłości, dziur lub
-
czegoś dziwnego w definicji funkcji, są
-
zazwyczaj ciągłe.
-
W szczególności w pierwszorocznym kursie rachunku różniczkowego i całkowego,
-
będziemy się prawdopodobnie zajmowali funkcjami
-
ciągłymi w naszej dziedzinie.
-
Jeśli obie te funkcje są ciągłe, jeśli obie
-
pierwsze pochodne cząstkowe są ciągłe, to te dwie rzeczy
-
będą sobie równe.
-
Tak więc psi xy będzie równe psi yx.
-
Możemy teraz wykorzystać tę wiedzę, będącą
-
regułą łańcucha dla pochodnych cząstkowych, i tę
-
wiedzę by rozwiązać teraz pewną klasę równań
-
różniczkowych, równań różniczkowych pierwszego rzędu, nazywanych
-
równaniami zupełnymi.
-
Ale jak równanie zupełne wygląda?
-
Równanie zupełne wygląda w ten sposób.
-
Wybór koloru jest zawsze ciężką sprawą.
-
Powiedzmy, że to jest moje równanie różniczkowe.
-
Mam pewną funkcję od x i od y.
-
Nie wiem, może to być x w kwadracie razy
-
cosinus y lub cokolwiek.
-
Nie wiem, może to być dowolna funkcja od x i y.
-
Dodać pewna funkcja od x i y, nazwijmy ją N, razy dy dx
-
jest równe zero.
-
To jest - nie wiem jeszcze czy jest to równanie zupełne,
-
ale jeżeli zobaczysz coś w tej postaci, pierwszym Twoim impulsem
-
powinno być, oh - istotnie, Twoim najwcześniejszym
-
impulsem jest, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych?
-
Powinieneś trochę pobawić się algebrą
-
żeby zobaczyć, czy jest to równanie o zmiennych rozdzielonych,
-
ponieważ zawsze jest to najprostsza metoda.
-
Jeśli nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, ale wciąż jest zapisane w takiej formie,
-
mówisz, hej, czy jest to równanie zupełne?
-
I co to jest równanie zupełne?
-
Spójrz bezpośrednio.
-
Ten wzorzec, o tutaj, wygląd bardzo
-
podobnie jak ten wzór.
-
Co gdy M jest pochodną cząstkową psi względem x?
-
Co gdy psi, względem x, jest równe M?
-
Co gdyby to było psi, względem x?
-
I co gdyby to było psi, względem y?
-
Tak więc psi, względem y, jest równe N.
-
Co wtedy?
-
Tylko przypuszczam, nie wiemy na pewno, tak?
-
Gdybyś zobaczył to przypadkowo, nie wiedziałbyś
-
na pewno, że jest to pochodna, względem x,
-
pewnej funkcji, a to jest pochodna, względem y,
-
pewnej funkcji.
-
Mówimy tylko, co gdyby?
-
Gdyby była to prawda, moglibyśmy przepisać to jako
-
pochodna cząstkowa psi, względem x, dodać pochodna cząstkowa psi,
-
względem y, razy dy po dx, jest równe 0.
-
I to wyrażenie tutaj, lewa strona, to jest
-
dokładnie tak sama rzecz co tu, tak?
-
To jest po prostu pochodna psi, względem x,
-
zapisana z wykorzystaniem reguły łańcucha.
-
Mógłbyś przepisać to.
-
Możesz to przepisać, to jest po prostu pochodna psi,
-
względem x, wewnątrz jest funkcja x,
-
y, jest równe 0.
-
Tak więc jeżeli widzisz równanie różniczkowe, i ma ono tę postać
-
i mówisz: nie mogę go rozdzielić, ale może
-
to jest równanie zupełne.
-
I szczerze, gdyby to było coś, co zostało przerobione przed
-
ostatnim egzaminem, prawdopodobnie byłyby to równanie zupełne.
-
Ale gdy widzisz tę postać mówisz sobie: może
-
to jest równanie zupełne.
-
A jeśli to jest równanie zupełne - pokażę Ci za moment jak to sprawdzić
-
używając tej informacji - to może być zapisane
-
jako pochodna pewnej funkcji, psi, gdzie
-
to jest pochodna cząstkowa psi, względem x.
-
To jest zaś pochodna cząstkowa psi, względem y.
-
I dalej, jeśli możesz to zapisać w ten sposób, biorąc
-
pochodną obu stron - przepraszam, bierzesz antypochodną
-
obu stron - dostaniesz psi od x i y
-
jest równe c jako rozwiązanie.
-
Są więc dwie rzeczy, o których powinieneś pamiętać.
-
Możesz potem powiedzieć, OK, Sal, przeszedłeś przez
-
psi, pochodne cząstkowe i to wszystko.
-
Po pierwsze, w jaki sposób mogę się dowiedzieć, że jest to równanie zupełne?
-
I dalej, jeśli jest to równanie zupełne, co to nam mówi, że
-
istnieje jakieś psi? Jak wtedy znaleźć psi?
-
Tak więc sposobem na dowiedzenie się, czy równanie jest zupełne, jest wykorzystanie
-
tej informacji, o tu.
-
Wiemy, że jeśli psi i jej pochodne są ciągłe
-
w pewnej dziedzinie, to branie pochodnej cząstkowej
-
względem x a potem względem y jest tą samą rzeczą co robienie
-
tego w przeciwnej kolejności.
-
Więc powiedzieliśmy, że to jest pochodna cząstkowa,
-
względem x, tak?
-
A to jest pochodna cząstkowa względem y.
-
Tak więc jeżeli to jest równanie zupełne, jeśli jest to
-
równanie zupełne, gdybyśmy wzięli pochodną cząstkową tego
-
względem y, tak?
-
Gdybyśmy mieli wziąć pochodną cząstkową M, względem y - więc
-
pochodna psi, względem x, jest równa M.
-
Gdybyśmy teraz mieli wziąć pochodną tych rzeczy względem y -
-
możemy więc przepisać to jako to - to wtedy to powinno
-
być równe pochodnej cząstkowej N, względem x, tak?
-
Pochodna cząstkowa psi, względem y, jest równa N.
-
Jeśli więc bierzemy pochodną, względem x, obu stron
-
tego, wiemy, że te rzeczy powinny być równe, jeśli psi
-
i jej pochodne cząstkowe są ciągłe w swojej dziedzinie.
-
Tak więc i to będzie sobie równe.
-
Tak więc to jest faktycznie test, czy jest
-
to równanie zupełne.
-
Pozwól mi przepisać to wszystko jeszcze raz i podsumować
-
to trochę.
-
Jeśli więc widzisz coś w postaci M od x i y dodać N od x
-
y razy dy po dx, jest równe 0.
-
I potem bierzesz pochodną cząstkową M, względem y,
-
a potem pochodną cząstkową N względem x,
-
i są one sobie równe, to -
-
w rzeczywistości wtedy i tylko wtedy, tak więc to idzie w dwie strony -
-
to jest równanie zupełne, zupełne równanie różniczkowe.
-
To jest równanie zupełne.
-
I jeśli jest to równanie zupełne, co mówi nam, że
-
istnieje psi, takie, że pochodna psi od x i y, jest
-
równa zero, lub psi od x i y jest równe c, jest rozwiązaniem
-
tego równania.
-
A pochodna cząstkowa psi względem x
-
jest równa M.
-
I pochodna cząstkowa psi względem y
-
jest równa N.
-
W następnym filmie pokażę jak w rzeczywistości
-
wykorzystać tę informację, żeby znaleźć psi.
-
Tak więc to jest kilka rzeczy, które chciałem podkreślić.
-
To będzie pochodna cząstkowa psi,
-
względem x, ale kiedy chcemy sprawdzić czy równanie jest zupełne,
-
bierzemy pochodną względem y, ponieważ chcemy mieć
-
pochodną mieszaną.
-
Podobnie, to będzie pochodna cząstkowa psi,
-
względem y, ale kiedy przeprowadzamy test, bierzemy
-
pochodną cząstkową względem x, tak, że dostajemy pochodną
-
mieszaną.
-
To jest względem y, a potem względem x,
-
więc dostajesz to.
-
W każdym razie, wiem, że to mogło być trochę zajmujące, ale
-
jeżeli zrozumiałeś wszystko co robiłem, myślę, że będziesz miał
-
intuicję stojąca za tym, dlaczego metodologia
-
równań zupełnych działa.
-
Do zobaczenia w następnym filmie, gdzie będziemy się rzeczywiście
-
zajmowali rozwiązywaniem równań zupełnych. Do zobaczenia.