Exact Equations Intuition 2 (proofy)

More intuitive building blocks for exact equations.

유클리드

지난 비디오에서는 제가 부분미분방정식에 대해 Chain rule

의 방법을 가르쳐 드렸습니다.

그리고, 제가 psi, 그리스 숫자,라는 x와 y에 관한

함수를 가지고 있을 때,

그리고 만약 제가 이것의 부분미분을 하고 싶을 때,

아니, 부분미분 말고 전체 미분을 하고 싶을 때

X에 대한 전체 미분은, x에 대한 psi의 부분 미분 +

Y에 대한 psi의 부분 미분 * dydx라는

것입니다.

그리고 지난 비디오에서 제가 이것을 증명하지는 않았지만,

저는 약간의 직관력을 드렸고, 여러분들은 이것을

믿어줬으면 합니다.

하지만 언젠가는 제가 이것에 대해서 증명을 해줄 수도 있겠지만,

관심이 있다면 웹상에서 찾아보는 것도 좋을 것 같습니다.

부분미분과 Chain rule에 대해서 말이죠.

그러면 이것을 한쪽으로 남겨두고, 다른 부분 미분의 성질에 대해서

탐구해보고, 완전미분방정식에 있는 직관을 알아보도록

합시다.

완전미분방정식을 푸는 것은 꽤 명료하지만

직관력이 약간 필요하긴 합니다

사실, 이것을 난이도가 있다고 하는 것이 어려운게,

약간의 직관을 가지고 있다면, 풀 수 있기 때문입니다.

제가 이 함수 psi를 가지고 있고, 제가 이것의

X에 대한 부분 미분을 취해야 한다면,

먼저 저는 psi를 적도록 하겠습니다.

저는 x와 y를 일일이 쓸 필요는 없습니다

그리고 저는 y에 대한

부분 미분을 취하려고 합니다

.

이렇게 쓸 수 있는데,

당신은 이것을 operator를 곱하는 것으로 간주해도 되기 때문에,

이것은 이렇게 쓰여도 될 것입니다.

(칠판의 식을 참조해주세요)

(칠판의 식을 참조해주세요)

이렇게 쓸 수도 있는데 이것은 제가 더 선호하는 표현방식입니다.

왜냐하면 이것은 이 추가로 필요없는 것들을 가지지

않아도 되기 때문입니다.

이렇게 말할 수 있겠네요. 우리가 x에 대한

부분 미분 방정식을 취합니다. 이것은 psi의 x에 대한 부분미분방정식과

같을 것입니다.

그리고 나서 우리는 y에 대한 부분미분방정식을 취합니다.

그것이 우리가 고려해야 하는 하나의 상황입니다.

그렇다면 우리가 x에 대한 부분미분방정식을 취하고 난뒤

y에 대한 부분미분방정식을 취하게 되면 어떻게 될까요?

결국 ,x에 대해서는 y 상수를 두고 x에 대한 부분미분방정식을

취하면 됩니다.

그곳의 y을 무시하시면 됩니다.

그리고 나서 x 상수를 두고 y에 대한 부분미분방정식을

취하면 됩니다.

그러면 이것의 순서를

바꾸면 어떻게 될까요?

다른 색깔로 쓰겠습니다. 그러면 만약에 우리가

Y에 대한 부분미분방정식을 먼저 취하고 그다음에

X에 대한 부분미분방정식을 취한다면

어떻게 될까요?

우리가 익숙하게 보았던 표시방법은

부분미분 x, 부분미분 y일것입니다.

이것이 바로 작용기입니다.

여기서 이 두가지 표시 방법에 대해서 똑같은 것이지만, 순서가 다르기

때문에 약간 헷갈릴 수가 있습니다.

이것은 바로

생각하는 방법이 다르기

때문입니다.

이것은, x에 대한 부분미분방정식을 먼저 한 후 y를 하자고 보는 것입니다.

이것은 작용기(operator)로 보는 것인데 그래서,

X에 대한 부분미분을 먼저하고, y를 하는 것입니다.

작용기를 곱하는 것 처럼요.

하지만 어쨌든, 이것은 y의 x에 대한 부분 미분으로 쓸 수 있을 것이고

이후 y에대한 부분미분을 이후 우리가 x에 대한 부분 미분으로

취할 수 있을 것입니다

그래서 제가 지금 말씀드리는 것은

각각의 첫 부분미분들은 연속적이라는 것이고

우리가 다루었던 대부분의 함수들은 일반적인 정의역에서 이루어 지며

그들 중 꺾인 부분, 구멍이 없거나

또는 함수의 정의에서 이상한 것이 있지 않다면,

그들은 대부분 연속적입니다.

그리고 특히 미적분 시작하는 시기에,

우리는 우리의 연속함수에서의 정의역에 대해서

다루어 볼 것입니다.

만약에 이 두 함수가 모두 연속적이고,

이 첫 부분 미분 두 개가 연속적이라면, 이 두 개는

서로에 동등할 것입니다.

그래서 xy의 psi는 yx의 psi와 같을 것입니다.

그래서 우리는 부분미분에서의

chain rule을 이용해서

미분방정식의 특정한 무리를 풀 때

특히 완전미분방정식이라고 일차 미분방정식에서,

이 지식을 이용하게 됩니다.

그러면 완전미분방정식은 어떻게 생겼을까요?

완전미분방정식은 이렇게 생겼습니다.

색깔고르는게 힘들었습니다

그러면 이것이 제 미분방정식이라고 합시다

저는 x와 y에 대한 어떤 함수를 가지고 있습니다.

모르지만, 이것은 x제곱*y와 같은 형태가

될 수 있습니다.

이것은 x와 y에 관한 어떤 함수 더하기

X와 y에 관한 어떤 함수가 될 것이고, 이것을 n*dydx=0이라고

부를 수 있겠네요.

이것이 완전미분방정식인지 아닌지는 잘 모르지만,

이러한 형태의 것을 처음 보면

당신의 첫 생각은, 이 방정식이 과연

분리가능한지 아닌지 일것입니다.

그리고 당신은 약간의 대수를 이용해서 ㄴ

이것이 분리가능한지 확인할 수 있는데,

왜냐하면 이것이 가장 명료한 방법이기 때문입니다.

만약 이것이 분리가 불가능하다면 이 형태로 계속 둘 수가 있고,

이것이 완전미분방정식인지 물어볼 수 있을 것입니다.

그렇다면 완전미분방정식은 무엇일까요?

음, 바로 볼 때

여기 있는 이 형태는 이 패턴 처럼 끔찍하게

보이는데,

만약 M이 psi의 x에 대한 부분미분이라면 어떡할까요?

만약 x에 대한 psi가 M과 같으면 어떡할까요?

만약 이것이 x에 대한 psi라면?

그리고 이것이 만약 y에 대한 psi라면?

그래서 y에 대한 psi는 N과 같은 것입니다.

만일?

그냥 말하는 건데, 확실히 모른다면 어떻할까요?

랜덤하게 이곳어딘가를 보면,

이것이 x에 대한 부분 미분이라는 것과

이것이 y에 대한 부분 미분이라는 것을

확실하게 알 수 없을 것입니다.

그런데 만일?

이것이 맞았다면, 이것을 우리는

x에 대한 psidml 부분미분 더하기

y에 대한 psi의 부분미분 곱하기 dy/dx 는 0으로 쓸수 있습니다.

그리고 여기, 좌변은

이것과 같습니다, 맞죠?

이것은 단지 x에 대한 psi 의 도함수를

연쇄법칙에 의해서 나온 것입니다.

그래서 이것을 다시 쓸 수 있습니다.

이것이 x와 y의 함수안에 있는

x에 대한 psi의 도함수

는 0으로 쓸 수 있습니다.

그래서 이런 형태를 가진 미분 방정식을 보면

이것을 나눌 수는 없지만

완전미분방정식이라는 것을 알 수 있습니다.

그리고 사실, 만약 이것이 시험전에 나온다면

완전미분방정식일 것입니다.

하지만 지금은 이런한 형태는

완전미분방정식일 것입니다.

만일 이것이 완전미분방정식이라면 -

그리고 이것을 판단하는 방법을 이따가 알려줄것인데-

그러면 어떤 psi에 대한 도함수로 볼수 있고

그 psi의 x에 대한 부분미분으로 볼 수 있습니다.

이것이 y에 대한 psi의 부분미분입니다.

그리고 만일 이것과 같이 다시 쓴다면,

양쪽의 도함수를 쓴다면 - 죄송합니다,

양쪽의 역도함수를 쓴다면, psi의 x,y는

c가 나옵니다.

그래서 고려할 것이 두개 있습니다.

그러면 psi들과 부분들 등을

모두 다 했다고 볼수 있습니다.

그런데 하나, 완전미분방정식이라는 것을 어떻게 알 수 있을까요?

그리고, 이것이 psi에 대한 완전미분방정식이라면

psi에 대해 어떻게 풀까요?

이것이 완전미분방정식이란 것을 알아내기 위해

이곳에 있는 정보들을 씁니다.

우리는 psi와 도함수들이 연속적이라는 것을 알고

x, 그다음 y에 대한 부분을 보면

그것이 반대 순서로 해도

같다는 것을 알 수 있습니다.

그래서 저는 이것이

x에 대한 부분미분 이라는 것을 알 수 있습니다.

.

그리고 이것은 y에 대한 부분미분입니다.

그래서 이것은 완전미분방정식이라면

y에 대한 부분미분

입니다, 맞죠?

M의 y에대한 부분미분을 쓴다면

-그것은 x에 대한 psi의 부분미분이겠죠- 는 M입니다

y에 대한 부분함수를 쓴다면

이것을 저것으로 다시 쓸 수 있습니다.

그러면 x에 대한 N의 부분미분으로 볼 수 있습니다.

y에 대한 psi의 부분미분은 N입니다.

그래서 만일 양쪽에 x에 대한 부분함수를 쓴다면

우리는 여기로부터

psi와 그 부분미분들은 정의역에 대해 연속적일 때 같다는 것을 알 수 있습니다.

그래서 이것 또한 같을 것입니다.

그래서 이것은 와전미분방정식인가를

확인하는 테스트입니다.

그래서 제가 이것을 다시 쓰고

정리해 보겠습니다.

그래서 이곳을 보면 x,y에 대한 M 더하기 x,y에 대한 N

곱하기 dy/dx 는 0이 나옵니다.

그리고 y에 대한 M의 부분도함수를 보면,

그리고 x에 대한 N에 대한 부분도함수를 보면

그리고 그 둘은 같습니다.

그리고 그것은 오직 만약입니다.

둘다 완전미분방정식입니다.

이것은 완전미분방정식입니다.

그리고 만약 이것이 완전미분방정식이라면

x,y 에 대한 psi의 도함수가 0인

psi가 존재하거나 그 함수가

c라는 것이 존재한다는 것입니다.

그리고 x에 대한 psi의 부분미분은

M입니다.

그리고 y에 대한 psi의 부분미분도함수는

N입니다.

그리고 제가 다음 영상에서

이것이 psi를 구할 때 다시 이용된다는 것을 보여드릴 것입니다.

그래서 여기 제가 기억하길 바라는 것이 몇가지 있습니다.

이것은 x에 대한 psi의 부분도함수가 될 것이고

하지만 진짜 시험에서는

y에 대해 구합니다.

왜냐하면 우리는 섞인 도함수를 구하고 싶기 때문입니다.

비슷하게 이것은 y에 대한 psi의 부분도함수가 될 것이고

하지만 시험에서는 x에 대해서 구하여

섞이 도함수를

구합니다.

이것은 y에 대해, 그 다음

x에 대해 구합니다.

그나저나, 이것이 약간 포함될 수도 있지만

제가 말한 것을 다 이해했다면,

완전미분방정식의 방법론에 대한

직관을 가질것이라고 생각합니다.

다음 영상에서는

완전미분방정식을 실제로 풀어볼 것입니다.

다음 영상에서 봅시다!