完全方程式の概念 ２ (proofy)

完全方程式の構築部分

先の

ビデオでは、

偏導関数と連鎖律の概念を紹介しました。

xとyの関数である

psi があるとします。

このxに関する微分を得たい場合、

このxに関する微分を得たい場合、

このxに関する微分を得たい場合、

xに関する偏微分に
yに関する’偏微分にdy／dxを掛けたものを

加えます。

先のビデオでは、これを証明していませんが、

直感的に

理解してもらえていると思います。

後日、より詳しく証明したいと思います。

興味のある人は、インターネットで

偏導関数と連鎖律の概念の証明を見つけることもできると思います。

それでは、それを脇に置いて、
他の偏導関数の特性について見てみましょう

完全方程式に関する概念を

扱いましょう。

完全方程式は

直感的に解くことができます。

理解していれば、

難しい問題ではありません。

そこでは、まず、この関数、psi の

xに関しての偏微分を取ると、

psi を記述します。

x と y をいちいち書きません。

yに関する偏微分を取ると

yに関する偏微分を取ると

yに関する偏微分を取ると

これを書く際

演算子を掛けあわせのように見て、

このように記述できます。

psi の偏微分の2乗を

∂yと∂xで割ったもので

書き換えると

簡素化し

簡素化し

まず、psi のxに関する偏微分をとり

まず、psi のxに関する偏微分をとり

まず、psi のxに関する偏微分をとり

次に、yに関して偏微分を取ったものです。

ちょっと考えてみてください。

ここでは

何が起こっていますか？

xに関して偏微分を取る際は

yを定数とし

ここのyは無視されます。

yに関し偏微分を取る際は

xが定数とされます。

これと、その順序を変えた際の

違いは何でしょう？

では、色をかえて、

まず、psi のyに関する偏微分を取り、

次にxに関する偏微分をとると

どうなるでしょう。

これを書き換えると、

∂x∂yです。

これは演算子です。

そこし混乱する可能性があります。

これらの 2 つ表記は、同じことをしているにもかかわらず、

順序を混合します。

ちょっと考え方を変えただけです。

ちょっと考え方を変えただけです。

これは、xに関する偏微分をとり、次にyに関し偏微分を取ります。

これを演算子としてみれば、

xが先で、次にyです。

乗算演算子のようなものです。

とにかく、これは

yの偏微分の後、xの偏微分をとったものとも書けます。

yの偏微分の後、xの偏微分をとったものとも書けます。

ここで、

最初の偏微分が継続している場合、

通常のドメイン内で、

関数に不継続部分や

穴がない限り、

継続していると言えます。

最初の年の微積分のクラスで扱うものは

おそらく連続した関数でしょう。

おそらく連続した関数でしょう。

これら両方の関数が継続したものである場合

一階の偏微分が継続しているものである場合

この２つは等しくなります。

だから xy の psi と yx のpsi は等しくなります。

これで、

偏導関数と連鎖律の知識を利用し、

他の特定のクラスの一階微分を解くことができます。

これは、

完全方程式と呼ばれるものです。

完全方程式とはどのようなものでしょう？

完全方程式とはこのようなものです。

色を変えます。

それでは、これが、微分方程式です。

x とyのいくつかの関数があります。

x の2乗掛けるコサインのyか、何か

このようなもにです。

任意のxとyの関数です。

これに、何かのxとyの関数を足し、nとします。

これに掛けるdy／dxは、０です。

これが完全方程式かどうかまだわかりません。

しかし、この形を見ると、

まず、分離可能かどうか

考えるでしょう。

分離可能かどうか、

代数学を用い考えてみましょう。

それが、最も簡単な方法です。

それは分離できないもの場合は、

次に完全方程式かどうか考えます。

完全方程式は何でしょう。

まあ、見てください。

このパターンは、非常に

このパターンに似ています。

M x が psi のxに関する偏微分ならどうでしょう？

xに関しての psi がMと等しいと
どうなるでしょう？

これが x に関してpsiならどうなるでしょう？

そして、これが xyに関してpsiならどうなるでしょう？

yに関してpsi は、N に等しいと

どうしよう。

これが正しいかどうか、まだわかっていません。

どこかランダムに見た場合、

これに関していくつかの x の偏微分であるか、

また、これが、yに関する偏微分であるか

はっきりわかりません。

例えばの話です。

これが本当なら、このように書き直すことができます。

∂psi/∂y+∂psi/∂y*dy/dx=0

∂psi/∂y+∂psi/∂y*dy/dx=0

これは、左側と

同じものです。いいですか？

偏微分の連鎖律を使用した
xに関するpsi の偏導関数です。

偏微分の連鎖律を使用した
xに関するpsi の偏導関数です。

だからそれを書き直すことができます。

書き直すことができます、 psi のxに関する偏微分

xとyの関数の psi のxに関する偏微分

これが０になります。

微分方程式が、この形で、

分離できない場合は、

完全方程式であるかもしれません。

率直に言って、

それはおそらく完全方程式でしょう。

この形があえば、

それは、完全方程式であり得ます。

それが、完全方程式かどうか、この知識により見分ける方法を

紹介します。

完全方程式であれば、これは

psi のxに関する偏微分として表現できます。

これは、psi の yに関して偏微分です。

このように書けば、

両側の不定積分を取り、

psi （x、y）＝cが答えとして得られます。

psi （x、y）＝cが答えとして得られます。

２つ気をつけることがあります。

これらをすべて説明してきましたが、

これらをすべて説明してきましたが、

完全方程式かどうかどうやって判断すればいいでしょう？

また、完全方程式であれば、

いくつかの psi があり、それらのpsi ををどのように解けばいいでしょう？

完全方程式かどうかは、

利用します。

Psi とその微分が連続的な場合、

xとyに関する偏微分は、どちらを先にとっても

xとyに関する偏微分は、どちらを先にとっても

同じです。

これを

x に関する偏微分とします。

いいですか？

そしてこれが、yに関するものです。

これが完全方程式の場合は、

yに関する偏微分をとれば、

yに関する偏微分をとれば、

yに関するMの偏微分を取れば、

xに関しての psi の偏微分は、Mに等しいです。

yに関してのこれらの偏微分を取れば、

書き換えれば、

これは、xに関するNの偏微分と等しくなります。

yに関しての psi の偏微分が N と等しいです。

だから xに関して の両方の偏微分を取ると

psi とその微分が連続的な場合、

これらは等しくなります。

これも等しくなります。

だから、これは、完全方程式かどうかのテストです。

だから、これは、完全方程式かどうかのテストです。

これを書き換えて、それを要約しましょう。

これを書き換えて、それを要約しましょう。

M（x、y）＋N（x、y）dy／dx＝０

M（x、y）＋N（x、y）dy／dx＝０

yに関するM の偏微分を取り、

y に関する N の偏微分を取り

それが等しい場合は

それが等しい場合は

完全微分方程式です。

これは、完全微分方程式です。

完全方程式の場合

psi （x、y）の微分が、０または定数Cとなる

psi （x、y）の微分が、０または定数Cとなる

答えが得られます。

Xに関しての psi の偏微分は

Mに等しく

yに関しての psi の偏微分は

N に等しくなります。

次のビデオを

実際に問題を解いてみましょう。

いくつかの点を指摘しておきます。

これは、psi のxに関する偏微分ですが、

完全方程式のテストでは、

混合した微分を求めたいので

これをyに関して微分します。

同様にこれはyに関する偏微分ですが

混合の微分を得るため

xに関する微分を取ります。

xに関する微分を取ります。

これは 、yに関する

これは、xに関するものを取ります。

少し、難しいかもしれませんが、

これらの行程がすべて理解できれば、

完全方程式がどんなものか

わかると思います。

では、次のビデオで実際に

いくつかの完全方程式を解いてみましょう。

いくつかの完全方程式を解いてみましょう。