-
En el último video le presenté la idea de la cadena
-
regla con derivadas parciales.
-
Y dijimos, bueno, si tengo una función, psi, letra griega,
-
PSI, es una función de x e y.
-
Y si quería tomar el parcial, con respeto
-
— no, quiero tomar la derivada, no el parcial--
-
la derivada de esto, con respecto a x, esto es igual a
-
el parcial de psi, con respecto a x, más el parcial
-
de psi, con respecto a y, a veces dy, dx.
-
Y en el último video no demostrar a usted, pero
-
Esperemos que le dio un poco de intuición que puede
-
Créeme.
-
Pero tal vez algún día voy probarlo un poco más
-
rigurosamente, pero usted puede encontrar pruebas en la web si estás
-
interesado, para la regla de la cadena con derivadas parciales.
-
Así que vamos a poner eso a un lado y vamos a explorar otra propiedad
-
de derivadas parciales, y entonces estamos listos para obtener el
-
intuición detrás de ecuaciones exactas.
-
Porque vas a encontrar, es bastante sencillo
-
resolver ecuaciones exactas, pero la intuición es un poco
-
más--bueno, no quiero decir que es difícil, porque si
-
tienes la intuición, la tienes.
-
Así que qué pasa si tuve, decir, esta función, psi y fueron a
-
tomar la derivada parcial de psi, con respecto a x, primero.
-
Sólo voy a escribir psi.
-
No tengo que escribir x e y de cada vez.
-
Y entonces iban a tomar la derivada parcial con
-
respecto a y.
-
Así como una notación, esto se puede escribir como, usted podría
-
tipo de verlo como está multiplicando a los operadores, por lo que
-
se podría escribir como este.
-
El parcial del cuadrado veces psi o del cuadrado psi, más
-
del y del, o rizado x d.
-
Y que también puede escribirse como--y esto es mi preferido
-
notación, porque no tiene toda esta basura extra
-
en todas partes.
-
Sólo se puede decir, bueno, el parcial, tomamos el parcial,
-
con respecto a x, primero. Lo que simplemente significa el parcial de
-
PSI, con respecto a x.
-
Y luego tomamos el parcial, con respecto a y.
-
Así es una situación a considerar.
-
¿Qué sucede cuando tomamos el parcial, con respecto a x,
-
¿y, a continuación, y?
-
Así que con respecto a x, se mantiene y constante para obtener sólo el
-
parcial, con respecto a x.
-
Ignorar el y allí.
-
Y luego se mantiene la constante x, y tomar la
-
parcial, con respecto a y.
-
¿Cuál es la diferencia entre eso y si tuviéramos que
-
¿cambiar el orden?
-
Así que ¿qué pasa si tuviéramos que--lo haré de una forma diferente
-
color--si teníamos psi, y fuimos a tomar el parcial, con
-
respecto a y, en primer lugar, y luego fuimos a tomar el parcial,
-
¿con respecto a x?
-
Tan sólo la notación, por lo que estás cómodo con él,
-
que sería--x tan parcial, y parcial.
-
Y éste es el operador.
-
Y podría ser un poco confuso aquí, entre
-
Estas dos notaciones, aunque son la misma cosa,
-
se mezcla el orden.
-
Eso es sólo porque es sólo un modo distinto de
-
pensando en ello.
-
Esto dice, OK, parcial en primer lugar, con respecto a x, y, a continuación.
-
Esto ve más como el operador, por lo que tomamos la
-
parcial de x primero y luego tomó y, como si estuvieras
-
multiplicando a los operadores.
-
Pero de todos modos, así que esto también se puede escribir como el parcial de
-
y, con respecto a x--lo siento, el parcial de y y luego nos
-
se llevó el parcial de con respecto a x.
-
Ahora, voy a decir que ahora, que si cada uno de los
-
primeros parciales son continuas--y la mayoría de los
-
las funciones que hemos tratado en un dominio normal, tan largo como
-
no hay ningún discontinuidades o agujeros, o
-
algo raro en la definición de función,
-
generalmente son continuos.
-
Y especialmente en un cálculo de primer año o diferencial
-
curso, probablemente vamos a estar tratando con continua
-
funciones en breve. nuestro dominio.
-
Si ambas funciones son continuas, si ambos de la
-
primeros parciales son continuas y, a continuación, estos dos van a ser
-
iguales entre sí.
-
Tan psi de xy va a ser igual a psi de yx.
-
Ahora, podemos utilizar este conocimiento, que es la cadena
-
regla con derivadas parciales y esto
-
conocimiento ahora resolver una cierta clase de diferencial
-
ecuaciones, ecuaciones diferenciales de primeras orden, denominada
-
ecuaciones exactas.
-
Y ¿como un aspecto de la ecuación exacta?
-
Una ecuación exacta tiene el siguiente aspecto.
-
La selección de color s la parte dura.
-
Así que vamos a decir que esto es mi ecuación diferencial.
-
Tengo alguna función de x e y.
-
Así que no sé, podría ser x squared veces
-
coseno de y o algo.
-
No sé, podría ser cualquier función de x e y.
-
Además de alguna función de x y y, que llamaremos que n, tiempos dy,
-
DX es igual a 0.
-
Esto es--bueno, no sé si es una ecuación exacta todavía,
-
pero si has visto algo de esta forma, su primer impulso
-
debe ser,--bueno, en realidad, su primera
-
¿es el impulso, esto es separable?
-
Y debe tratar de jugar con el álgebra de un
-
un poco a ver si es separable, porque esa es la
-
siempre de la manera más sencilla.
-
Si no es separable, pero todavía puede ponerlo en esta forma,
-
¿dices, hey, es una ecuación exacta?
-
Y ¿qué es una ecuación exacta?
-
Pues mira inmediatamente.
-
Este patrón aquí parece un horrible
-
mucho como este patrón.
-
¿Qué pasa si m fue el parcial de psi, con respecto a x?
-
¿Qué sucede si el psi, con respecto a x, es igual a M?
-
¿Qué pasa si esto fue psi, con respecto a x?
-
Y ¿qué pasa si esto fue psi, respecto y?
-
Psi, con respecto a y, es igual a N.
-
¿Y si?
-
¿Sólo estoy diciendo, no sabemos con certeza, a la derecha?
-
Si sólo ves esto un lugar al azar, no vas a saber para
-
seguro que esto es el parcial, con respecto a x de algunos
-
función y esto es el parcial, con respecto a y de
-
alguna función.
-
Pero nosotros estamos simplemente diciendo, ¿qué pasa si?
-
Si esto fuera cierto, entonces nosotros podríamos reescribir esto como el
-
parcial de psi, con respecto a x, más el parcial de psi,
-
con respecto a y, a veces dy, dx, igual a 0.
-
Y esto justo aquí, allí, el lado izquierdo que la
-
¿lo mismo que este derecho?
-
Esto es sólo el derivado de psi, con respecto a x, utilizando
-
la regla de cadena derivada parcial.
-
Así podría escribirlo.
-
Se podría reescribir, esto es sólo el derivado de psi,
-
con respecto a x, dentro de la función de x,
-
y, es igual a 0.
-
Así que si ves una ecuación diferencial, y esto tiene
-
formulario y le dice, chico, que no puedo separarla, pero quizá
-
es una ecuación exacta.
-
Y francamente, si eso fue lo que recientemente fue cubierto antes
-
el examen actual, probablemente es una ecuación exacta.
-
Pero si ves esto forman, dices, chico, tal vez
-
es una ecuación exacta.
-
Si es una ecuación exacta--y te mostraré cómo probar
-
en un segundo utilizando que esta información, entonces esto puede ser
-
escrito como la derivada de alguna función, psi, donde esta
-
es el parcial de psi, con respecto a x.
-
Este es el parcial de psi, con respecto a y.
-
Y entonces si se puede escribir como esta, y tomar la
-
derivado de ambos lados--perdón, tomar la
-
primitiva de ambos lados--y usted obtendría psi de x, y
-
es igual a c como una solución.
-
Así que hay dos cosas que nosotros le debemos ser preocuparse por.
-
A continuación, usted podría estar diciendo, OK, Sal, que ha caminado a través de
-
PSI y parciales y todo esto.
-
Uno, ¿Cómo sé que es una ecuación exacta?
-
Y entonces, si es una ecuación exacta, que nos dice que
-
hay algunos psi, entonces ¿cómo resolver el PSI?
-
Así que la forma de averiguar es una ecuación exacta, es utilizar
-
Esta información aquí.
-
Sabemos que si psi y sus derivados son continuos
-
sobre algún dominio, que cuando usted toma el parcial, con
-
respecto a x y luego y, que es lo mismo que hacerlo
-
que en el otro orden.
-
Por lo que hemos dicho, este es el parcial, con
-
¿respecto a x, a la derecha?
-
Y este es el parcial, con respecto a y.
-
Así que si esto es una ecuación exacta, si esta es la exacta
-
ecuación, si nos tomamos el parcial, con respeto
-
¿a y derecha?
-
Si tuviéramos que lo tomar el parcial de M, respecto y--
-
el parcial de psi, con respecto a x, es igual a M.
-
Si tuviéramos que tomar el parcial de aquellos, respecto y--
-
por lo que sólo podríamos reescribir como--, entonces, debería ser
-
¿igual que el parcial de N, con respecto a x, a la derecha?
-
El parcial de psi, con respecto a y, es igual a N.
-
Así que si tomamos el parcial, con respecto a x, de ambos
-
Estos, sabemos de esto que estas deben ser iguales, si psi
-
y sus parciales son continuas sobre ese dominio.
-
Entonces esto será igual.
-
Por lo es realmente el caso de prueba a
-
Esta es una ecuación exacta.
-
Entonces, permítanme reescribir todo eso nuevamente y resumirlo un
-
poco.
-
Así que si ves algo de la forma, M de x, y más n de x,
-
y, a veces dy dx es igual a 0.
-
Y luego tomar la derivada parcial de M, con respeto
-
a y, y luego tomar la derivada parcial de N, con
-
respecto a x, y son iguales entre sí, entonces--
-
y es verdad si y sólo si, so it goes ambas maneras--
-
Esta es una ecuación exacta, una ecuación diferencial exacta.
-
Esta es una ecuación exacta.
-
Y si es una ecuación exacta, nos dice hay
-
existe un psi, tal que la derivada de la psi de x, y es
-
igual a 0, o psi de x, y es igual a c, es una solución de
-
Esta ecuación.
-
Y la derivada parcial de psi, con respecto a x, es
-
igual a M.
-
Y es la derivada parcial de psi, con respecto a y,
-
igual a N.
-
Y te voy a mostrar en el siguiente vídeo Cómo utilizar efectivamente este
-
información para resolver psi.
-
Aquí hay algunas cosas que quiero señalar.
-
Esto va a ser la derivada parcial de psi,
-
con respecto a x, pero cuando tomamos el tipo de prueba exacta,
-
lo tomamos con respecto a y, porque queremos
-
derivado de la mezcla.
-
Asimismo, esto va a ser la derivada parcial de psi,
-
con respecto a y, pero cuando lo hagamos la prueba, tomamos el
-
parcial de la misma con respecto a x, por lo que conseguimos que mezclan
-
derivado.
-
Esto es con respecto a y y luego con respecto a
-
x, para obtener esto.
-
De todos modos, sé podría estar involucrado un poco, pero si
-
has entendido todo lo que hice, creo que tendrás la
-
intuición detrás de por qué la metodología de
-
obras de ecuaciones exactas.
-
Nos vemos en el siguiente vídeo, donde podremos realmente
-
resolver algunas ecuaciones exactas ver
