-
-
V minulém videu jsem představil myšlenku parciálního derivování
-
složené funkce.
-
A řekli jsme, že když máme funkci psi, řecké písmeno,
-
psi, to je funkce proměnné x a y.
-
A kdybych chtěl udělat parciální derivaci tohoto podle --
-
ne já chci udělat derivaci, ne parciální derivaci --
-
derivaci tohoto podle x, to je rovno
-
parciální derivaci psi podle x plus parciální derivaci
-
psi podle y krát dy dx.
-
A v minulém videu jsem to nedokázal, ale
-
naštěstí jsem vám dal nějakou představu, takže mi můžete
-
věřit.
-
Možná jednou to dokážu více
-
precizněji, ale můžete najít důkaz na webu, pokud vás
-
zajímá derivování složené funkce u parciálních derivací.
-
Takže nechme to teď být a pojďme odhalit další vlastnost
-
parciální derivace a potom bude schopni pochopit
-
exaktní rovnice.
-
Protože zjistíte, že to je velmi přímočaré
-
řešit exaktní rovnice, ale pochopení je trochu
-
více -- nechci říct těžší, protože když
-
to pochopíte, tak už to vlastně máte.
-
Co kdybych měl, řekněme tuto funkce psi a
-
udělal bych parciální derivace psi podle x prvně.
-
Napíšu psi.
-
Nemusím psát x a y pokaždé.
-
A potom bych udělal parciální derivaci
-
podle y.
-
-
Jen podle notace, toto můžete psát jako, můžete
-
se na to trochu dívat jako na násobení operátorů,
-
můžete to tedy psát takto.
-
Parciální derivace (del) na druhou krát psi nebo del na druhou psi, dělěno
-
del y del nebo dx.
-
A to může být taky napsáno jako -- a to já preferuji,
-
protože to nemám všechny ty zbytečnosti
-
okolo.
-
Můžete prostě říct, parciální derivace, prvně jsme parciálně zderivovali
-
podle x. To znamená udělali jsme parciální derivaci
-
psi podle x.
-
A potom parciální derivaci podle y.
-
Takže to je jedna situace k zvážení.
-
Co se stane když děláme parciální derivaci podle x
-
a potom podle y?
-
Podle x považujete y za konstantu abyste dostali
-
parciální derivaci podle x.
-
Ignorujete y.
-
A potom x je konstantou a děláte
-
parciální derivaci podle y.
-
Jaký je rozdíl mezí tímto a tím kdybychom
-
zaměnili pořadí?
-
Co se stane kdybychom -- napíšu to jinou
-
barvou -- kdybychom měli psi a dělali bychom parciální derivaci prvně
-
podle y a potom
-
podle x?
-
Přesně podle notace, je abyste s tím byli obeznámeni
-
to by mělo být -- takže parciální derivace x, parciální derivace y.
-
A toto je operátor.
-
To může být trochu matoucí tady, mezi
-
těmito dvěma zápísy, ačkoliv zamenají to stejné,
-
pořadí je opačné.
-
To protože to je jiný způsob
-
přemýšlení o tom.
-
Toto říká, ok, prvně parciální derivace podle x a potom podle y.
-
Tohle na to pohlíží více jako operátor, takže udělámě prvně
-
parciální derivaci podle x, a potom podle y, jako kdybyste
-
násobili operátory.
-
Nicméně, toto může být napsáno jako parciální derivace
-
y podle x -- pardon -- parciální derivace y a potom
-
uděláme parciální derivaci podle x.
-
Nyní vám řeknu, že když každá z
-
prvních parciálních derivací je spojitá -- a většina
-
funkcí se kterými my normálně pracujeme, dokud
-
neexistují žádné nespojisti, díry nebo
-
nějaké zvláštnosti v definici dané funkce,
-
jsou tyto funkce obvykle spojité.
-
Zvláště v prvním ročníku analýzy
-
se pravděpodobně budeme zabývat spojitými
-
funkcemi.
-
Jestliže obě z těchto funkcí jsou spojité a jestliže
-
jejich první parciální derivce jsou spojité potom tyto dva zápísy
-
jsou si rovny.
-
takže psi podle xy bude rovno psi podle yx.
-
Teď můžeme použit tento poznatek, který je pravidle pro
-
derivování složené funkce používající parciální derivace a
-
tento poznatek nyní vyřeší určitý typ diferenciálních
-
rovnic, rovnice prvního řádu nazývané
-
exaktní rovnice.
-
A jak exaktní rovnice vypadá?
-
Exaktní rovnice vapadá takto.
-
Složitý výběr barvy.
-
Řekněme, že tohle je moje diferenciální rovnice.
-
Mám nějakou funkci proměných x a y.
-
Nevím, to může být x na druhou krát
-
cosinus y nebo něco.
-
Může to být jakákoliv funkce x a y.
-
Plus nějaká funkce x a y, budeme ji říkat N, krát dy,
-
dx je rovno 0.
-
To je -- dobře, ještě nevím jestli to je exaktní rovnice,
-
ale když uvidíte něco takového, první impuls
-
by měl být -- dobře, vlastně, váš ůplně první
-
impuls je jestli je to separovatelná rovnice?
-
A měli byste zkusit použít nějakou algebru
-
abyste zjistili zda je to separovatelní rovnice, protože to
-
vždycky nejpříměší způsob.
-
Jestli to není separovatelná rovnice, ale můžete to převést do této podoby,
-
řekne, hey, je to exaktní rovnice?
-
A co je exaktní rovnice?
-
Dobře, podívejme se na to.
-
Tento vzorec tady vypadá strašlivě
-
jako tento vzorec.
-
Co kdyby M byla parciální derivace psi podle x?
-
Co když psi podle x je rovno M?
-
Co když toto je psi podle x?
-
A co kdyby toto bylo psi podle y?
-
Takže psi podle y je rovno N.
-
Co když?
-
Jen říkám nevíme to jistě, ano?
-
Jestliže uvidíte náhodou toto někde, nebudete vědět
-
jistě, zda je to parciální derivace podle x nějaké
-
funkce a toto je parciální derivace podle y
-
nějaké funkce.
-
Ale jen říkáme co když?
-
Kdyby to byla pravda, mohli bychom to přepsat jako
-
parciální derivace psi podle x plus parciální derivace psi
-
podle x krát dy dx se rovna 0.
-
A toto tady, ta leva strana, to je
-
stejná věc jako tady, ano?
-
To je prostě derivace psi podle x používající
-
pravidlo pro derivování složené funkce pro parciální derivace.
-
Takže to můžete přepsat.
-
Můžete to přepsat, toto je derivace psi
-
podle x, uvnitř funkce funkce proměnných x
-
y je rovno 0.
-
Takže když se podíváte, uvidíte diferenciální rovnici a ta má tento
-
tvar, a řekne, tohle nemůžu rozdělí, ale možná
-
to je exaktní rovnice.
-
A upřímně
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-