1
00:00:09,036 --> 00:00:14,106
Terão muita dificuldade em encontrar
Königsberg em qualquer mapa moderno,

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,575
mas uma certa peculiaridade
na sua geografia

3
00:00:17,575 --> 00:00:21,435
tornou-a numa das cidades
mais famosas da matemática.

4
00:00:22,205 --> 00:00:26,214
A cidade medieval germânica situava-se
de ambos os lados do Rio Pregel.

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
No centro havia duas grandes ilhas.

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,204
As duas ilhas estavam ligadas
uma à outra e às margens do rio

7
00:00:33,204 --> 00:00:34,974
por sete pontes.

8
00:00:35,884 --> 00:00:38,296
Carl Gottlieb Ehler, um matemático

9
00:00:38,296 --> 00:00:41,296
que veio a ser o prefeito
duma cidade vizinha,

10
00:00:41,296 --> 00:00:44,395
começou a ficar obcecado
com estas ilhas e pontes.

11
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
Voltava sempre a uma única pergunta:

12
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
Que caminho permitiria que uma pessoa
atravessasse as sete pontes

13
00:00:51,095 --> 00:00:54,276
sem cruzar nenhuma delas
mais do que uma vez?

14
00:00:55,136 --> 00:00:56,866
Pensem nisso por instantes.

15
00:01:03,996 --> 00:01:05,076
Desistem?

16
00:01:05,076 --> 00:01:06,198
É melhor.

17
00:01:06,198 --> 00:01:07,513
Não é possível.

18
00:01:07,673 --> 00:01:10,036
Mas a tentativa de explicar porquê,

19
00:01:10,036 --> 00:01:12,778
levou Leonhard Euler,
o conhecido matemático,

20
00:01:12,778 --> 00:01:15,997
a inventar uma nova área da matemática.

21
00:01:15,997 --> 00:01:18,648
Carl escreveu a Euler, pedindo ajuda
para o problema.

22
00:01:18,888 --> 00:01:23,367
A princípio, Euler achou que o problema
não tinha nada a ver com a matemática.

23
00:01:23,367 --> 00:01:25,316
Mas quanto mais pensava nisso,

24
00:01:25,316 --> 00:01:28,507
mais lhe parecia que, afinal,
podia haver ali qualquer coisa.

25
00:01:29,277 --> 00:01:33,166
A resposta que encontrou
tinha a ver com um tipo de geometria

26
00:01:33,166 --> 00:01:38,608
que ainda não existia
e a que ele chamou a Geometria de Posição,

27
00:01:38,608 --> 00:01:41,137
hoje conhecida por Teoria dos Grafos.

28
00:01:41,897 --> 00:01:43,783
A primeira conclusão de Euler

29
00:01:43,783 --> 00:01:48,687
foi que o caminho tomado entre a entrada
de uma ilha ou de uma margem do rio

30
00:01:48,687 --> 00:01:50,708
e a sua saída não era importante.

31
00:01:50,708 --> 00:01:54,427
Portanto, o mapa podia ser simplificado
representando por um simples ponto

32
00:01:54,427 --> 00:01:56,717
cada uma das quatro massas terrestres,

33
00:01:56,717 --> 00:01:59,257
aquilo a que hoje chamamos um nodo.

34
00:01:59,487 --> 00:02:04,198
As pontes seriam representadas
por linhas, ou arestas, entre elas.

35
00:02:04,428 --> 00:02:09,299
Este grafo simplificado permite-nos
contar facilmente os graus de cada nodo.

36
00:02:09,619 --> 00:02:12,579
É o número de pontes
em que cada massa terrestre toca.

37
00:02:12,709 --> 00:02:14,968
Porque é que estes graus são importantes?

38
00:02:14,968 --> 00:02:17,048
Segundo as regras do problema,

39
00:02:17,048 --> 00:02:20,678
quando os viajantes chegassem
a uma massa terrestre por uma ponte,

40
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
teriam que sair de lá
por uma ponte diferente.

41
00:02:23,800 --> 00:02:26,558
Por outras palavras, as pontes
que chegavam a um nodo

42
00:02:26,558 --> 00:02:28,368
e as que dele saiam

43
00:02:28,368 --> 00:02:30,707
tinham que ocorrer em pares distintos,

44
00:02:30,707 --> 00:02:34,417
ou seja, o número de pontes que tocavam
em cada massa terrestre visitada

45
00:02:34,417 --> 00:02:36,268
teria que ser par.

46
00:02:36,368 --> 00:02:39,239
As únicas exceções possíveis seriam


47
00:02:39,239 --> 00:02:42,267
a localização do início
e a do fim da caminhada.

48
00:02:42,267 --> 00:02:44,378
Olhando para o grafo, verifica-se

49
00:02:44,378 --> 00:02:47,218
que todos os quatro nodos
têm um grau ímpar.

50
00:02:47,218 --> 00:02:49,337
Assim, seja qual for o caminho escolhido,

51
00:02:49,337 --> 00:02:53,440
a certa altura, seria necessário
cruzar duas vezes a mesma ponte.

52
00:02:54,230 --> 00:02:57,839
Euler usou esta prova
para formular uma teoria geral

53
00:02:57,839 --> 00:03:01,461
que se aplica a todos os grafos
com dois ou mais nodos.

54
00:03:01,801 --> 00:03:05,910
Um caminho euleriano 
que visita cada aresta apenas uma vez

55
00:03:05,910 --> 00:03:08,959
só é possível num de dois cenários.

56
00:03:09,459 --> 00:03:13,769
O primeiro é quando há exatamente
dois nodos de grau ímpar,

57
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
o que significa que todos os restantes
são pares.

58
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
Aí, o ponto de partida
é um dos nodos ímpar

59
00:03:19,659 --> 00:03:21,770
e o ponto de chegada é o outro.

60
00:03:22,680 --> 00:03:26,091
O segundo é quando todos os nodos
são de grau par.

61
00:03:26,091 --> 00:03:31,081
Aí, o caminho euleriano pode começar
e terminar no mesmo local

62
00:03:31,081 --> 00:03:34,318
o que também lhe dá o nome
de circuito euleriano.

63
00:03:34,888 --> 00:03:38,200
Então, como podíamos criar
um caminho euleriano em Konigsberg?

64
00:03:38,200 --> 00:03:39,482
Muito simplesmente.

65
00:03:39,482 --> 00:03:41,652
Basta retirar qualquer uma das pontes.

66
00:03:41,652 --> 00:03:45,710
Acontece que a História criou
um caminho euleriano, por si mesma.

67
00:03:46,080 --> 00:03:47,663
Durante a II Guerra Mundial,

68
00:03:47,663 --> 00:03:50,682
a Força Aérea Soviética destruiu
duas das pontes da cidade,

69
00:03:50,682 --> 00:03:53,531
possibilitando um caminho euleriano.

70
00:03:53,831 --> 00:03:57,241
Mas, para ser franco, provavelmente
a intenção deles não era essa.

71
00:03:57,441 --> 00:04:00,781
Esse bombardeamento quase varreu
Konigsberg do mapa

72
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
que foi posteriormente reconstruída
como a cidade russa de Kaliningrado.

73
00:04:05,200 --> 00:04:09,083
Embora Konigsberg e as suas sete pontes
talvez já não existam,

74
00:04:09,083 --> 00:04:11,940
serão recordadas na História

75
00:04:11,940 --> 00:04:13,618
por este quebra-cabeças
aparentemente trivial

76
00:04:13,618 --> 00:04:17,662
que levou ao aparecimento
de toda uma nova área da matemática.