1
00:00:09,036 --> 00:00:14,106
Seria difícil encontrar Königsberg
em um mapa moderno,

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,415
mas uma particularidade em sua geografia

3
00:00:17,415 --> 00:00:22,205
a tornou uma das mais famosas
cidades da matemática.

4
00:00:22,205 --> 00:00:26,214
A cidade medieval alemã ocupava
as duas margens do rio Pregel.

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
No centro, ficavam duas grandes ilhas.

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
As conexões entre as duas ilhas
e as margens do rio

7
00:00:33,124 --> 00:00:35,884
se davam através de sete pontes.

8
00:00:35,884 --> 00:00:41,296
Carl Gottlieb Ehler, um matemático que
se tornaria prefeito numa cidade próxima,

9
00:00:41,296 --> 00:00:44,395
ficou obcecado por essas ilhas e pontes.

10
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
Ele insistia em uma única questão:

11
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
qual caminho teria que ser feito
para se cruzar as sete pontes

12
00:00:51,095 --> 00:00:55,136
sem passar por uma ponte
mais de uma vez?

13
00:00:55,136 --> 00:00:56,946
Reflita por um momento.

14
00:00:56,946 --> 00:00:57,936
[7]

15
00:00:57,936 --> 00:00:58,947
[6]

16
00:00:58,947 --> 00:00:59,916
[5]

17
00:00:59,916 --> 00:01:00,847
[4]

18
00:01:00,847 --> 00:01:01,956
[3]

19
00:01:01,956 --> 00:01:02,886
[2]

20
00:01:02,886 --> 00:01:03,996
[1]

21
00:01:03,996 --> 00:01:05,076
Desistiu?

22
00:01:05,076 --> 00:01:06,198
Muito bem.

23
00:01:06,198 --> 00:01:07,513
É impossível.

24
00:01:07,513 --> 00:01:12,636
Mas a tentativa de explicar o porquê
levou o famoso matemático Leonhard Euler

25
00:01:12,636 --> 00:01:15,997
a inventar um novo campo da matemática.

26
00:01:15,997 --> 00:01:18,648
Carl pediu a Euler ajuda com o problema.

27
00:01:18,648 --> 00:01:23,367
Euler a princípio pensou que a questão
não tinha relação com matemática.

28
00:01:23,367 --> 00:01:25,136
Mas quanto mais ele pensava,

29
00:01:25,136 --> 00:01:28,977
mais parecia haver algo ali
no fim das contas.

30
00:01:28,977 --> 00:01:32,906
A solução que ele encontrou
tinha a ver com um tipo de geometria

31
00:01:32,906 --> 00:01:38,258
que ainda não existia, a qual ele nomeou
"Geometria de Posição",

32
00:01:38,258 --> 00:01:41,897
conhecida hoje como Teoria dos Grafos.

33
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
Euler concluiu primeiro

34
00:01:43,443 --> 00:01:48,507
que o caminho percorrido dentro
de uma ilha ou margem específica

35
00:01:48,507 --> 00:01:50,578
não importava.

36
00:01:50,578 --> 00:01:54,427
Assim, o mapa podia ser simplificado
se cada porção de terra

37
00:01:54,427 --> 00:01:56,627
fosse representada por um ponto,

38
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
o que nós hoje chamamos de vértice,

39
00:01:59,297 --> 00:02:04,198
com linhas, ou arestas, entre eles
representando as pontes.

40
00:02:04,198 --> 00:02:09,619
Esse grafo simplificado nos permite
contar os graus de cada vértice.

41
00:02:09,619 --> 00:02:13,219
Esse é o número de pontes
que cada porção de terra possui.

42
00:02:13,219 --> 00:02:14,598
Qual a importância dos graus?

43
00:02:14,598 --> 00:02:16,828
Segundo as regras do desafio,

44
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
quando viajantes entrarem
numa porção de terra por uma ponte,

45
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
eles têm que sair dela por outra ponte.

46
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
Ou seja, as pontes que chegam
e que saem de cada vértice

47
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
devem ocorrer em pares,

48
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
o que significa que o número de pontes
em cada porção de terra visitada

49
00:02:34,239 --> 00:02:36,368
deve ser par.

50
00:02:36,368 --> 00:02:40,029
As únicas exceções seriam o começo

51
00:02:40,029 --> 00:02:42,267
e o fim da caminhada.

52
00:02:42,267 --> 00:02:47,218
Olhando para o grafo, fica evidente
que todos os vértices têm grau ímpar.

53
00:02:47,218 --> 00:02:49,187
Não importa o caminho escolhido,

54
00:02:49,187 --> 00:02:53,440
em algum momento, uma ponte
será cruzada duas vezes.

55
00:02:53,440 --> 00:02:57,709
Euler usou essa prova
para formular uma teoria geral

56
00:02:57,709 --> 00:03:01,721
que se aplica a todo grafo
com dois ou mais vértices.

57
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
Um caminho euleriano
que passa apenas uma vez por cada aresta

58
00:03:05,790 --> 00:03:09,159
só é possível num dos seguintes cenários.

59
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
O primeiro é quando existem exatos
dois vértices de grau ímpar,

60
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
e todos os outros são pares.

61
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
Nesse caso, o ponto de partida
é um dos vértices ímpares,

62
00:03:19,659 --> 00:03:21,770
e o final é o outro.

63
00:03:21,770 --> 00:03:26,091
O segundo é quando
todos os vértices têm grau par.

64
00:03:26,091 --> 00:03:31,231
Nesse caso, o caminho inicia
e termina no mesmo local,

65
00:03:31,231 --> 00:03:34,758
configurando o que chamamos
de circuito euleriano.

66
00:03:34,758 --> 00:03:38,240
Então, como um caminho euleriano
poderia ser criado em Königsberg?

67
00:03:38,240 --> 00:03:39,302
É simples.

68
00:03:39,302 --> 00:03:41,402
É só remover uma das pontes.

69
00:03:41,402 --> 00:03:46,080
Curiosamente, a história criou
um caminho euleriano por conta própria.

70
00:03:46,080 --> 00:03:50,198
Na 2ª Guerra Mundial, aviões soviéticos
destruíram duas das pontes da cidade,

71
00:03:50,198 --> 00:03:53,571
fazendo surgir um caminho euleriano.

72
00:03:53,571 --> 00:03:57,294
Embora essa provavelmente
não fosse sua intenção.

73
00:03:57,294 --> 00:04:00,781
Os bombardeios praticamente
varreram Königsberg do mapa,

74
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
e a cidade foi reconstruída pela Rússia
sob o nome de Kaliningrado.

75
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
Mesmo que Königsberg e suas sete pontes
não estejam mais entre nós,

76
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
elas ficarão para sempre na história
por causa desse simples enigma

77
00:04:13,361 --> 00:04:17,662
que deu origem a um ramo
da matemática inteiramente novo.