現代の地図でケーニヒスベルクを
見つけるのは不可能です
しかしこの街は 1つの特徴的な地形により
数学の分野で
最も有名な街の1つになったのです
この中世ドイツの街はプレーゲル川の
両側にまたがっており
その中心には2つの島がありました
2つの島と川岸はそれぞれ
7本の橋でつながっていました
数学者で後に近くの街の市長になった
カール・ゴットリーブ・エーラは
これらの島と橋に関する
1つの問題に取り付かれるようになりました
「どの経路なら 同じ橋を2度渡ることなく
7本全ての橋を渡れるのだろう?」
というものです
ちょっと考えてみてください
7
6
5
4
3
2
1
降参ですか?
当然です
不可能なのです
一方 その理由の説明を試みる過程で
有名な数学者レオンハルト・オイラーは
数学の新しい分野を生み出しました
カールは手紙を書き
オイラーに助けを求めました
オイラーは最初はこの問題は
数学に無関係として片付けました
しかしこの問題と格闘するほど
それ以上の何かがあるのではないかと
考えるようになりました
彼が出した答えは
それまで存在しなかった新しい幾何学の分野
彼自身は「位置の幾何学」と呼び
現在はグラフ理論というものに
関係していました
オイラーの最初の洞察は
どの経路で島や川岸を往来したかは
関係がないということでした
このように地図上の4つの土地は
現在我々が頂点と呼ぶ
1つの点として
橋は頂点の間の直線
もしくは辺として単純化できます
そしてこの簡素化されたグラフは
各頂点の次数
つまり各地点につながる橋の数を
数えやすくします
ではなぜ次数が重要なのでしょうか?
このクイズのルールでは
旅人がある橋を通って
1つの土地に到着したら
他の橋を通って
出て行かなければなりません
これはルート上にある全ての頂点で
到着と出発のための橋が
対になる必要があるということです
すなわち個々の土地につながる橋の数は
偶数でなければいけないということです
唯一例外が認められるのは
出発地点とゴール地点です
この図を見れば4箇所の頂点全てが
奇数の次数を持っていることは明らかです
したがってどのような道筋であっても
どこかの時点で橋は
2度渡らないといけないのです
オイラーはこの証明から
2つ以上の頂点を持つ全てのグラフに当てはまる
一般理論を作りました
全ての辺を1度だけ通るオイラー路には
2つのシナリオしかありません
最初のシナリオは
2つの頂点だけが奇数の次数を持ち
残りの頂点の次数が偶数のものです
この場合には奇数の次数を持つ
頂点の1つが出発地点となり
もう1つの頂点がゴール地点になります
2つ目のシナリオは全ての頂点が
偶数の次数を持つ場合です
この場合は出発地点とゴール地点は
同じ場所になり
オイラー閉路と呼ばれる回路を作ります
ではケーニヒスベルクで
オイラー路を作るにはどうしたらよいでしょうか
答えは簡単です
どれか橋を1本取り除けばいいのです
その後 歴史は自ら
オイラー路を作りました
第二次世界大戦の最中に
ソビエト空軍が街の2本の橋を破壊したため
オイラー路が簡単に作れるようになりました
公平を期して言えば ソビエトの目的は
オイラー路ではなかったでしょう
これらの爆撃によって
ケーニヒスベルクは正に地図から消し去られ
後日カリーニングラードという
ロシアの街として再建されました
だから7本の橋があるケーニヒスベルクの街は
もう存在しないかもしれませんが
他愛ないクイズから
数学の新しい分野を生み出した街として
歴史的に記憶されることでしょう