Hiába is keresnénk Königsberget egy mai térképen,
különös földrajzi helyzete folytán
mégis az egyik leghíresebb várossá vált a matematikában.
A középkori német város a Pregel folyó két partján terült el.
Közepén volt két nagy sziget.
A két szigetet egymással és a partokkal
hét híd kötötte össze.
Carl Gottlieb Ehler matematikus, egy közeli város későbbi polgármestere
e szigeteknek és hidaknak megszállottjává vált.
Folyton ugyanahhoz a kérdéshez kanyarodott vissza:
Melyik az az út, amely mentén átmehetünk minden hídon,
de mindegyiken csak egyszer?
Gondolkodjunk csak egy pillanatig.
7
6
5
4
3
2
1
Feladják?
Fel kéne.
Nincs ilyen.
Leonhard Euler, a neves matematikus, amikor megpróbálta ezt megmagyarázni,
a matematika egy új területét hozta létre.
Carl írt Eulernek, hogy segítsen megoldani a problémát.
Euler először elhessentette a kérdést, mint aminek semmi köze a matematikához.
de minél többet nyűglődött rajta,
annál inkább úgy tűnt, hogy talán mégis lenne valami köze.
A válasz, amit talált, a geometriának olyan ágához köthető,
ami ekkor még nem igazán létezett, és amit ő a helyek geometriájának hívott,
ma pedig gráfelmélet néven ismert.
Euler első meglátása az volt,
hogy nem számít, hogy a szigeteken és a partokon
milyen úton megyünk.
Így a térkép leegyszerűsíthető oly módon, hogy a négy földdarabot
egy-egy pont reprezentálja –
ezeket csúcsoknak nevezzük –,
a hidakat pedig vonalaknak vagy éleknek, amelyek összekötik a pontokat.
E leegyszerűsített ábra lehetővé teszi, hogy megszámoljuk minden csúcs fokszámát.
Ez a szám az adott szárazföldet érintő hidak száma.
Miért érdekes a fokszám?
A séta szabályai szerint
ha egyszer az utazó megérkezik a szárazföldre az egyik hídon,
akkor egy másikon keresztül kell onnan távoznia.
Vagyis az egy csúcsba be- és onnan kifutó hidak
egyértelműen megfeleltethetők egymásnak,
ami azt jelenti, hogy minden földdarabot
páros számú hídnak kell érintenie.
Kivétel ez alól csak
a séta kezdő- és végpontja lehet.
Ha ránézünk a gráfra, rögtön látszik, hogy mind a négy csúcs fokszáma páratlan.
Bármelyik utat is választjuk tehát,
valamelyik pontnál az egyik hidat kétszer kell használjuk.
Euler ezt a bizonyítást használta egy általános tétel megfogalmazására,
amely igaz minden olyan gráfra, amelynek legalább két csúcsa van.
Az Euler-vonal, amely minden élt csak egyszer használ,
csupán az alábbi két eset valamelyikében lehetséges:
Az első, amikor pontosan két olyan csúcs van, melyeknek a fokszáma páratlan,
azaz az összes többié páros.
Ilyenkor a kezdőpont az egyik páratlan fokszámú csúcs,
a végpont pedig a másik.
A másik eset, amikor minden csúcs fokszáma páros.
Ilyenkor az Euler-vonal kezdő- és végpontja megegyezik,
ezt Euler-körnek is nevezik.
Tehát hogyan tudnánk létrehozni egy Euler-vonalat Königsbergben?
Egyszerűen.
Hagyjunk el egy hidat.
A történelem megcsinálta a maga Euler-vonalát.
A 2. világháború alatt a szovjet légierő a város két hídját megsemmisítette,
ezzel az Euler-vonalat könnyen megrajzolhatóvá tette.
Az igazsághoz tartozik, hogy valószínűleg nem ez volt a céljuk.
Ezek a bombák jócskán letörölték Königsberget a térképről.
hogy azután orosz városként épüljön újjá, Kalinyingrád néven.
Így, bár Königsberget és hét hídját már nem lehet körbejárni,
mindenkorra emlékezetes marad e látszólag egyszerű rejtvény révén,
amely a matematika egy új ágának felbukkanásához vezetett.