Hiába is keresnénk Königsberget egy mai térképen, különös földrajzi helyzete folytán mégis az egyik leghíresebb várossá vált a matematikában. A középkori német város a Pregel folyó két partján terült el. Közepén volt két nagy sziget. A két szigetet egymással és a partokkal hét híd kötötte össze. Carl Gottlieb Ehler matematikus, egy közeli város későbbi polgármestere e szigeteknek és hidaknak megszállottjává vált. Folyton ugyanahhoz a kérdéshez kanyarodott vissza: Melyik az az út, amely mentén átmehetünk minden hídon, de mindegyiken csak egyszer? Gondolkodjunk csak egy pillanatig. 7 6 5 4 3 2 1 Feladják? Fel kéne. Nincs ilyen. Leonhard Euler, a neves matematikus, amikor megpróbálta ezt megmagyarázni, a matematika egy új területét hozta létre. Carl írt Eulernek, hogy segítsen megoldani a problémát. Euler először elhessentette a kérdést, mint aminek semmi köze a matematikához. de minél többet nyűglődött rajta, annál inkább úgy tűnt, hogy talán mégis lenne valami köze. A válasz, amit talált, a geometriának olyan ágához köthető, ami ekkor még nem igazán létezett, és amit ő a helyek geometriájának hívott, ma pedig gráfelmélet néven ismert. Euler első meglátása az volt, hogy nem számít, hogy a szigeteken és a partokon milyen úton megyünk. Így a térkép leegyszerűsíthető oly módon, hogy a négy földdarabot egy-egy pont reprezentálja – ezeket csúcsoknak nevezzük –, a hidakat pedig vonalaknak vagy éleknek, amelyek összekötik a pontokat. E leegyszerűsített ábra lehetővé teszi, hogy megszámoljuk minden csúcs fokszámát. Ez a szám az adott szárazföldet érintő hidak száma. Miért érdekes a fokszám? A séta szabályai szerint ha egyszer az utazó megérkezik a szárazföldre az egyik hídon, akkor egy másikon keresztül kell onnan távoznia. Vagyis az egy csúcsba be- és onnan kifutó hidak egyértelműen megfeleltethetők egymásnak, ami azt jelenti, hogy minden földdarabot páros számú hídnak kell érintenie. Kivétel ez alól csak a séta kezdő- és végpontja lehet. Ha ránézünk a gráfra, rögtön látszik, hogy mind a négy csúcs fokszáma páratlan. Bármelyik utat is választjuk tehát, valamelyik pontnál az egyik hidat kétszer kell használjuk. Euler ezt a bizonyítást használta egy általános tétel megfogalmazására, amely igaz minden olyan gráfra, amelynek legalább két csúcsa van. Az Euler-vonal, amely minden élt csak egyszer használ, csupán az alábbi két eset valamelyikében lehetséges: Az első, amikor pontosan két olyan csúcs van, melyeknek a fokszáma páratlan, azaz az összes többié páros. Ilyenkor a kezdőpont az egyik páratlan fokszámú csúcs, a végpont pedig a másik. A másik eset, amikor minden csúcs fokszáma páros. Ilyenkor az Euler-vonal kezdő- és végpontja megegyezik, ezt Euler-körnek is nevezik. Tehát hogyan tudnánk létrehozni egy Euler-vonalat Königsbergben? Egyszerűen. Hagyjunk el egy hidat. A történelem megcsinálta a maga Euler-vonalát. A 2. világháború alatt a szovjet légierő a város két hídját megsemmisítette, ezzel az Euler-vonalat könnyen megrajzolhatóvá tette. Az igazsághoz tartozik, hogy valószínűleg nem ez volt a céljuk. Ezek a bombák jócskán letörölték Königsberget a térképről. hogy azután orosz városként épüljön újjá, Kalinyingrád néven. Így, bár Königsberget és hét hídját már nem lehet körbejárni, mindenkorra emlékezetes marad e látszólag egyszerű rejtvény révén, amely a matematika egy új ágának felbukkanásához vezetett.