0:00:08.896,0:00:14.106
Hiába is keresnénk Königsberget[br]egy mai térképen,

0:00:14.106,0:00:17.415
különös földrajzi helyzete folytán

0:00:17.415,0:00:22.205
mégis az egyik leghíresebb [br]várossá vált a matematikában.

0:00:22.205,0:00:26.214
A középkori német város [br]a Pregel folyó két partján terült el.

0:00:26.214,0:00:28.875
Közepén volt két nagy sziget.

0:00:28.875,0:00:33.124
A két szigetet egymással és a partokkal

0:00:33.124,0:00:35.884
hét híd kötötte össze.

0:00:35.884,0:00:41.296
Carl Gottlieb Ehler matematikus, [br]egy közeli város későbbi polgármestere

0:00:41.296,0:00:44.395
e szigeteknek és hidaknak[br]megszállottjává vált.

0:00:44.395,0:00:47.205
Folyton ugyanahhoz [br]a kérdéshez kanyarodott vissza:

0:00:47.205,0:00:51.095
Melyik az az út, amely mentén [br]átmehetünk minden hídon,

0:00:51.095,0:00:55.136
de mindegyiken csak egyszer?

0:00:55.136,0:00:56.946
Gondolkodjunk csak egy pillanatig.

0:00:56.946,0:00:57.936
7

0:00:57.936,0:00:58.947
6

0:00:58.947,0:00:59.916
5

0:00:59.916,0:01:00.847
4

0:01:00.847,0:01:01.956
3

0:01:01.956,0:01:02.886
2

0:01:02.886,0:01:03.996
1

0:01:03.996,0:01:05.076
Feladják?

0:01:05.076,0:01:06.198
Fel kéne.

0:01:06.198,0:01:07.513
Nincs ilyen.

0:01:07.513,0:01:12.636
Leonhard Euler, a neves matematikus, [br]amikor megpróbálta ezt megmagyarázni,

0:01:12.636,0:01:15.997
a matematika egy új területét hozta létre.

0:01:15.997,0:01:18.648
Carl írt Eulernek, hogy segítsen [br]megoldani a problémát.

0:01:18.648,0:01:23.367
Euler először elhessentette a kérdést, [br]mint aminek semmi köze a matematikához.

0:01:23.367,0:01:25.136
de minél többet nyűglődött rajta,

0:01:25.136,0:01:28.977
annál inkább úgy tűnt, [br]hogy talán mégis lenne valami köze.

0:01:28.977,0:01:32.906
A válasz, amit talált, a geometriának [br]olyan ágához köthető,

0:01:32.906,0:01:38.258
ami ekkor még nem igazán létezett, [br]és amit ő a helyek geometriájának hívott,

0:01:38.258,0:01:41.897
ma pedig gráfelmélet néven ismert.

0:01:41.897,0:01:43.443
Euler első meglátása az volt,

0:01:43.443,0:01:48.507
hogy nem számít, hogy a szigeteken [br]és a partokon

0:01:48.507,0:01:50.578
milyen úton megyünk.

0:01:50.578,0:01:54.427
Így a térkép leegyszerűsíthető oly módon, [br]hogy a négy földdarabot

0:01:54.427,0:01:56.627
egy-egy pont reprezentálja –

0:01:56.627,0:01:59.297
ezeket csúcsoknak nevezzük –,

0:01:59.297,0:02:04.198
a hidakat pedig vonalaknak vagy éleknek, [br]amelyek összekötik a pontokat.

0:02:04.198,0:02:09.719
E leegyszerűsített ábra lehetővé teszi, [br]hogy megszámoljuk minden csúcs fokszámát.

0:02:09.719,0:02:13.219
Ez a szám az adott szárazföldet [br]érintő hidak száma.

0:02:13.219,0:02:14.598
Miért érdekes a fokszám?

0:02:14.598,0:02:16.828
A séta szabályai szerint

0:02:16.828,0:02:20.678
ha egyszer az utazó megérkezik [br]a szárazföldre az egyik hídon,

0:02:20.678,0:02:23.800
akkor egy másikon keresztül[br]kell onnan távoznia.

0:02:23.800,0:02:28.168
Vagyis az egy csúcsba [br]be- és onnan kifutó hidak

0:02:28.168,0:02:30.587
egyértelműen megfeleltethetők egymásnak,

0:02:30.587,0:02:34.239
ami azt jelenti, hogy minden földdarabot

0:02:34.239,0:02:36.368
páros számú hídnak kell érintenie.

0:02:36.368,0:02:40.029
Kivétel ez alól csak

0:02:40.029,0:02:42.267
a séta kezdő- és végpontja lehet.

0:02:42.267,0:02:47.218
Ha ránézünk a gráfra, rögtön látszik, [br]hogy mind a négy csúcs fokszáma páratlan.

0:02:47.218,0:02:49.187
Bármelyik utat is választjuk tehát,

0:02:49.187,0:02:53.440
valamelyik pontnál az egyik hidat [br]kétszer kell használjuk.

0:02:53.440,0:02:57.709
Euler ezt a bizonyítást használta [br]egy általános tétel megfogalmazására,

0:02:57.709,0:03:01.721
amely igaz minden olyan gráfra, [br]amelynek legalább két csúcsa van.

0:03:01.721,0:03:05.790
Az Euler-vonal, amely minden élt [br]csak egyszer használ,

0:03:05.790,0:03:09.159
csupán az alábbi két eset [br]valamelyikében lehetséges:

0:03:09.159,0:03:13.769
Az első, amikor pontosan két olyan [br]csúcs van, melyeknek a fokszáma páratlan,

0:03:13.769,0:03:16.310
azaz az összes többié páros.

0:03:16.310,0:03:19.659
Ilyenkor a kezdőpont [br]az egyik páratlan fokszámú csúcs,

0:03:19.659,0:03:21.770
a végpont pedig a másik.

0:03:21.770,0:03:26.091
A másik eset, amikor minden csúcs [br]fokszáma páros.

0:03:26.091,0:03:31.231
Ilyenkor az Euler-vonal[br]kezdő- és végpontja megegyezik,

0:03:31.231,0:03:34.758
ezt Euler-körnek is nevezik.

0:03:34.758,0:03:38.460
Tehát hogyan tudnánk létrehozni [br]egy Euler-vonalat Königsbergben?

0:03:38.460,0:03:39.302
Egyszerűen.

0:03:39.302,0:03:41.402
Hagyjunk el egy hidat.

0:03:41.402,0:03:46.080
A történelem megcsinálta [br]a maga Euler-vonalát.

0:03:46.080,0:03:50.198
A 2. világháború alatt a szovjet légierő [br]a város két hídját megsemmisítette,

0:03:50.198,0:03:53.531
ezzel az Euler-vonalat könnyen [br]megrajzolhatóvá tette.

0:03:53.531,0:03:57.291
Az igazsághoz tartozik,[br]hogy valószínűleg nem ez volt a céljuk.

0:03:57.291,0:04:00.781
Ezek a bombák jócskán letörölték [br]Königsberget a térképről.

0:04:00.781,0:04:04.910
hogy azután orosz városként [br]épüljön újjá, Kalinyingrád néven.

0:04:04.910,0:04:09.083
Így, bár Königsberget és hét hídját[br]már nem lehet körbejárni,

0:04:09.083,0:04:13.361
mindenkorra emlékezetes marad[br]e látszólag egyszerű rejtvény révén,

0:04:13.361,0:04:17.662
amely a matematika egy új ágának[br]felbukkanásához vezetett.