WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:14.106
Θα δυσκολευτείτε να βρείτε
το Κένινγκσμπεργκ στους σύγχρονους χάρτες,

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
αλλά μια ιδιαιτερότητα της γεωγραφίας του

00:00:17.415 --> 00:00:21.375
το έκανε μία από τις πιο διάσημες
πόλεις στα Μαθηματικά.

00:00:22.205 --> 00:00:25.984
Η μεσαιωνική γερμανική πόλη εκτεινόταν
και στις δύο όχθες του ποταμού Πρέγκελ.

00:00:26.214 --> 00:00:28.745
Στο κέντρο του βρίσκονταν
δύο μεγάλα νησιά.

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
Τα δύο νησιά συνδέονταν μεταξύ τους
και με τις όχθες του ποταμού

00:00:33.124 --> 00:00:34.864
με επτά γέφυρες.

00:00:35.884 --> 00:00:38.396
Ο Καρλ Γκότλιμπ Έλερ, ένας μαθηματικός,

00:00:38.396 --> 00:00:41.296
που αργότερα έγινε ο δήμαρχος
μιας γειτονικής πόλης,

00:00:41.296 --> 00:00:43.935
απέκτησε εμμονή με αυτά
τα νησιά και τις γέφυρες.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
Συνεχώς κατέληγε σε ένα απλό ερώτημα·

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
ποια διαδρομή θα επέτρεπε σε κάποιον
να διασχίσει και τις επτά γέφυρες

00:00:51.095 --> 00:00:54.396
χωρίς να περάσει από καμία
περισσότερες από μία φορές;

00:00:55.136 --> 00:00:56.466
Σκεφτείτε το για λίγο.

00:01:03.996 --> 00:01:05.046
Να το πάρει το ποτάμι;

00:01:05.076 --> 00:01:06.088
Καλύτερα να το πάρει.

00:01:06.198 --> 00:01:07.123
Είναι αδύνατο.

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
Προσπαθώντας να εξηγήσει γιατί, ο διάσημος
μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ οδηγήθηκε

00:01:12.636 --> 00:01:15.407
στην εφεύρεση ενός νέου
κλάδου των Μαθηματικών.

00:01:15.997 --> 00:01:18.708
Ο Καρλ έγραψε στον Όιλερ
ζητώντας βοήθεια για το πρόβλημα.

00:01:18.708 --> 00:01:23.037
Ο Όιλερ αρχικά απέρριψε την ερώτηση
ως άσχετης με τα Μαθηματικά.

00:01:23.367 --> 00:01:25.136
Αλλά όσο την πάλευε,

00:01:25.136 --> 00:01:28.597
τόσο φαινόταν ότι τελικά
ίσως υπήρχε κάτι.

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
Η απάντηση που βρήκε είχε να κάνει
με ένα είδος γεωμετρίας,

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
που δεν υπήρχε ακόμα· κάτι
που ονόμασε Γεωμετρία της Θέσης,

00:01:38.258 --> 00:01:40.837
που τώρα είναι γνωστή ως Θεωρία Γράφων.

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
Η πρώτη ενόραση του Όιλερ

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
ήταν ότι η διαδρομή ανάμεσα στην είσοδο
και την έξοδο σε ένα νησί ή όχθη

00:01:48.507 --> 00:01:50.168
δεν είχε σημασία.

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
Έτσι, ο χάρτης μπορούσε να απλοποιηθεί με
καθεμία από τις τέσσερις χερσαίες εκτάσεις

00:01:54.427 --> 00:01:56.627
να αναπαρίστανται από ένα σημείο,

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
αυτό που σήμερα ονομάζουμε κόμβο,

00:01:59.297 --> 00:02:03.348
και γραμμές, ή ακμές, ανάμεσά τους
να αναπαριστούν τις γέφυρες.

00:02:04.198 --> 00:02:06.249
Αυτό το απλοποιημένο γράφημα μάς επιτρέπει

00:02:06.249 --> 00:02:09.619
να μετρήσουμε εύκολα
τον βαθμό κάθε κόμβου,

00:02:09.619 --> 00:02:12.699
δηλαδή τον αριθμό των γεφυρών
που αγγίζει κάθε χερσαία έκταση.

00:02:13.219 --> 00:02:14.668
Γιατί έχουν σημασία οι βαθμοί;

00:02:14.668 --> 00:02:16.828
Σύμφωνα με τους κανόνες του προβλήματος,

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
από τη στιγμή που ο ταξιδιώτης έφτασε
σε μια χερσαία έκταση από μια γέφυρα,

00:02:20.678 --> 00:02:23.500
θα πρέπει να φύγει
από μια διαφορετική γέφυρα.

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
Με άλλα λόγια, οι γέφυρες, που οδηγούν
προς και από κάθε κόμβο σε κάθε διαδρομή,

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
πρέπει να σχηματίζουν διακριτά ζευγάρια,

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
που σημαίνει ότι το πλήθος των γεφυρών
που ακουμπούν σε κάθε χερσαία έκταση

00:02:34.239 --> 00:02:35.658
πρέπει να είναι άρτιο.

00:02:36.368 --> 00:02:40.029
Οι μόνες δυνατές εξαιρέσεις θα μπορούσαν
να είναι οι τοποθεσίες της εκκίνησης

00:02:40.029 --> 00:02:41.797
και τερματισμού της διαδρομής.

00:02:42.267 --> 00:02:46.968
Αν δούμε το γράφημα, είναι φανερό ότι και
οι τέσσερις κόμβοι έχουν περιττό βαθμό.

00:02:47.218 --> 00:02:49.507
Έτσι, ανεξάρτητα από
το ποια διαδρομή επιλεγόταν,

00:02:49.507 --> 00:02:52.810
κάποια στιγμή, μια γέφυρα
θα έπρεπε να διασχιστεί δύο φορές.

00:02:54.170 --> 00:02:57.789
Ο Όιλερ χρησιμοποίησε αυτήν την απόδειξη
για να διατυπώσει μια γενική θεωρία,

00:02:57.789 --> 00:03:01.371
που εφαρμόζεται σε όλα τα γραφήματα
με δύο ή περισσότερους κόμβους.

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
Ένα μονοπάτι Όιλερ, που περνά
από κάθε ακμή ακριβώς μία φορά

00:03:05.790 --> 00:03:08.769
είναι δυνατό σε μία
από τις δύο περιπτώσεις.

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
Η πρώτη είναι όταν υπάρχουν ακριβώς
δύο κόμβοι με περιττό βαθμό,

00:03:13.769 --> 00:03:15.940
δηλαδή όλοι οι υπόλοιποι είναι άρτιοι.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
Εκεί, το σημείο εκκίνησης είναι
ένας από τους περιττούς κόμβους

00:03:19.659 --> 00:03:21.490
και το τερματικό σημείο είναι το άλλο.

00:03:21.770 --> 00:03:25.771
Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν
όλοι οι κόμβοι έχουν άρτιο βαθμό.

00:03:26.091 --> 00:03:31.221
Τότε το μονοπάτι Όιλερ ξεκινά
και σταματά στην ίδια τοποθεσία,

00:03:31.231 --> 00:03:33.728
που το κάνει κάτι
που ονομάζεται κύκλωμα Όιλερ.

00:03:34.758 --> 00:03:38.110
Πώς, λοιπόν, θα δημιουργούσατε
ένα μονοπάτι Όιλερ στο Κένινγκσμπεργκ;

00:03:38.460 --> 00:03:39.302
Είναι απλό.

00:03:39.302 --> 00:03:41.292
Απλά αφαιρέστε μια από τις γέφυρες.

00:03:41.402 --> 00:03:45.440
Τελικά, η Ιστορία δημιούργησε
ένα μονοπάτι Όιλερ από μόνη της.

00:03:46.080 --> 00:03:48.078
Κατά τη διάρκεια
του Β' Παγκοσμίου Πολέμου,

00:03:48.078 --> 00:03:51.038
η Σοβιετική Αεροπορία κατέστρεψε
δύο από τις γέφυρες της πόλης,

00:03:51.038 --> 00:03:53.151
καθιστώντας το μονοπάτι Όιλερ δυνατό.

00:03:53.531 --> 00:03:56.761
Αν και, για να είμαστε δίκαιοι,
μάλλον δεν ήταν αυτή η πρόθεσή της.

00:03:57.291 --> 00:04:00.781
Αυτοί οι βομβαρδισμοί λίγο-πολύ
έσβησαν το Κένινγκσμπεργκ από τον χάρτη

00:04:00.781 --> 00:04:04.720
και ξαναχτίστηκε αργότερα
ως η ρωσική πόλη Καλίνινγκραντ.

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
Έτσι, ενώ το Κένινγκσμπεργκ και
οι επτά γέφυρές του δεν υπάρχουν πια,

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
θα μείνουν για πάντα στην Ιστορία
χάρη στον φαινομενικά τετριμμένο γρίφο

00:04:13.361 --> 00:04:17.662
που οδήγησε στην εμφάνιση
ενός νέου κλάδου των Μαθηματικών.