1
00:00:09,036 --> 00:00:14,106
Θα δυσκολευτείτε να βρείτε
το Κένινγκσμπεργκ στους σύγχρονους χάρτες,

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,415
αλλά μια ιδιαιτερότητα της γεωγραφίας του

3
00:00:17,415 --> 00:00:21,375
το έκανε μία από τις πιο διάσημες
πόλεις στα Μαθηματικά.

4
00:00:22,205 --> 00:00:25,984
Η μεσαιωνική γερμανική πόλη εκτεινόταν
και στις δύο όχθες του ποταμού Πρέγκελ.

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,745
Στο κέντρο του βρίσκονταν
δύο μεγάλα νησιά.

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
Τα δύο νησιά συνδέονταν μεταξύ τους
και με τις όχθες του ποταμού

7
00:00:33,124 --> 00:00:34,864
με επτά γέφυρες.

8
00:00:35,884 --> 00:00:38,396
Ο Καρλ Γκότλιμπ Έλερ, ένας μαθηματικός,

9
00:00:38,396 --> 00:00:41,296
που αργότερα έγινε ο δήμαρχος
μιας γειτονικής πόλης,

10
00:00:41,296 --> 00:00:43,935
απέκτησε εμμονή με αυτά
τα νησιά και τις γέφυρες.

11
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
Συνεχώς κατέληγε σε ένα απλό ερώτημα·

12
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
ποια διαδρομή θα επέτρεπε σε κάποιον
να διασχίσει και τις επτά γέφυρες

13
00:00:51,095 --> 00:00:54,396
χωρίς να περάσει από καμία
περισσότερες από μία φορές;

14
00:00:55,136 --> 00:00:56,466
Σκεφτείτε το για λίγο.

15
00:01:03,996 --> 00:01:05,046
Να το πάρει το ποτάμι;

16
00:01:05,076 --> 00:01:06,088
Καλύτερα να το πάρει.

17
00:01:06,198 --> 00:01:07,123
Είναι αδύνατο.

18
00:01:07,513 --> 00:01:12,636
Προσπαθώντας να εξηγήσει γιατί, ο διάσημος
μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ οδηγήθηκε

19
00:01:12,636 --> 00:01:15,407
στην εφεύρεση ενός νέου
κλάδου των Μαθηματικών.

20
00:01:15,997 --> 00:01:18,708
Ο Καρλ έγραψε στον Όιλερ
ζητώντας βοήθεια για το πρόβλημα.

21
00:01:18,708 --> 00:01:23,037
Ο Όιλερ αρχικά απέρριψε την ερώτηση
ως άσχετης με τα Μαθηματικά.

22
00:01:23,367 --> 00:01:25,136
Αλλά όσο την πάλευε,

23
00:01:25,136 --> 00:01:28,597
τόσο φαινόταν ότι τελικά
ίσως υπήρχε κάτι.

24
00:01:28,977 --> 00:01:32,906
Η απάντηση που βρήκε είχε να κάνει
με ένα είδος γεωμετρίας,

25
00:01:32,906 --> 00:01:38,258
που δεν υπήρχε ακόμα· κάτι
που ονόμασε Γεωμετρία της Θέσης,

26
00:01:38,258 --> 00:01:40,837
που τώρα είναι γνωστή ως Θεωρία Γράφων.

27
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
Η πρώτη ενόραση του Όιλερ

28
00:01:43,443 --> 00:01:48,507
ήταν ότι η διαδρομή ανάμεσα στην είσοδο
και την έξοδο σε ένα νησί ή όχθη

29
00:01:48,507 --> 00:01:50,168
δεν είχε σημασία.

30
00:01:50,578 --> 00:01:54,427
Έτσι, ο χάρτης μπορούσε να απλοποιηθεί με
καθεμία από τις τέσσερις χερσαίες εκτάσεις

31
00:01:54,427 --> 00:01:56,627
να αναπαρίστανται από ένα σημείο,

32
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
αυτό που σήμερα ονομάζουμε κόμβο,

33
00:01:59,297 --> 00:02:03,348
και γραμμές, ή ακμές, ανάμεσά τους
να αναπαριστούν τις γέφυρες.

34
00:02:04,198 --> 00:02:06,249
Αυτό το απλοποιημένο γράφημα μάς επιτρέπει

35
00:02:06,249 --> 00:02:09,619
να μετρήσουμε εύκολα
τον βαθμό κάθε κόμβου,

36
00:02:09,619 --> 00:02:12,699
δηλαδή τον αριθμό των γεφυρών
που αγγίζει κάθε χερσαία έκταση.

37
00:02:13,219 --> 00:02:14,668
Γιατί έχουν σημασία οι βαθμοί;

38
00:02:14,668 --> 00:02:16,828
Σύμφωνα με τους κανόνες του προβλήματος,

39
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
από τη στιγμή που ο ταξιδιώτης έφτασε
σε μια χερσαία έκταση από μια γέφυρα,

40
00:02:20,678 --> 00:02:23,500
θα πρέπει να φύγει
από μια διαφορετική γέφυρα.

41
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
Με άλλα λόγια, οι γέφυρες, που οδηγούν
προς και από κάθε κόμβο σε κάθε διαδρομή,

42
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
πρέπει να σχηματίζουν διακριτά ζευγάρια,

43
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
που σημαίνει ότι το πλήθος των γεφυρών
που ακουμπούν σε κάθε χερσαία έκταση

44
00:02:34,239 --> 00:02:35,658
πρέπει να είναι άρτιο.

45
00:02:36,368 --> 00:02:40,029
Οι μόνες δυνατές εξαιρέσεις θα μπορούσαν
να είναι οι τοποθεσίες της εκκίνησης

46
00:02:40,029 --> 00:02:41,797
και τερματισμού της διαδρομής.

47
00:02:42,267 --> 00:02:46,968
Αν δούμε το γράφημα, είναι φανερό ότι και
οι τέσσερις κόμβοι έχουν περιττό βαθμό.

48
00:02:47,218 --> 00:02:49,507
Έτσι, ανεξάρτητα από
το ποια διαδρομή επιλεγόταν,

49
00:02:49,507 --> 00:02:52,810
κάποια στιγμή, μια γέφυρα
θα έπρεπε να διασχιστεί δύο φορές.

50
00:02:54,170 --> 00:02:57,789
Ο Όιλερ χρησιμοποίησε αυτήν την απόδειξη
για να διατυπώσει μια γενική θεωρία,

51
00:02:57,789 --> 00:03:01,371
που εφαρμόζεται σε όλα τα γραφήματα
με δύο ή περισσότερους κόμβους.

52
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
Ένα μονοπάτι Όιλερ, που περνά
από κάθε ακμή ακριβώς μία φορά

53
00:03:05,790 --> 00:03:08,769
είναι δυνατό σε μία
από τις δύο περιπτώσεις.

54
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
Η πρώτη είναι όταν υπάρχουν ακριβώς
δύο κόμβοι με περιττό βαθμό,

55
00:03:13,769 --> 00:03:15,940
δηλαδή όλοι οι υπόλοιποι είναι άρτιοι.

56
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
Εκεί, το σημείο εκκίνησης είναι
ένας από τους περιττούς κόμβους

57
00:03:19,659 --> 00:03:21,490
και το τερματικό σημείο είναι το άλλο.

58
00:03:21,770 --> 00:03:25,771
Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν
όλοι οι κόμβοι έχουν άρτιο βαθμό.

59
00:03:26,091 --> 00:03:31,221
Τότε το μονοπάτι Όιλερ ξεκινά
και σταματά στην ίδια τοποθεσία,

60
00:03:31,231 --> 00:03:33,728
που το κάνει κάτι
που ονομάζεται κύκλωμα Όιλερ.

61
00:03:34,758 --> 00:03:38,110
Πώς, λοιπόν, θα δημιουργούσατε
ένα μονοπάτι Όιλερ στο Κένινγκσμπεργκ;

62
00:03:38,460 --> 00:03:39,302
Είναι απλό.

63
00:03:39,302 --> 00:03:41,292
Απλά αφαιρέστε μια από τις γέφυρες.

64
00:03:41,402 --> 00:03:45,440
Τελικά, η Ιστορία δημιούργησε
ένα μονοπάτι Όιλερ από μόνη της.

65
00:03:46,080 --> 00:03:48,078
Κατά τη διάρκεια
του Β' Παγκοσμίου Πολέμου,

66
00:03:48,078 --> 00:03:51,038
η Σοβιετική Αεροπορία κατέστρεψε
δύο από τις γέφυρες της πόλης,

67
00:03:51,038 --> 00:03:53,151
καθιστώντας το μονοπάτι Όιλερ δυνατό.

68
00:03:53,531 --> 00:03:56,761
Αν και, για να είμαστε δίκαιοι,
μάλλον δεν ήταν αυτή η πρόθεσή της.

69
00:03:57,291 --> 00:04:00,781
Αυτοί οι βομβαρδισμοί λίγο-πολύ
έσβησαν το Κένινγκσμπεργκ από τον χάρτη

70
00:04:00,781 --> 00:04:04,720
και ξαναχτίστηκε αργότερα
ως η ρωσική πόλη Καλίνινγκραντ.

71
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
Έτσι, ενώ το Κένινγκσμπεργκ και
οι επτά γέφυρές του δεν υπάρχουν πια,

72
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
θα μείνουν για πάντα στην Ιστορία
χάρη στον φαινομενικά τετριμμένο γρίφο

73
00:04:13,361 --> 00:04:17,662
που οδήγησε στην εμφάνιση
ενός νέου κλάδου των Μαθηματικών.