WEBVTT

00:00:17.498 --> 00:00:19.767
Los números son extraños.

00:00:20.670 --> 00:00:22.925
No son objetos físicos.

00:00:22.925 --> 00:00:27.085
Nadie se ha topado con el número dos
o ha tropezado el número tres;

00:00:28.405 --> 00:00:31.145
ni siquiera el loco profesor
de matemáticas de Uds.

00:00:32.451 --> 00:00:35.434
No son objetos mentales tampoco.

00:00:35.854 --> 00:00:39.090
La idea de un ser amado no es el ser amado

00:00:39.090 --> 00:00:41.812
no importa cuánto puedan querer que lo sea

00:00:41.812 --> 00:00:46.375
y tampoco la idea del número tres,
es el número tres.

00:00:47.088 --> 00:00:50.718
Los números tampoco existen
en el tiempo o el espacio.

00:00:50.718 --> 00:00:55.027
No esperen encontrar al número tres
en los gabinetes de la cocina

00:00:55.027 --> 00:00:57.340
y no necesitan preocuparse

00:00:57.340 --> 00:01:02.527
de si los números alguna vez no existieron
o de que un día dejen de existir.

00:01:03.260 --> 00:01:05.351
Pero a pesar de que los números

00:01:05.351 --> 00:01:09.804
están muy lejos del mundo habitual
de los pensamientos y las cosas,

00:01:10.892 --> 00:01:17.566
están íntimamente conectados con ese mundo
porque hacemos cosas con ellos.

00:01:18.296 --> 00:01:22.423
Contamos con ellos, medimos con ellos,

00:01:22.423 --> 00:01:26.120
formulamos nuestras
teorías científicas con ellos.

00:01:27.105 --> 00:01:31.213
Esto es lo que los hace
todo lo extraño que son.

00:01:31.213 --> 00:01:35.897
¿Cómo es que están tan alejados
del mundo habitual

00:01:35.897 --> 00:01:39.385
y aún así intimamente conectados con él?

00:01:40.398 --> 00:01:45.952
En esta charla busco abordar tres enfoques
acerca de la naturaleza de los números

00:01:45.952 --> 00:01:49.881
que fueron desarrollados
por matemáticos y filósofos

00:01:49.881 --> 00:01:55.900
hacia finales del siglo XIX
y principios del siglo XX.

00:01:56.679 --> 00:02:00.492
Estos enfoques presuponen
que, estrictamente hablando,

00:02:00.492 --> 00:02:05.490
lo que contamos no son cosas
sino grupos de cosas.

00:02:05.490 --> 00:02:11.167
Un grupo no es más que varias cosas,
las que quieran, consideradas como una.

00:02:11.527 --> 00:02:18.909
Así por ejemplo, tenemos el grupo de
botellas de cerveza que bebieron anoche.

00:02:19.483 --> 00:02:22.218
Ponemos las botellas entre
esas llaves para indicar

00:02:22.218 --> 00:02:25.672
que las seis botellas están siendo
consideradas como un objeto.

00:02:25.672 --> 00:02:31.652
Luego tenemos el grupo que consiste en
sus dos mascotas favoritas, Fido y Félix.

00:02:33.402 --> 00:02:38.203
O tenemos el grupo formado
por los números naturales,

00:02:38.203 --> 00:02:40.425
puestos así juntos 
en este grupo muy grande:

00:02:40.425 --> 00:02:42.715
{0, 1, 2, 3, 4...} y así.

00:02:44.234 --> 00:02:49.002
Y lo que hacemos cuando contamos
es asociar un número con un grupo.

00:02:49.002 --> 00:02:52.256
En el caso de las botellas, 
con el número seis,

00:02:52.256 --> 00:02:55.775
suponiendo que no estén demasiado
borrachos para contarlas.

00:02:56.845 --> 00:02:59.561
En el caso de sus mascotas, el número dos.

00:03:00.041 --> 00:03:04.667
Y en el caso de de los números naturales,
cuando los pongamos en un gran grupo

00:03:04.667 --> 00:03:06.811
va a ser un número infinito.

00:03:07.871 --> 00:03:12.098
El primer enfoque que quiero considerar
sobre la naturaleza de los números

00:03:12.098 --> 00:03:16.682
fue desarrollada independientemente
por dos grandes matemáticos y filósofos:

00:03:16.682 --> 00:03:19.662
Gottlob Frege y Bertrand Russel.

00:03:19.662 --> 00:03:22.950
Estos dos individuos fueron
muy diferentes uno del otro.

00:03:23.720 --> 00:03:27.082
Russel venía de la aristocracia inglesa,

00:03:27.082 --> 00:03:30.115
Frege de la cómoda clase media alemana.

00:03:30.889 --> 00:03:34.213
Russel fue un entusiasta liberal

00:03:35.233 --> 00:03:38.360
Frege, perdón por decirlo,
fue un protonazi.

00:03:39.334 --> 00:03:45.479
Russel tuvo cuatro esposas
e innumerables amantes;

00:03:45.479 --> 00:03:47.300
Frege tuvo una sola esposa,

00:03:47.300 --> 00:03:52.532
y hasta donde yo se, disfrutó
de una feliz y estable vida marital.

00:03:53.160 --> 00:03:55.486
Pero a pesar de estas diferencias,

00:03:55.486 --> 00:03:59.129
tuvieron más o menos la misma visión
acerca de la naturaleza de los números

00:03:59.391 --> 00:04:00.709
¿Y cuál era?

00:04:00.709 --> 00:04:04.094
Bien, tomemos el número dos, por ejemplo.

00:04:04.094 --> 00:04:09.122
El dos puede usarse para numerar
cualquier grupo de dos miembros o par.

00:04:09.124 --> 00:04:15.554
así que puede usarse para numerar el grupo
cuyos miembros son Frege y Russell.

00:04:15.554 --> 00:04:18.038
O puede usarse para numerar el grupo

00:04:18.038 --> 00:04:22.225
consistente en sus mascotas
favoritas, Fido y Félix.

00:04:23.176 --> 00:04:25.502
O puede usarse para numerar

00:04:25.502 --> 00:04:29.250
las dos famosas ciudades
de Dickens: Londres y París.

00:04:29.250 --> 00:04:32.348
Insistí en que Londres
fuera colocada primero.

00:04:32.348 --> 00:04:33.644
(Risas)

00:04:35.294 --> 00:04:42.232
La idea de Russel y Frege fue poner
todos estos pares en un único gran grupo.

00:04:42.933 --> 00:04:47.220
Los apilamos todos en un gran grupo
y eso sería el número dos.

00:04:47.220 --> 00:04:50.228
Así el número dos sería un grupo de grupos

00:04:50.228 --> 00:04:55.365
y esos grupos serían todos los pares
que podrían contarse con el número dos.

00:04:55.365 --> 00:04:57.654
De forma similar para todos
los demás números.

00:04:57.654 --> 00:05:00.096
El número tres sería
el grupo de todos los tríos,

00:05:00.096 --> 00:05:04.424
El número cuatro el grupo
de todos los cuartetos, y así.

00:05:04.424 --> 00:05:07.172
Una teoría simple y bella.

00:05:08.026 --> 00:05:11.744
Desafortunadamente,
conduce a una contradicción.

00:05:12.586 --> 00:05:15.526
No puedo hacer aquí
una demostración de la contradicción,

00:05:15.526 --> 00:05:18.743
pero puedo darles
una impresión de cómo surge.

00:05:19.788 --> 00:05:24.828
Recuerden que el número dos era
el grupo de TODOS los pares

00:05:24.828 --> 00:05:27.058
TODOS los pares de lo que sea.

00:05:27.058 --> 00:05:33.138
Así que, en particular, incluiría pares
que contienen al número dos.

00:05:33.914 --> 00:05:35.943
Veamos uno de esos pares en particular,

00:05:35.943 --> 00:05:40.616
el par consistente en el número dos
y el número uno. Luego ese par,

00:05:41.667 --> 00:05:45.853
el par {1,2}, estaría él mismo
dentro del número dos.

00:05:45.853 --> 00:05:49.382
Así que el número dos
se contendría a sí mismo,

00:05:50.032 --> 00:05:52.538
lo cual aparenta ser imposible.

00:05:53.308 --> 00:05:55.289
He aquí una analogía:

00:05:55.289 --> 00:06:00.292
imaginen una serpiente muy hambrienta
que trate de comerse su propia cola.

00:06:00.292 --> 00:06:03.288
Podría tener éxito en hacer esto.

00:06:03.288 --> 00:06:06.737
--esto es lo mejor que podemos 
hacer a modo de ilustración--

00:06:06.737 --> 00:06:09.315
Es grotesco, pero posible.

00:06:09.315 --> 00:06:10.769
(Risas)

00:06:10.769 --> 00:06:14.202
Pero imaginen ahora que
la serpiente es tan voraz

00:06:14.202 --> 00:06:18.025
que intenta comerse a sí 
misma por completo.

00:06:18.735 --> 00:06:20.675
Esto ni siquiera es posible

00:06:20.675 --> 00:06:26.014
pues entonces el estómago de la serpiente
debería estar dentro de su estómago.

00:06:26.014 --> 00:06:29.038
Y eso es lo que pasa con el número dos.

00:06:29.038 --> 00:06:35.142
El número dos, como ven, está él mismo
dentro de su propio estómago.

00:06:36.292 --> 00:06:38.141
¿Qué se podía hacer?

00:06:39.101 --> 00:06:44.014
El matemático John von Neumann
dio con una brillante solución,

00:06:44.594 --> 00:06:48.470
von Neumann fue quizas uno
de los matemáticos más versátiles

00:06:48.470 --> 00:06:50.156
que jamás haya existido.

00:06:50.156 --> 00:06:54.315
Ayudó a inventar la teoría del juego
y la computadora moderna.

00:06:55.234 --> 00:06:58.459
Era un prodigio

00:06:58.459 --> 00:07:01.464
y tuvo las más asombrosas
dotes computacionales.

00:07:02.474 --> 00:07:04.581
¿Cuál fue su solución?

00:07:04.581 --> 00:07:05.661
Aquí está él.

00:07:05.661 --> 00:07:10.046
Él dijo: "Bien veamos,
en lugar de tomar al número dos

00:07:10.046 --> 00:07:13.051
como el grupo de todos los pares,

00:07:13.051 --> 00:07:16.478
hay que tomarlo
como un par en particular".

00:07:16.478 --> 00:07:18.553
Bien, ¿qué par sería?

00:07:18.553 --> 00:07:24.043
Él sugirió que el número dos
debía ser el grupo de sus predecesores

00:07:24.043 --> 00:07:28.827
Dos tiene dos predecesores, cero y uno.

00:07:28.827 --> 00:07:34.831
Tomamos a dos como el grupo
cuyos mienbros son cero y uno.

00:07:34.831 --> 00:07:37.984
Pero todavía tenemos números,
tenemos el cero y el uno.

00:07:37.984 --> 00:07:42.752
El cero es el grupo de sus predecesores.

00:07:42.752 --> 00:07:45.866
Cero no tiene predecesores 
por lo que es llamado 'el grupo nulo'

00:07:45.866 --> 00:07:48.103
el grupo con ningún miembro.

00:07:48.103 --> 00:07:52.778
Y uno tiene un predecesor,
el cual es cero.

00:07:52.778 --> 00:07:57.268
Así que el uno es el grupo
cuyo único miembro es cero.

00:07:57.275 --> 00:08:01.731
Aquí tenemos definido el dos,
definido el uno y definido el cero.

00:08:01.731 --> 00:08:05.679
Si juntamos esas definiciones,
tenemos el grupo.

00:08:05.679 --> 00:08:10.110
El número dos es el grupo cuyos
dos miembros son el grupo nulo,

00:08:10.110 --> 00:08:11.846
el cual es el número cero

00:08:11.846 --> 00:08:16.423
y el grupo cuyo único miembro es
el grupo nulo, el cual es el número uno.

00:08:17.359 --> 00:08:21.966
Esto es lo que de acuerdo a
von Neumann es el número dos;

00:08:21.966 --> 00:08:24.297
son todos los grupos por debajo

00:08:25.107 --> 00:08:27.205
--grupos, no tortugas--

00:08:27.205 --> 00:08:29.983
Y realmente se toca fondo también.

00:08:31.183 --> 00:08:33.890
De manera similar para todos
los demás números,

00:08:33.890 --> 00:08:37.159
el número tres sería algo
aún más complicado, y así.

00:08:38.209 --> 00:08:42.954
Recuerden, el enfoque de Frege-Russell
daba a luz monstruos.

00:08:42.954 --> 00:08:46.000
Aquí no tenemos más monstruos;

00:08:46.000 --> 00:08:47.939
el monstruo se volvió ángel.

00:08:47.939 --> 00:08:50.980
Porque aunque el número dos
contiene otros números,

00:08:50.980 --> 00:08:53.117
no se contiene a sí mismo.

00:08:53.995 --> 00:08:57.901
El monstruo siempre está comiendo
a un monstruo más pequeño, digamos.

00:08:58.906 --> 00:09:00.781
No se pone en su propio camino.

00:09:00.781 --> 00:09:05.743
Este enfoque hoy es generalmente aceptado
por filósofos y matemáticos,

00:09:05.743 --> 00:09:08.369
pero también tiene sus dificultades.

00:09:08.809 --> 00:09:11.039
Una dificultad en especial que me molesta

00:09:11.039 --> 00:09:14.340
es que no hay nada especial
respecto del número dos.

00:09:14.340 --> 00:09:19.338
Buscamos que el número dos sea
lo que es común a todos los pares,

00:09:20.022 --> 00:09:25.253
pero el número dos de von Neumann
es sólo un par entre muchos,

00:09:25.253 --> 00:09:26.865
y no hay nada especial en el modo

00:09:26.865 --> 00:09:30.691
en el cual ese par es común
a todos los pares.

00:09:31.804 --> 00:09:34.387
Esto no hace especial al
número dos en modo alguno;

00:09:34.387 --> 00:09:37.200
Es sólo un par entre muchos.

00:09:37.200 --> 00:09:42.508
Vamos ahora al enfoque final
y el que a mí me gusta más.

00:09:44.752 --> 00:09:49.742
Es un enfoque que generalmente
es desestimado o ignorado

00:09:49.742 --> 00:09:52.634
por los filósofos y matemáticos de hoy.

00:09:52.634 --> 00:09:58.435
Fue desarrollado por Georg Cantor
a finales del siglo XIX.

00:09:59.406 --> 00:10:04.815
Cantor fue un individuo
de muchos talentos,

00:10:04.815 --> 00:10:08.194
un brillante violinista,

00:10:11.104 --> 00:10:16.260
con muy amplios intereses,
abarcando desde religión hasta literatura.

00:10:17.444 --> 00:10:20.911
Pero es mejor conocido por
su teoría de números infinitos

00:10:21.631 --> 00:10:25.290
Cantor buscaba contar 
no sólo colecciones finitas

00:10:25.290 --> 00:10:28.810
--sé que hay muchas personas aquí,
pero sigue siendo un número finito---

00:10:28.810 --> 00:10:32.220
pero no sólo las colecciones finitas,
como el número de personas aquí,

00:10:32.220 --> 00:10:36.180
o el número de estrellas en la Vía Láctea,

00:10:36.180 --> 00:10:39.403
él buscaba también contar
colecciones infinitas,

00:10:39.403 --> 00:10:42.456
como la colección de todos 
los números naturales

00:10:42.456 --> 00:10:45.456
o la de todos los puntos del espacio.

00:10:45.456 --> 00:10:50.288
Para ese fin, intentó desarrollar
una teoría general de los números.

00:10:51.342 --> 00:10:53.467
¿Cuál fue su enfoque?

00:10:53.467 --> 00:10:55.816
Nuevamente, tomemos el número dos.

00:10:55.816 --> 00:10:59.699
Tomemos dos objetos, Fido y Félix.

00:11:00.109 --> 00:11:01.443
Ahora Cantor dijo:

00:11:01.443 --> 00:11:08.205
"Miren, despojemos a esos dos objetos
de todas sus características individuales

00:11:08.205 --> 00:11:11.699
más allá del hecho de 
distinguirlos uno del otro".

00:11:11.699 --> 00:11:14.443
Así que eliminamos sus pieles,

00:11:14.443 --> 00:11:18.607
eliminamos la carne y la sangre

00:11:18.607 --> 00:11:22.062
hasta dejar simplemente
dos objetos desnudos

00:11:22.062 --> 00:11:25.439
que él llamó unidades
sin diferenciación alguna.

00:11:25.439 --> 00:11:28.497
Espero que no haya defensores
de los animales entre ustedes.

00:11:28.497 --> 00:11:32.743
De todos modos, esto les pasa a las
mascotas cuando quedan a cargo de Cantor.

00:11:33.973 --> 00:11:36.205
Pero ¿qué son estas unidades?

00:11:36.205 --> 00:11:40.032
Bueno, tomen los dos dólares
de su cuenta bancaria

00:11:40.032 --> 00:11:43.497
--espero que les queden dos dólares
luego de pagar la entrada--

00:11:43.497 --> 00:11:47.362
esos dos dólares no son
ningunos en particular,

00:11:47.362 --> 00:11:49.602
pero cuando Uds. van
a un cajero automático

00:11:49.602 --> 00:11:52.753
pueden extraerlos como
dos dólares en particular.

00:11:52.753 --> 00:11:54.819
No son esos dólares en particular,

00:11:54.819 --> 00:11:58.133
pero pueden ser extraidos como
cualesquiera dos dólares en particular.

00:11:58.133 --> 00:11:59.790
Estas son las unidades de Cantor.

00:11:59.790 --> 00:12:03.812
Pero cuando Uds. van al cajero
cantoriano a extraer sus unidades

00:12:03.812 --> 00:12:06.593
obtienen dos objetos cualesquiera.

00:12:06.593 --> 00:12:08.871
Es lo máximo en tentar la suerte.

00:12:09.633 --> 00:12:12.145
La idea de Cantor fue esta:

00:12:12.145 --> 00:12:17.090
tomemos el número dos y que sea
el grupo de esas dos unidades.

00:12:17.090 --> 00:12:19.230
Así que tomamos esas dos unidades,

00:12:19.230 --> 00:12:22.359
las cuales pueden derivarse 
de cualquier par de objetos,

00:12:22.359 --> 00:12:26.722
y el número dos es el grupo
de esas dos unidades.

00:12:26.722 --> 00:12:29.018
Y de manera similar para
todos los otros números

00:12:29.018 --> 00:12:31.411
el número tres sería el grupo
de tres unidades,

00:12:31.411 --> 00:12:33.811
y así sucesivamente.

00:12:33.811 --> 00:12:37.002
Tenemos tres enfoques sobre la mesa.

00:12:37.002 --> 00:12:38.808
El enfoque Frege-Russell

00:12:38.808 --> 00:12:42.193
de acuerdo al cual el número dos
es el grupo de todos los pares;

00:12:42.193 --> 00:12:44.043
el enfoque de von Neumann,

00:12:44.043 --> 00:12:47.976
de acuerdo al cual el número dos es el
grupo cuyos miembros son el cero y el uno;

00:12:47.976 --> 00:12:51.781
y el enfoque cantoriano,

00:12:51.781 --> 00:12:55.587
según el cual el dos
es el grupo de dos unidades.

00:12:55.587 --> 00:13:01.524
El enfoque Frege-Russell cría monstruos,
así que no podemos tenerlo.

00:13:02.984 --> 00:13:05.927
El enfoque von Neumann
no da apropiada cuenta

00:13:05.927 --> 00:13:09.890
de por qué el número dos
es común a todos los pares.

00:13:11.005 --> 00:13:15.178
El enfoque cantoriano no sufre
ninguna de esas dificultades.

00:13:15.178 --> 00:13:18.997
No cría monstruos porque el número dos
sólo contiene unidades;

00:13:18.997 --> 00:13:21.932
el número dos no se contiene a sí mismo.

00:13:21.932 --> 00:13:25.097
Y es, de manera obvia,
común a todos los pares

00:13:25.097 --> 00:13:28.137
porque es derivado por medio
de este proceso de abstracción,

00:13:28.137 --> 00:13:30.897
o eliminación, a partir de cada par.

00:13:33.000 --> 00:13:36.872
Así, gracias a Cantor,
sabemos lo que son los números.

00:13:37.735 --> 00:13:38.804
Gracias.

00:13:38.804 --> 00:13:40.090
(Aplausos)