Los números son extraños.
No son objetos físicos.
Nadie se ha topado con el número dos o ha tropezado el número tres;
ni siquiera el loco profesor de matemáticas de Uds.
No son objetos mentales tampoco.
La idea de un ser amado no es el ser amado
no importa cuánto puedan querer que lo sea
y tampoco la idea del número tres, es el número tres.
Los números tampoco existen en el tiempo o el espacio.
No esperen encontrar al número tres en los gabinetes de la cocina
y no necesitan preocuparse
de si los números alguna vez no existieron o de que un día dejen de existir.
Pero a pesar de que los números
están muy lejos del mundo habitual de los pensamientos y las cosas,
están íntimamente conectados con ese mundo porque hacemos cosas con ellos.
Contamos con ellos, medimos con ellos,
formulamos nuestras teorías científicas con ellos.
Esto es lo que los hace todo lo extraño que son.
¿Cómo es que están tan alejados del mundo habitual
y aún así intimamente conectados con él?
En esta charla busco abordar tres enfoques acerca de la naturaleza de los números
que fueron desarrollados por matemáticos y filósofos
hacia finales del siglo XIX y principios del siglo XX.
Estos enfoques presuponen que, estrictamente hablando,
lo que contamos no son cosas sino grupos de cosas.
Un grupo no es más que varias cosas, las que quieran, consideradas como una.
Así por ejemplo, tenemos el grupo de botellas de cerveza que bebieron anoche.
Ponemos las botellas entre esas llaves para indicar
que las seis botellas están siendo consideradas como un objeto.
Luego tenemos el grupo que consiste en sus dos mascotas favoritas, Fido y Félix.
O tenemos el grupo formado por los números naturales,
puestos así juntos en este grupo muy grande:
{0, 1, 2, 3, 4...} y así.
Y lo que hacemos cuando contamos es asociar un número con un grupo.
En el caso de las botellas, con el número seis,
suponiendo que no estén demasiado borrachos para contarlas.
En el caso de sus mascotas, el número dos.
Y en el caso de de los números naturales, cuando los pongamos en un gran grupo
va a ser un número infinito.
El primer enfoque que quiero considerar sobre la naturaleza de los números
fue desarrollada independientemente por dos grandes matemáticos y filósofos:
Gottlob Frege y Bertrand Russel.
Estos dos individuos fueron muy diferentes uno del otro.
Russel venía de la aristocracia inglesa,
Frege de la cómoda clase media alemana.
Russel fue un entusiasta liberal
Frege, perdón por decirlo, fue un protonazi.
Russel tuvo cuatro esposas e innumerables amantes;
Frege tuvo una sola esposa,
y hasta donde yo se, disfrutó de una feliz y estable vida marital.
Pero a pesar de estas diferencias,
tuvieron más o menos la misma visión acerca de la naturaleza de los números
¿Y cuál era?
Bien, tomemos el número dos, por ejemplo.
El dos puede usarse para numerar cualquier grupo de dos miembros o par.
así que puede usarse para numerar el grupo cuyos miembros son Frege y Russell.
O puede usarse para numerar el grupo
consistente en sus mascotas favoritas, Fido y Félix.
O puede usarse para numerar
las dos famosas ciudades de Dickens: Londres y París.
Insistí en que Londres fuera colocada primero.
(Risas)
La idea de Russel y Frege fue poner todos estos pares en un único gran grupo.
Los apilamos todos en un gran grupo y eso sería el número dos.
Así el número dos sería un grupo de grupos
y esos grupos serían todos los pares que podrían contarse con el número dos.
De forma similar para todos los demás números.
El número tres sería el grupo de todos los tríos,
El número cuatro el grupo de todos los cuartetos, y así.
Una teoría simple y bella.
Desafortunadamente, conduce a una contradicción.
No puedo hacer aquí una demostración de la contradicción,
pero puedo darles una impresión de cómo surge.
Recuerden que el número dos era el grupo de TODOS los pares
TODOS los pares de lo que sea.
Así que, en particular, incluiría pares que contienen al número dos.
Veamos uno de esos pares en particular,
el par consistente en el número dos y el número uno. Luego ese par,
el par {1,2}, estaría él mismo dentro del número dos.
Así que el número dos se contendría a sí mismo,
lo cual aparenta ser imposible.
He aquí una analogía:
imaginen una serpiente muy hambrienta que trate de comerse su propia cola.
Podría tener éxito en hacer esto.
--esto es lo mejor que podemos hacer a modo de ilustración--
Es grotesco, pero posible.
(Risas)
Pero imaginen ahora que la serpiente es tan voraz
que intenta comerse a sí misma por completo.
Esto ni siquiera es posible
pues entonces el estómago de la serpiente debería estar dentro de su estómago.
Y eso es lo que pasa con el número dos.
El número dos, como ven, está él mismo dentro de su propio estómago.
¿Qué se podía hacer?
El matemático John von Neumann dio con una brillante solución,
von Neumann fue quizas uno de los matemáticos más versátiles
que jamás haya existido.
Ayudó a inventar la teoría del juego y la computadora moderna.
Era un prodigio
y tuvo las más asombrosas dotes computacionales.
¿Cuál fue su solución?
Aquí está él.
Él dijo: "Bien veamos, en lugar de tomar al número dos
como el grupo de todos los pares,
hay que tomarlo como un par en particular".
Bien, ¿qué par sería?
Él sugirió que el número dos debía ser el grupo de sus predecesores
Dos tiene dos predecesores, cero y uno.
Tomamos a dos como el grupo cuyos mienbros son cero y uno.
Pero todavía tenemos números, tenemos el cero y el uno.
El cero es el grupo de sus predecesores.
Cero no tiene predecesores por lo que es llamado 'el grupo nulo'
el grupo con ningún miembro.
Y uno tiene un predecesor, el cual es cero.
Así que el uno es el grupo cuyo único miembro es cero.
Aquí tenemos definido el dos, definido el uno y definido el cero.
Si juntamos esas definiciones, tenemos el grupo.
El número dos es el grupo cuyos dos miembros son el grupo nulo,
el cual es el número cero
y el grupo cuyo único miembro es el grupo nulo, el cual es el número uno.
Esto es lo que de acuerdo a von Neumann es el número dos;
son todos los grupos por debajo
--grupos, no tortugas--
Y realmente se toca fondo también.
De manera similar para todos los demás números,
el número tres sería algo aún más complicado, y así.
Recuerden, el enfoque de Frege-Russell daba a luz monstruos.
Aquí no tenemos más monstruos;
el monstruo se volvió ángel.
Porque aunque el número dos contiene otros números,
no se contiene a sí mismo.
El monstruo siempre está comiendo a un monstruo más pequeño, digamos.
No se pone en su propio camino.
Este enfoque hoy es generalmente aceptado por filósofos y matemáticos,
pero también tiene sus dificultades.
Una dificultad en especial que me molesta
es que no hay nada especial respecto del número dos.
Buscamos que el número dos sea lo que es común a todos los pares,
pero el número dos de von Neumann es sólo un par entre muchos,
y no hay nada especial en el modo
en el cual ese par es común a todos los pares.
Esto no hace especial al número dos en modo alguno;
Es sólo un par entre muchos.
Vamos ahora al enfoque final y el que a mí me gusta más.
Es un enfoque que generalmente es desestimado o ignorado
por los filósofos y matemáticos de hoy.
Fue desarrollado por Georg Cantor a finales del siglo XIX.
Cantor fue un individuo de muchos talentos,
un brillante violinista,
con muy amplios intereses, abarcando desde religión hasta literatura.
Pero es mejor conocido por su teoría de números infinitos
Cantor buscaba contar no sólo colecciones finitas
--sé que hay muchas personas aquí, pero sigue siendo un número finito---
pero no sólo las colecciones finitas, como el número de personas aquí,
o el número de estrellas en la Vía Láctea,
él buscaba también contar colecciones infinitas,
como la colección de todos los números naturales
o la de todos los puntos del espacio.
Para ese fin, intentó desarrollar una teoría general de los números.
¿Cuál fue su enfoque?
Nuevamente, tomemos el número dos.
Tomemos dos objetos, Fido y Félix.
Ahora Cantor dijo:
"Miren, despojemos a esos dos objetos de todas sus características individuales
más allá del hecho de distinguirlos uno del otro".
Así que eliminamos sus pieles,
eliminamos la carne y la sangre
hasta dejar simplemente dos objetos desnudos
que él llamó unidades sin diferenciación alguna.
Espero que no haya defensores de los animales entre ustedes.
De todos modos, esto les pasa a las mascotas cuando quedan a cargo de Cantor.
Pero ¿qué son estas unidades?
Bueno, tomen los dos dólares de su cuenta bancaria
--espero que les queden dos dólares luego de pagar la entrada--
esos dos dólares no son ningunos en particular,
pero cuando Uds. van a un cajero automático
pueden extraerlos como dos dólares en particular.
No son esos dólares en particular,
pero pueden ser extraidos como cualesquiera dos dólares en particular.
Estas son las unidades de Cantor.
Pero cuando Uds. van al cajero cantoriano a extraer sus unidades
obtienen dos objetos cualesquiera.
Es lo máximo en tentar la suerte.
La idea de Cantor fue esta:
tomemos el número dos y que sea el grupo de esas dos unidades.
Así que tomamos esas dos unidades,
las cuales pueden derivarse de cualquier par de objetos,
y el número dos es el grupo de esas dos unidades.
Y de manera similar para todos los otros números
el número tres sería el grupo de tres unidades,
y así sucesivamente.
Tenemos tres enfoques sobre la mesa.
El enfoque Frege-Russell
de acuerdo al cual el número dos es el grupo de todos los pares;
el enfoque de von Neumann,
de acuerdo al cual el número dos es el grupo cuyos miembros son el cero y el uno;
y el enfoque cantoriano,
según el cual el dos es el grupo de dos unidades.
El enfoque Frege-Russell cría monstruos, así que no podemos tenerlo.
El enfoque von Neumann no da apropiada cuenta
de por qué el número dos es común a todos los pares.
El enfoque cantoriano no sufre ninguna de esas dificultades.
No cría monstruos porque el número dos sólo contiene unidades;
el número dos no se contiene a sí mismo.
Y es, de manera obvia, común a todos los pares
porque es derivado por medio de este proceso de abstracción,
o eliminación, a partir de cada par.
Así, gracias a Cantor, sabemos lo que son los números.
Gracias.
(Aplausos)