1
00:00:17,498 --> 00:00:19,767
Los números son extraños.

2
00:00:20,670 --> 00:00:22,925
No son objetos físicos.

3
00:00:22,925 --> 00:00:27,085
Nadie se ha topado con el número dos
o ha tropezado el número tres;

4
00:00:28,405 --> 00:00:31,145
ni siquiera el loco profesor
de matemáticas de Uds.

5
00:00:32,451 --> 00:00:35,434
No son objetos mentales tampoco.

6
00:00:35,854 --> 00:00:39,090
La idea de un ser amado no es el ser amado

7
00:00:39,090 --> 00:00:41,812
no importa cuánto puedan querer que lo sea

8
00:00:41,812 --> 00:00:46,375
y tampoco la idea del número tres,
es el número tres.

9
00:00:47,088 --> 00:00:50,718
Los números tampoco existen
en el tiempo o el espacio.

10
00:00:50,718 --> 00:00:55,027
No esperen encontrar al número tres
en los gabinetes de la cocina

11
00:00:55,027 --> 00:00:57,340
y no necesitan preocuparse

12
00:00:57,340 --> 00:01:02,527
de si los números alguna vez no existieron
o de que un día dejen de existir.

13
00:01:03,260 --> 00:01:05,351
Pero a pesar de que los números

14
00:01:05,351 --> 00:01:09,804
están muy lejos del mundo habitual
de los pensamientos y las cosas,

15
00:01:10,892 --> 00:01:17,566
están íntimamente conectados con ese mundo
porque hacemos cosas con ellos.

16
00:01:18,296 --> 00:01:22,423
Contamos con ellos, medimos con ellos,

17
00:01:22,423 --> 00:01:26,120
formulamos nuestras
teorías científicas con ellos.

18
00:01:27,105 --> 00:01:31,213
Esto es lo que los hace
todo lo extraño que son.

19
00:01:31,213 --> 00:01:35,897
¿Cómo es que están tan alejados
del mundo habitual

20
00:01:35,897 --> 00:01:39,385
y aún así intimamente conectados con él?

21
00:01:40,398 --> 00:01:45,952
En esta charla busco abordar tres enfoques
acerca de la naturaleza de los números

22
00:01:45,952 --> 00:01:49,881
que fueron desarrollados
por matemáticos y filósofos

23
00:01:49,881 --> 00:01:55,900
hacia finales del siglo XIX
y principios del siglo XX.

24
00:01:56,679 --> 00:02:00,492
Estos enfoques presuponen
que, estrictamente hablando,

25
00:02:00,492 --> 00:02:05,490
lo que contamos no son cosas
sino grupos de cosas.

26
00:02:05,490 --> 00:02:11,167
Un grupo no es más que varias cosas,
las que quieran, consideradas como una.

27
00:02:11,527 --> 00:02:18,909
Así por ejemplo, tenemos el grupo de
botellas de cerveza que bebieron anoche.

28
00:02:19,483 --> 00:02:22,218
Ponemos las botellas entre
esas llaves para indicar

29
00:02:22,218 --> 00:02:25,672
que las seis botellas están siendo
consideradas como un objeto.

30
00:02:25,672 --> 00:02:31,652
Luego tenemos el grupo que consiste en
sus dos mascotas favoritas, Fido y Félix.

31
00:02:33,402 --> 00:02:38,203
O tenemos el grupo formado
por los números naturales,

32
00:02:38,203 --> 00:02:40,425
puestos así juntos 
en este grupo muy grande:

33
00:02:40,425 --> 00:02:42,715
{0, 1, 2, 3, 4...} y así.

34
00:02:44,234 --> 00:02:49,002
Y lo que hacemos cuando contamos
es asociar un número con un grupo.

35
00:02:49,002 --> 00:02:52,256
En el caso de las botellas, 
con el número seis,

36
00:02:52,256 --> 00:02:55,775
suponiendo que no estén demasiado
borrachos para contarlas.

37
00:02:56,845 --> 00:02:59,561
En el caso de sus mascotas, el número dos.

38
00:03:00,041 --> 00:03:04,667
Y en el caso de de los números naturales,
cuando los pongamos en un gran grupo

39
00:03:04,667 --> 00:03:06,811
va a ser un número infinito.

40
00:03:07,871 --> 00:03:12,098
El primer enfoque que quiero considerar
sobre la naturaleza de los números

41
00:03:12,098 --> 00:03:16,682
fue desarrollada independientemente
por dos grandes matemáticos y filósofos:

42
00:03:16,682 --> 00:03:19,662
Gottlob Frege y Bertrand Russel.

43
00:03:19,662 --> 00:03:22,950
Estos dos individuos fueron
muy diferentes uno del otro.

44
00:03:23,720 --> 00:03:27,082
Russel venía de la aristocracia inglesa,

45
00:03:27,082 --> 00:03:30,115
Frege de la cómoda clase media alemana.

46
00:03:30,889 --> 00:03:34,213
Russel fue un entusiasta liberal

47
00:03:35,233 --> 00:03:38,360
Frege, perdón por decirlo,
fue un protonazi.

48
00:03:39,334 --> 00:03:45,479
Russel tuvo cuatro esposas
e innumerables amantes;

49
00:03:45,479 --> 00:03:47,300
Frege tuvo una sola esposa,

50
00:03:47,300 --> 00:03:52,532
y hasta donde yo se, disfrutó
de una feliz y estable vida marital.

51
00:03:53,160 --> 00:03:55,486
Pero a pesar de estas diferencias,

52
00:03:55,486 --> 00:03:59,129
tuvieron más o menos la misma visión
acerca de la naturaleza de los números

53
00:03:59,391 --> 00:04:00,709
¿Y cuál era?

54
00:04:00,709 --> 00:04:04,094
Bien, tomemos el número dos, por ejemplo.

55
00:04:04,094 --> 00:04:09,122
El dos puede usarse para numerar
cualquier grupo de dos miembros o par.

56
00:04:09,124 --> 00:04:15,554
así que puede usarse para numerar el grupo
cuyos miembros son Frege y Russell.

57
00:04:15,554 --> 00:04:18,038
O puede usarse para numerar el grupo

58
00:04:18,038 --> 00:04:22,225
consistente en sus mascotas
favoritas, Fido y Félix.

59
00:04:23,176 --> 00:04:25,502
O puede usarse para numerar

60
00:04:25,502 --> 00:04:29,250
las dos famosas ciudades
de Dickens: Londres y París.

61
00:04:29,250 --> 00:04:32,348
Insistí en que Londres
fuera colocada primero.

62
00:04:32,348 --> 00:04:33,644
(Risas)

63
00:04:35,294 --> 00:04:42,232
La idea de Russel y Frege fue poner
todos estos pares en un único gran grupo.

64
00:04:42,933 --> 00:04:47,220
Los apilamos todos en un gran grupo
y eso sería el número dos.

65
00:04:47,220 --> 00:04:50,228
Así el número dos sería un grupo de grupos

66
00:04:50,228 --> 00:04:55,365
y esos grupos serían todos los pares
que podrían contarse con el número dos.

67
00:04:55,365 --> 00:04:57,654
De forma similar para todos
los demás números.

68
00:04:57,654 --> 00:05:00,096
El número tres sería
el grupo de todos los tríos,

69
00:05:00,096 --> 00:05:04,424
El número cuatro el grupo
de todos los cuartetos, y así.

70
00:05:04,424 --> 00:05:07,172
Una teoría simple y bella.

71
00:05:08,026 --> 00:05:11,744
Desafortunadamente,
conduce a una contradicción.

72
00:05:12,586 --> 00:05:15,526
No puedo hacer aquí
una demostración de la contradicción,

73
00:05:15,526 --> 00:05:18,743
pero puedo darles
una impresión de cómo surge.

74
00:05:19,788 --> 00:05:24,828
Recuerden que el número dos era
el grupo de TODOS los pares

75
00:05:24,828 --> 00:05:27,058
TODOS los pares de lo que sea.

76
00:05:27,058 --> 00:05:33,138
Así que, en particular, incluiría pares
que contienen al número dos.

77
00:05:33,914 --> 00:05:35,943
Veamos uno de esos pares en particular,

78
00:05:35,943 --> 00:05:40,616
el par consistente en el número dos
y el número uno. Luego ese par,

79
00:05:41,667 --> 00:05:45,853
el par {1,2}, estaría él mismo
dentro del número dos.

80
00:05:45,853 --> 00:05:49,382
Así que el número dos
se contendría a sí mismo,

81
00:05:50,032 --> 00:05:52,538
lo cual aparenta ser imposible.

82
00:05:53,308 --> 00:05:55,289
He aquí una analogía:

83
00:05:55,289 --> 00:06:00,292
imaginen una serpiente muy hambrienta
que trate de comerse su propia cola.

84
00:06:00,292 --> 00:06:03,288
Podría tener éxito en hacer esto.

85
00:06:03,288 --> 00:06:06,737
--esto es lo mejor que podemos 
hacer a modo de ilustración--

86
00:06:06,737 --> 00:06:09,315
Es grotesco, pero posible.

87
00:06:09,315 --> 00:06:10,769
(Risas)

88
00:06:10,769 --> 00:06:14,202
Pero imaginen ahora que
la serpiente es tan voraz

89
00:06:14,202 --> 00:06:18,025
que intenta comerse a sí 
misma por completo.

90
00:06:18,735 --> 00:06:20,675
Esto ni siquiera es posible

91
00:06:20,675 --> 00:06:26,014
pues entonces el estómago de la serpiente
debería estar dentro de su estómago.

92
00:06:26,014 --> 00:06:29,038
Y eso es lo que pasa con el número dos.

93
00:06:29,038 --> 00:06:35,142
El número dos, como ven, está él mismo
dentro de su propio estómago.

94
00:06:36,292 --> 00:06:38,141
¿Qué se podía hacer?

95
00:06:39,101 --> 00:06:44,014
El matemático John von Neumann
dio con una brillante solución,

96
00:06:44,594 --> 00:06:48,470
von Neumann fue quizas uno
de los matemáticos más versátiles

97
00:06:48,470 --> 00:06:50,156
que jamás haya existido.

98
00:06:50,156 --> 00:06:54,315
Ayudó a inventar la teoría del juego
y la computadora moderna.

99
00:06:55,234 --> 00:06:58,459
Era un prodigio

100
00:06:58,459 --> 00:07:01,464
y tuvo las más asombrosas
dotes computacionales.

101
00:07:02,474 --> 00:07:04,581
¿Cuál fue su solución?

102
00:07:04,581 --> 00:07:05,661
Aquí está él.

103
00:07:05,661 --> 00:07:10,046
Él dijo: "Bien veamos,
en lugar de tomar al número dos

104
00:07:10,046 --> 00:07:13,051
como el grupo de todos los pares,

105
00:07:13,051 --> 00:07:16,478
hay que tomarlo
como un par en particular".

106
00:07:16,478 --> 00:07:18,553
Bien, ¿qué par sería?

107
00:07:18,553 --> 00:07:24,043
Él sugirió que el número dos
debía ser el grupo de sus predecesores

108
00:07:24,043 --> 00:07:28,827
Dos tiene dos predecesores, cero y uno.

109
00:07:28,827 --> 00:07:34,831
Tomamos a dos como el grupo
cuyos mienbros son cero y uno.

110
00:07:34,831 --> 00:07:37,984
Pero todavía tenemos números,
tenemos el cero y el uno.

111
00:07:37,984 --> 00:07:42,752
El cero es el grupo de sus predecesores.

112
00:07:42,752 --> 00:07:45,866
Cero no tiene predecesores 
por lo que es llamado 'el grupo nulo'

113
00:07:45,866 --> 00:07:48,103
el grupo con ningún miembro.

114
00:07:48,103 --> 00:07:52,778
Y uno tiene un predecesor,
el cual es cero.

115
00:07:52,778 --> 00:07:57,268
Así que el uno es el grupo
cuyo único miembro es cero.

116
00:07:57,275 --> 00:08:01,731
Aquí tenemos definido el dos,
definido el uno y definido el cero.

117
00:08:01,731 --> 00:08:05,679
Si juntamos esas definiciones,
tenemos el grupo.

118
00:08:05,679 --> 00:08:10,110
El número dos es el grupo cuyos
dos miembros son el grupo nulo,

119
00:08:10,110 --> 00:08:11,846
el cual es el número cero

120
00:08:11,846 --> 00:08:16,423
y el grupo cuyo único miembro es
el grupo nulo, el cual es el número uno.

121
00:08:17,359 --> 00:08:21,966
Esto es lo que de acuerdo a
von Neumann es el número dos;

122
00:08:21,966 --> 00:08:24,297
son todos los grupos por debajo

123
00:08:25,107 --> 00:08:27,205
--grupos, no tortugas--

124
00:08:27,205 --> 00:08:29,983
Y realmente se toca fondo también.

125
00:08:31,183 --> 00:08:33,890
De manera similar para todos
los demás números,

126
00:08:33,890 --> 00:08:37,159
el número tres sería algo
aún más complicado, y así.

127
00:08:38,209 --> 00:08:42,954
Recuerden, el enfoque de Frege-Russell
daba a luz monstruos.

128
00:08:42,954 --> 00:08:46,000
Aquí no tenemos más monstruos;

129
00:08:46,000 --> 00:08:47,939
el monstruo se volvió ángel.

130
00:08:47,939 --> 00:08:50,980
Porque aunque el número dos
contiene otros números,

131
00:08:50,980 --> 00:08:53,117
no se contiene a sí mismo.

132
00:08:53,995 --> 00:08:57,901
El monstruo siempre está comiendo
a un monstruo más pequeño, digamos.

133
00:08:58,906 --> 00:09:00,781
No se pone en su propio camino.

134
00:09:00,781 --> 00:09:05,743
Este enfoque hoy es generalmente aceptado
por filósofos y matemáticos,

135
00:09:05,743 --> 00:09:08,369
pero también tiene sus dificultades.

136
00:09:08,809 --> 00:09:11,039
Una dificultad en especial que me molesta

137
00:09:11,039 --> 00:09:14,340
es que no hay nada especial
respecto del número dos.

138
00:09:14,340 --> 00:09:19,338
Buscamos que el número dos sea
lo que es común a todos los pares,

139
00:09:20,022 --> 00:09:25,253
pero el número dos de von Neumann
es sólo un par entre muchos,

140
00:09:25,253 --> 00:09:26,865
y no hay nada especial en el modo

141
00:09:26,865 --> 00:09:30,691
en el cual ese par es común
a todos los pares.

142
00:09:31,804 --> 00:09:34,387
Esto no hace especial al
número dos en modo alguno;

143
00:09:34,387 --> 00:09:37,200
Es sólo un par entre muchos.

144
00:09:37,200 --> 00:09:42,508
Vamos ahora al enfoque final
y el que a mí me gusta más.

145
00:09:44,752 --> 00:09:49,742
Es un enfoque que generalmente
es desestimado o ignorado

146
00:09:49,742 --> 00:09:52,634
por los filósofos y matemáticos de hoy.

147
00:09:52,634 --> 00:09:58,435
Fue desarrollado por Georg Cantor
a finales del siglo XIX.

148
00:09:59,406 --> 00:10:04,815
Cantor fue un individuo
de muchos talentos,

149
00:10:04,815 --> 00:10:08,194
un brillante violinista,

150
00:10:11,104 --> 00:10:16,260
con muy amplios intereses,
abarcando desde religión hasta literatura.

151
00:10:17,444 --> 00:10:20,911
Pero es mejor conocido por
su teoría de números infinitos

152
00:10:21,631 --> 00:10:25,290
Cantor buscaba contar 
no sólo colecciones finitas

153
00:10:25,290 --> 00:10:28,810
--sé que hay muchas personas aquí,
pero sigue siendo un número finito---

154
00:10:28,810 --> 00:10:32,220
pero no sólo las colecciones finitas,
como el número de personas aquí,

155
00:10:32,220 --> 00:10:36,180
o el número de estrellas en la Vía Láctea,

156
00:10:36,180 --> 00:10:39,403
él buscaba también contar
colecciones infinitas,

157
00:10:39,403 --> 00:10:42,456
como la colección de todos 
los números naturales

158
00:10:42,456 --> 00:10:45,456
o la de todos los puntos del espacio.

159
00:10:45,456 --> 00:10:50,288
Para ese fin, intentó desarrollar
una teoría general de los números.

160
00:10:51,342 --> 00:10:53,467
¿Cuál fue su enfoque?

161
00:10:53,467 --> 00:10:55,816
Nuevamente, tomemos el número dos.

162
00:10:55,816 --> 00:10:59,699
Tomemos dos objetos, Fido y Félix.

163
00:11:00,109 --> 00:11:01,443
Ahora Cantor dijo:

164
00:11:01,443 --> 00:11:08,205
"Miren, despojemos a esos dos objetos
de todas sus características individuales

165
00:11:08,205 --> 00:11:11,699
más allá del hecho de 
distinguirlos uno del otro".

166
00:11:11,699 --> 00:11:14,443
Así que eliminamos sus pieles,

167
00:11:14,443 --> 00:11:18,607
eliminamos la carne y la sangre

168
00:11:18,607 --> 00:11:22,062
hasta dejar simplemente
dos objetos desnudos

169
00:11:22,062 --> 00:11:25,439
que él llamó unidades
sin diferenciación alguna.

170
00:11:25,439 --> 00:11:28,497
Espero que no haya defensores
de los animales entre ustedes.

171
00:11:28,497 --> 00:11:32,743
De todos modos, esto les pasa a las
mascotas cuando quedan a cargo de Cantor.

172
00:11:33,973 --> 00:11:36,205
Pero ¿qué son estas unidades?

173
00:11:36,205 --> 00:11:40,032
Bueno, tomen los dos dólares
de su cuenta bancaria

174
00:11:40,032 --> 00:11:43,497
--espero que les queden dos dólares
luego de pagar la entrada--

175
00:11:43,497 --> 00:11:47,362
esos dos dólares no son
ningunos en particular,

176
00:11:47,362 --> 00:11:49,602
pero cuando Uds. van
a un cajero automático

177
00:11:49,602 --> 00:11:52,753
pueden extraerlos como
dos dólares en particular.

178
00:11:52,753 --> 00:11:54,819
No son esos dólares en particular,

179
00:11:54,819 --> 00:11:58,133
pero pueden ser extraidos como
cualesquiera dos dólares en particular.

180
00:11:58,133 --> 00:11:59,790
Estas son las unidades de Cantor.

181
00:11:59,790 --> 00:12:03,812
Pero cuando Uds. van al cajero
cantoriano a extraer sus unidades

182
00:12:03,812 --> 00:12:06,593
obtienen dos objetos cualesquiera.

183
00:12:06,593 --> 00:12:08,871
Es lo máximo en tentar la suerte.

184
00:12:09,633 --> 00:12:12,145
La idea de Cantor fue esta:

185
00:12:12,145 --> 00:12:17,090
tomemos el número dos y que sea
el grupo de esas dos unidades.

186
00:12:17,090 --> 00:12:19,230
Así que tomamos esas dos unidades,

187
00:12:19,230 --> 00:12:22,359
las cuales pueden derivarse 
de cualquier par de objetos,

188
00:12:22,359 --> 00:12:26,722
y el número dos es el grupo
de esas dos unidades.

189
00:12:26,722 --> 00:12:29,018
Y de manera similar para
todos los otros números

190
00:12:29,018 --> 00:12:31,411
el número tres sería el grupo
de tres unidades,

191
00:12:31,411 --> 00:12:33,811
y así sucesivamente.

192
00:12:33,811 --> 00:12:37,002
Tenemos tres enfoques sobre la mesa.

193
00:12:37,002 --> 00:12:38,808
El enfoque Frege-Russell

194
00:12:38,808 --> 00:12:42,193
de acuerdo al cual el número dos
es el grupo de todos los pares;

195
00:12:42,193 --> 00:12:44,043
el enfoque de von Neumann,

196
00:12:44,043 --> 00:12:47,976
de acuerdo al cual el número dos es el
grupo cuyos miembros son el cero y el uno;

197
00:12:47,976 --> 00:12:51,781
y el enfoque cantoriano,

198
00:12:51,781 --> 00:12:55,587
según el cual el dos
es el grupo de dos unidades.

199
00:12:55,587 --> 00:13:01,524
El enfoque Frege-Russell cría monstruos,
así que no podemos tenerlo.

200
00:13:02,984 --> 00:13:05,927
El enfoque von Neumann
no da apropiada cuenta

201
00:13:05,927 --> 00:13:09,890
de por qué el número dos
es común a todos los pares.

202
00:13:11,005 --> 00:13:15,178
El enfoque cantoriano no sufre
ninguna de esas dificultades.

203
00:13:15,178 --> 00:13:18,997
No cría monstruos porque el número dos
sólo contiene unidades;

204
00:13:18,997 --> 00:13:21,932
el número dos no se contiene a sí mismo.

205
00:13:21,932 --> 00:13:25,097
Y es, de manera obvia,
común a todos los pares

206
00:13:25,097 --> 00:13:28,137
porque es derivado por medio
de este proceso de abstracción,

207
00:13:28,137 --> 00:13:30,897
o eliminación, a partir de cada par.

208
00:13:33,000 --> 00:13:36,872
Así, gracias a Cantor,
sabemos lo que son los números.

209
00:13:37,735 --> 00:13:38,804
Gracias.

210
00:13:38,804 --> 00:13:40,090
(Aplausos)