0:00:17.498,0:00:19.767
Los números son extraños.

0:00:20.670,0:00:22.925
No son objetos físicos.

0:00:22.925,0:00:27.085
Nadie se ha topado con el número dos[br]o ha tropezado el número tres;

0:00:28.405,0:00:31.145
ni siquiera el loco profesor[br]de matemáticas de Uds.

0:00:32.451,0:00:35.434
No son objetos mentales tampoco.

0:00:35.854,0:00:39.090
La idea de un ser amado no es el ser amado

0:00:39.090,0:00:41.812
no importa cuánto puedan querer que lo sea

0:00:41.812,0:00:46.375
y tampoco la idea del número tres,[br]es el número tres.

0:00:47.088,0:00:50.718
Los números tampoco existen[br]en el tiempo o el espacio.

0:00:50.718,0:00:55.027
No esperen encontrar al número tres[br]en los gabinetes de la cocina

0:00:55.027,0:00:57.340
y no necesitan preocuparse

0:00:57.340,0:01:02.527
de si los números alguna vez no existieron[br]o de que un día dejen de existir.

0:01:03.260,0:01:05.351
Pero a pesar de que los números

0:01:05.351,0:01:09.804
están muy lejos del mundo habitual[br]de los pensamientos y las cosas,

0:01:10.892,0:01:17.566
están íntimamente conectados con ese mundo[br]porque hacemos cosas con ellos.

0:01:18.296,0:01:22.423
Contamos con ellos, medimos con ellos,

0:01:22.423,0:01:26.120
formulamos nuestras[br]teorías científicas con ellos.

0:01:27.105,0:01:31.213
Esto es lo que los hace[br]todo lo extraño que son.

0:01:31.213,0:01:35.897
¿Cómo es que están tan alejados[br]del mundo habitual

0:01:35.897,0:01:39.385
y aún así intimamente conectados con él?

0:01:40.398,0:01:45.952
En esta charla busco abordar tres enfoques[br]acerca de la naturaleza de los números

0:01:45.952,0:01:49.881
que fueron desarrollados[br]por matemáticos y filósofos

0:01:49.881,0:01:55.900
hacia finales del siglo XIX[br]y principios del siglo XX.

0:01:56.679,0:02:00.492
Estos enfoques presuponen[br]que, estrictamente hablando,

0:02:00.492,0:02:05.490
lo que contamos no son cosas[br]sino grupos de cosas.

0:02:05.490,0:02:11.167
Un grupo no es más que varias cosas,[br]las que quieran, consideradas como una.

0:02:11.527,0:02:18.909
Así por ejemplo, tenemos el grupo de[br]botellas de cerveza que bebieron anoche.

0:02:19.483,0:02:22.218
Ponemos las botellas entre[br]esas llaves para indicar

0:02:22.218,0:02:25.672
que las seis botellas están siendo[br]consideradas como un objeto.

0:02:25.672,0:02:31.652
Luego tenemos el grupo que consiste en[br]sus dos mascotas favoritas, Fido y Félix.

0:02:33.402,0:02:38.203
O tenemos el grupo formado[br]por los números naturales,

0:02:38.203,0:02:40.425
puestos así juntos [br]en este grupo muy grande:

0:02:40.425,0:02:42.715
{0, 1, 2, 3, 4...} y así.

0:02:44.234,0:02:49.002
Y lo que hacemos cuando contamos[br]es asociar un número con un grupo.

0:02:49.002,0:02:52.256
En el caso de las botellas, [br]con el número seis,

0:02:52.256,0:02:55.775
suponiendo que no estén demasiado[br]borrachos para contarlas.

0:02:56.845,0:02:59.561
En el caso de sus mascotas, el número dos.

0:03:00.041,0:03:04.667
Y en el caso de de los números naturales,[br]cuando los pongamos en un gran grupo

0:03:04.667,0:03:06.811
va a ser un número infinito.

0:03:07.871,0:03:12.098
El primer enfoque que quiero considerar[br]sobre la naturaleza de los números

0:03:12.098,0:03:16.682
fue desarrollada independientemente[br]por dos grandes matemáticos y filósofos:

0:03:16.682,0:03:19.662
Gottlob Frege y Bertrand Russel.

0:03:19.662,0:03:22.950
Estos dos individuos fueron[br]muy diferentes uno del otro.

0:03:23.720,0:03:27.082
Russel venía de la aristocracia inglesa,

0:03:27.082,0:03:30.115
Frege de la cómoda clase media alemana.

0:03:30.889,0:03:34.213
Russel fue un entusiasta liberal

0:03:35.233,0:03:38.360
Frege, perdón por decirlo,[br]fue un protonazi.

0:03:39.334,0:03:45.479
Russel tuvo cuatro esposas[br]e innumerables amantes;

0:03:45.479,0:03:47.300
Frege tuvo una sola esposa,

0:03:47.300,0:03:52.532
y hasta donde yo se, disfrutó[br]de una feliz y estable vida marital.

0:03:53.160,0:03:55.486
Pero a pesar de estas diferencias,

0:03:55.486,0:03:59.129
tuvieron más o menos la misma visión[br]acerca de la naturaleza de los números

0:03:59.391,0:04:00.709
¿Y cuál era?

0:04:00.709,0:04:04.094
Bien, tomemos el número dos, por ejemplo.

0:04:04.094,0:04:09.122
El dos puede usarse para numerar[br]cualquier grupo de dos miembros o par.

0:04:09.124,0:04:15.554
así que puede usarse para numerar el grupo[br]cuyos miembros son Frege y Russell.

0:04:15.554,0:04:18.038
O puede usarse para numerar el grupo

0:04:18.038,0:04:22.225
consistente en sus mascotas[br]favoritas, Fido y Félix.

0:04:23.176,0:04:25.502
O puede usarse para numerar

0:04:25.502,0:04:29.250
las dos famosas ciudades[br]de Dickens: Londres y París.

0:04:29.250,0:04:32.348
Insistí en que Londres[br]fuera colocada primero.

0:04:32.348,0:04:33.644
(Risas)

0:04:35.294,0:04:42.232
La idea de Russel y Frege fue poner[br]todos estos pares en un único gran grupo.

0:04:42.933,0:04:47.220
Los apilamos todos en un gran grupo[br]y eso sería el número dos.

0:04:47.220,0:04:50.228
Así el número dos sería un grupo de grupos

0:04:50.228,0:04:55.365
y esos grupos serían todos los pares[br]que podrían contarse con el número dos.

0:04:55.365,0:04:57.654
De forma similar para todos[br]los demás números.

0:04:57.654,0:05:00.096
El número tres sería[br]el grupo de todos los tríos,

0:05:00.096,0:05:04.424
El número cuatro el grupo[br]de todos los cuartetos, y así.

0:05:04.424,0:05:07.172
Una teoría simple y bella.

0:05:08.026,0:05:11.744
Desafortunadamente,[br]conduce a una contradicción.

0:05:12.586,0:05:15.526
No puedo hacer aquí[br]una demostración de la contradicción,

0:05:15.526,0:05:18.743
pero puedo darles[br]una impresión de cómo surge.

0:05:19.788,0:05:24.828
Recuerden que el número dos era[br]el grupo de TODOS los pares

0:05:24.828,0:05:27.058
TODOS los pares de lo que sea.

0:05:27.058,0:05:33.138
Así que, en particular, incluiría pares[br]que contienen al número dos.

0:05:33.914,0:05:35.943
Veamos uno de esos pares en particular,

0:05:35.943,0:05:40.616
el par consistente en el número dos[br]y el número uno. Luego ese par,

0:05:41.667,0:05:45.853
el par {1,2}, estaría él mismo[br]dentro del número dos.

0:05:45.853,0:05:49.382
Así que el número dos[br]se contendría a sí mismo,

0:05:50.032,0:05:52.538
lo cual aparenta ser imposible.

0:05:53.308,0:05:55.289
He aquí una analogía:

0:05:55.289,0:06:00.292
imaginen una serpiente muy hambrienta[br]que trate de comerse su propia cola.

0:06:00.292,0:06:03.288
Podría tener éxito en hacer esto.

0:06:03.288,0:06:06.737
--esto es lo mejor que podemos [br]hacer a modo de ilustración--

0:06:06.737,0:06:09.315
Es grotesco, pero posible.

0:06:09.315,0:06:10.769
(Risas)

0:06:10.769,0:06:14.202
Pero imaginen ahora que[br]la serpiente es tan voraz

0:06:14.202,0:06:18.025
que intenta comerse a sí [br]misma por completo.

0:06:18.735,0:06:20.675
Esto ni siquiera es posible

0:06:20.675,0:06:26.014
pues entonces el estómago de la serpiente[br]debería estar dentro de su estómago.

0:06:26.014,0:06:29.038
Y eso es lo que pasa con el número dos.

0:06:29.038,0:06:35.142
El número dos, como ven, está él mismo[br]dentro de su propio estómago.

0:06:36.292,0:06:38.141
¿Qué se podía hacer?

0:06:39.101,0:06:44.014
El matemático John von Neumann[br]dio con una brillante solución,

0:06:44.594,0:06:48.470
von Neumann fue quizas uno[br]de los matemáticos más versátiles

0:06:48.470,0:06:50.156
que jamás haya existido.

0:06:50.156,0:06:54.315
Ayudó a inventar la teoría del juego[br]y la computadora moderna.

0:06:55.234,0:06:58.459
Era un prodigio

0:06:58.459,0:07:01.464
y tuvo las más asombrosas[br]dotes computacionales.

0:07:02.474,0:07:04.581
¿Cuál fue su solución?

0:07:04.581,0:07:05.661
Aquí está él.

0:07:05.661,0:07:10.046
Él dijo: "Bien veamos,[br]en lugar de tomar al número dos

0:07:10.046,0:07:13.051
como el grupo de todos los pares,

0:07:13.051,0:07:16.478
hay que tomarlo[br]como un par en particular".

0:07:16.478,0:07:18.553
Bien, ¿qué par sería?

0:07:18.553,0:07:24.043
Él sugirió que el número dos[br]debía ser el grupo de sus predecesores

0:07:24.043,0:07:28.827
Dos tiene dos predecesores, cero y uno.

0:07:28.827,0:07:34.831
Tomamos a dos como el grupo[br]cuyos mienbros son cero y uno.

0:07:34.831,0:07:37.984
Pero todavía tenemos números,[br]tenemos el cero y el uno.

0:07:37.984,0:07:42.752
El cero es el grupo de sus predecesores.

0:07:42.752,0:07:45.866
Cero no tiene predecesores [br]por lo que es llamado 'el grupo nulo'

0:07:45.866,0:07:48.103
el grupo con ningún miembro.

0:07:48.103,0:07:52.778
Y uno tiene un predecesor,[br]el cual es cero.

0:07:52.778,0:07:57.268
Así que el uno es el grupo[br]cuyo único miembro es cero.

0:07:57.275,0:08:01.731
Aquí tenemos definido el dos,[br]definido el uno y definido el cero.

0:08:01.731,0:08:05.679
Si juntamos esas definiciones,[br]tenemos el grupo.

0:08:05.679,0:08:10.110
El número dos es el grupo cuyos[br]dos miembros son el grupo nulo,

0:08:10.110,0:08:11.846
el cual es el número cero

0:08:11.846,0:08:16.423
y el grupo cuyo único miembro es[br]el grupo nulo, el cual es el número uno.

0:08:17.359,0:08:21.966
Esto es lo que de acuerdo a[br]von Neumann es el número dos;

0:08:21.966,0:08:24.297
son todos los grupos por debajo

0:08:25.107,0:08:27.205
--grupos, no tortugas--

0:08:27.205,0:08:29.983
Y realmente se toca fondo también.

0:08:31.183,0:08:33.890
De manera similar para todos[br]los demás números,

0:08:33.890,0:08:37.159
el número tres sería algo[br]aún más complicado, y así.

0:08:38.209,0:08:42.954
Recuerden, el enfoque de Frege-Russell[br]daba a luz monstruos.

0:08:42.954,0:08:46.000
Aquí no tenemos más monstruos;

0:08:46.000,0:08:47.939
el monstruo se volvió ángel.

0:08:47.939,0:08:50.980
Porque aunque el número dos[br]contiene otros números,

0:08:50.980,0:08:53.117
no se contiene a sí mismo.

0:08:53.995,0:08:57.901
El monstruo siempre está comiendo[br]a un monstruo más pequeño, digamos.

0:08:58.906,0:09:00.781
No se pone en su propio camino.

0:09:00.781,0:09:05.743
Este enfoque hoy es generalmente aceptado[br]por filósofos y matemáticos,

0:09:05.743,0:09:08.369
pero también tiene sus dificultades.

0:09:08.809,0:09:11.039
Una dificultad en especial que me molesta

0:09:11.039,0:09:14.340
es que no hay nada especial[br]respecto del número dos.

0:09:14.340,0:09:19.338
Buscamos que el número dos sea[br]lo que es común a todos los pares,

0:09:20.022,0:09:25.253
pero el número dos de von Neumann[br]es sólo un par entre muchos,

0:09:25.253,0:09:26.865
y no hay nada especial en el modo

0:09:26.865,0:09:30.691
en el cual ese par es común[br]a todos los pares.

0:09:31.804,0:09:34.387
Esto no hace especial al[br]número dos en modo alguno;

0:09:34.387,0:09:37.200
Es sólo un par entre muchos.

0:09:37.200,0:09:42.508
Vamos ahora al enfoque final[br]y el que a mí me gusta más.

0:09:44.752,0:09:49.742
Es un enfoque que generalmente[br]es desestimado o ignorado

0:09:49.742,0:09:52.634
por los filósofos y matemáticos de hoy.

0:09:52.634,0:09:58.435
Fue desarrollado por Georg Cantor[br]a finales del siglo XIX.

0:09:59.406,0:10:04.815
Cantor fue un individuo[br]de muchos talentos,

0:10:04.815,0:10:08.194
un brillante violinista,

0:10:11.104,0:10:16.260
con muy amplios intereses,[br]abarcando desde religión hasta literatura.

0:10:17.444,0:10:20.911
Pero es mejor conocido por[br]su teoría de números infinitos

0:10:21.631,0:10:25.290
Cantor buscaba contar [br]no sólo colecciones finitas

0:10:25.290,0:10:28.810
--sé que hay muchas personas aquí,[br]pero sigue siendo un número finito---

0:10:28.810,0:10:32.220
pero no sólo las colecciones finitas,[br]como el número de personas aquí,

0:10:32.220,0:10:36.180
o el número de estrellas en la Vía Láctea,

0:10:36.180,0:10:39.403
él buscaba también contar[br]colecciones infinitas,

0:10:39.403,0:10:42.456
como la colección de todos [br]los números naturales

0:10:42.456,0:10:45.456
o la de todos los puntos del espacio.

0:10:45.456,0:10:50.288
Para ese fin, intentó desarrollar[br]una teoría general de los números.

0:10:51.342,0:10:53.467
¿Cuál fue su enfoque?

0:10:53.467,0:10:55.816
Nuevamente, tomemos el número dos.

0:10:55.816,0:10:59.699
Tomemos dos objetos, Fido y Félix.

0:11:00.109,0:11:01.443
Ahora Cantor dijo:

0:11:01.443,0:11:08.205
"Miren, despojemos a esos dos objetos[br]de todas sus características individuales

0:11:08.205,0:11:11.699
más allá del hecho de [br]distinguirlos uno del otro".

0:11:11.699,0:11:14.443
Así que eliminamos sus pieles,

0:11:14.443,0:11:18.607
eliminamos la carne y la sangre

0:11:18.607,0:11:22.062
hasta dejar simplemente[br]dos objetos desnudos

0:11:22.062,0:11:25.439
que él llamó unidades[br]sin diferenciación alguna.

0:11:25.439,0:11:28.497
Espero que no haya defensores[br]de los animales entre ustedes.

0:11:28.497,0:11:32.743
De todos modos, esto les pasa a las[br]mascotas cuando quedan a cargo de Cantor.

0:11:33.973,0:11:36.205
Pero ¿qué son estas unidades?

0:11:36.205,0:11:40.032
Bueno, tomen los dos dólares[br]de su cuenta bancaria

0:11:40.032,0:11:43.497
--espero que les queden dos dólares[br]luego de pagar la entrada--

0:11:43.497,0:11:47.362
esos dos dólares no son[br]ningunos en particular,

0:11:47.362,0:11:49.602
pero cuando Uds. van[br]a un cajero automático

0:11:49.602,0:11:52.753
pueden extraerlos como[br]dos dólares en particular.

0:11:52.753,0:11:54.819
No son esos dólares en particular,

0:11:54.819,0:11:58.133
pero pueden ser extraidos como[br]cualesquiera dos dólares en particular.

0:11:58.133,0:11:59.790
Estas son las unidades de Cantor.

0:11:59.790,0:12:03.812
Pero cuando Uds. van al cajero[br]cantoriano a extraer sus unidades

0:12:03.812,0:12:06.593
obtienen dos objetos cualesquiera.

0:12:06.593,0:12:08.871
Es lo máximo en tentar la suerte.

0:12:09.633,0:12:12.145
La idea de Cantor fue esta:

0:12:12.145,0:12:17.090
tomemos el número dos y que sea[br]el grupo de esas dos unidades.

0:12:17.090,0:12:19.230
Así que tomamos esas dos unidades,

0:12:19.230,0:12:22.359
las cuales pueden derivarse [br]de cualquier par de objetos,

0:12:22.359,0:12:26.722
y el número dos es el grupo[br]de esas dos unidades.

0:12:26.722,0:12:29.018
Y de manera similar para[br]todos los otros números

0:12:29.018,0:12:31.411
el número tres sería el grupo[br]de tres unidades,

0:12:31.411,0:12:33.811
y así sucesivamente.

0:12:33.811,0:12:37.002
Tenemos tres enfoques sobre la mesa.

0:12:37.002,0:12:38.808
El enfoque Frege-Russell

0:12:38.808,0:12:42.193
de acuerdo al cual el número dos[br]es el grupo de todos los pares;

0:12:42.193,0:12:44.043
el enfoque de von Neumann,

0:12:44.043,0:12:47.976
de acuerdo al cual el número dos es el[br]grupo cuyos miembros son el cero y el uno;

0:12:47.976,0:12:51.781
y el enfoque cantoriano,

0:12:51.781,0:12:55.587
según el cual el dos[br]es el grupo de dos unidades.

0:12:55.587,0:13:01.524
El enfoque Frege-Russell cría monstruos,[br]así que no podemos tenerlo.

0:13:02.984,0:13:05.927
El enfoque von Neumann[br]no da apropiada cuenta

0:13:05.927,0:13:09.890
de por qué el número dos[br]es común a todos los pares.

0:13:11.005,0:13:15.178
El enfoque cantoriano no sufre[br]ninguna de esas dificultades.

0:13:15.178,0:13:18.997
No cría monstruos porque el número dos[br]sólo contiene unidades;

0:13:18.997,0:13:21.932
el número dos no se contiene a sí mismo.

0:13:21.932,0:13:25.097
Y es, de manera obvia,[br]común a todos los pares

0:13:25.097,0:13:28.137
porque es derivado por medio[br]de este proceso de abstracción,

0:13:28.137,0:13:30.897
o eliminación, a partir de cada par.

0:13:33.000,0:13:36.872
Así, gracias a Cantor,[br]sabemos lo que son los números.

0:13:37.735,0:13:38.804
Gracias.

0:13:38.804,0:13:40.090
(Aplausos)