Hola y bienvenido. Esto es una presentación de funciones no lineales.
Y he desarrollado como un público clase en el Liceo, en diciembre de 2014
pero no había registrado en ese entonces.
Por lo tanto, estoy grabando como un elenco de pantalla para que pueda subirlo
a Youtube y que puedo hacerlo aún más disponible.
Esta es la primera vez que estoy haciendo esto convertir mi clase
en un molde de pantalla por lo que agradecería sus comentarios.
Esta presentación está en funciones no lineales.
Funciones no lineales son modelos, modelos matemáticos de
fenómenos físicos que a menudo nos encontramos
Sin embargo, a diferencia de las funciones lineales son un poco más difícil de analizar y
predecir. El comportamiento es más difícil de predecir.
En muchas circunstancias, cuando tratamos de modelar fenómenos físicos vemos que
ver que los términos de orden superior tienen muy muy pequeños coeficientes.
Así que simplemente los ignoramos, pero esos pequeños términos podemos afectar
realmente el comportamiento de las funciones en determinadas circunstancias.
Así que esta presentación va a ser una introducción a este tipo de funciones
y cómo se comportan y lo que puedes hacer con ellos.
Así que para empezar vamos a hacer un resumen rápido.
Un resumen de las ideas básicas que sé que muchos de ustedes ya puede estar familiarizado con
Si usted ya sabe acerca de todo esto sea posible omita este e ir a la siguiente
Las ideas básicas que vamos a discutir son funciones.
¿Cuáles son las funciones? Las funciones son los conceptos matemáticos que utilizamos para
describir cómo los elementos de un cambio de sistema en elementos de otro conjunto.
Por ejemplo, yo puedo decir F x igual a X al cuadrado.
Lo cual es una función que se eleva al cuadrado y simple.
O puede decir F x igual al seno de x
El seno trigonométrico de x, expresado en radianes. Cosas así
El seno trigonométrico de x, expresado en radianes. Cosas así.
Estos dos son no-lineal, sino que pueden tener los lineales también.
Diga x + 5, o algo así 2x o algo así
Estas son funciones lineales. Estos dos últimos son lineales.
Los dos primeros son no lineales porque tienen términos de orden superior
más altos términos de orden que significan términos con una potencia de más de 1
Ahora, por lo general, cuando hablamos de las funciones que hablamos resolverlos
Por eso decimos: y igual ax al cuadrado, y usted puede trazar
o usted puede encontrar el valor de la función para un valor dado de x, y algo así.
Pero en esta serie vamos a ser sobre todo hablando de funciones de iteración
Esto es algo que no podría haber hecho.
Así que la idea básica es tomar una función, por ejemplo este que tenemos aquí
F x igual a x al cuadrado y aplicar esta función repetidamente
Así que si yo fuera a tomar F (x) = x ^ 2, y digo F del 2 será de 4
Y luego aplicar F en este caso, por lo que dices F de 4 igual a 4 al cuadrado, 16
Y luego dices F, de 16, que es el cuadrado de 16, entonces dices cuadrado de que
Entonces cuadrado de eso, entonces cuadrado de eso.
Esta iteración se llama. Aplica una función repetidamente en algo.
Y esta realidad le da ciertos tipos de comportamiento
que vamos a encontrar interesante en los próximos segmentos.
Así que digamos que si quería solicitar F (x) en una función, por lo que F (x) = x ^ 2
Así que si aplico esto tres veces, será F de F de F de X
Quiero aplicar la función de cuadratura en un número (digamos 2), tres veces
Usted puede escribir así. Usted recibirá el tercero "reiterar" del número 2 bajo la función F
Y como una cuestión de notación, tendemos a escribirlo como éste, F tres veces de 2.
Así que este es F de F de F de 2
Así que esta es la notación que vamos a utilizar en varias ocasiones en esta serie.
Así que esto es las funciones de iteración.
Y lo que nos interesa es encontrar comportamientos de funciones cuando hacemos esto.
Ahora vamos a pasar a la siguiente fase.
Tenemos una notación y tenemos la cosa básica que vamos a hacer.
Lo que vamos a discutir en este momento es lo que yo llamo órbitas.
El término puede sonar técnico, pero es una cosa simple
Son sólo las iteraciones sucesivas de un número con una función.
Así que si yo fuera a tomar un número, por ejemplo en este caso vamos a decir una función simple
Vamos a tomar F de x igual a 2x (el doble del número). Entonces usted puede comenzar con 1
Vamos a empezar con la órbita de 1 bajo F. El primero que sería 1,
a continuación, aplicar F una vez, se convertiría 2. Aplicar F a eso, usted consigue 4,
aplicar F hasta que se obtiene 8, 16, 32, 64, 128, etc
Estas son las iteraciones de 1 en el marco de la función F (x) = 2x.
Y esta serie se llama la órbita de 1.
Así que la órbita de 1 es una iteración sucesivas de un número con una función.
Así que hablamos de lo que es la órbita de este número, ¿cuál es la órbita de ese número,
cómo se comporta la órbita? Y cosas asi. Así que es esta cosa órbita que nos interesa.
Y en realidad podemos hacer predicciones sobre las órbitas y donde esta cosa va a ir
si se inicia la iteración y cosas por el estilo.
Ahora dado que sabemos lo que las órbitas son ahora hay algunos tipos interesantes de puntos
Hablaremos de muchos de ellos en los próximos segmentos
pero la primera y más simple es lo que se llama un "punto fijo"
Es algo importante, por si acaso.
Un punto fijo es un punto que se fija. Esto significa que F (x) será igual a x
para ese punto. Y esto es algo que varía dependiendo de las funciones.
Si tuviera que tomar F (x) = 2x, esta función la que yo hablé antes
El cero es un punto fijo.
¿Por qué? Debido a que F (0) será 0, y luego aplicar ese tantas veces como quieras
Se queda ahí no se mueve, es fijo
Por otro lado, acabamos de ver aquí que si se toma 1, no es fijo
Simplemente sigue aumentando
Si usted toma 0, es lo que llamamos un punto fijo.
Y se puede ver cómo se comporta esto, se puede ver cómo las funciones se comportan ahora.
Tomemos algunos ejemplos simples y ver cómo esto hace
Así que considere esto, tomamos un intérprete para que podamos hacer esto fácilmente
Así que tengo la raíz cuadrada, seno, coseno y cosas por el estilo.
Y tomar un número, por lo que vamos a decir 5. Voy a decir raíz cuadrada de 5, obtenemos esta
Raíz cuadrada de eso, tenemos esto. Y sigo haciendo esto una y otra vez
Así que esto está iterando manualmente
Y podemos ver que a medida que iterar, esto se convierte poco a poco más y más pequeño.
Se tiende a 1, ¿verdad? Y 1 es bajo la raíz cuadrada de 1 un punto fijo
Debido a la raíz cuadrada de 1 es 1
Bien, considere el otro. Considere seno de algo expresado en radianes
Así que echemos seno de pi. Sine de pi es esto, es infinitesimalmente pequeña.
Echemos seno de pi / 2. Esto es 1.
Sine de pi / 1.9, sólo un poco menos. Si iterar todo esto ...
Esta es seno de un número al azar, acaba de hacer 2 o algo
Sine de 3, y luego seno de esto. Así que si usted solicita seno repetidamente en un número
se ve que va lentamente por más y más y más bajo
y en última instancia tiende a 0.
Se puede ver que esto ocurra si se escribe una pequeña función
Iterar, esta es la función, este es el punto de inicio, esta el número de iteraciones
Y se puede ver S igual a empezar, y decir para i en el rango de iteraciones
Y se puede decir S igual a la función aplicada en S
Y acabas de decir Imprimir. Función simple.
Así que probar esto, iterar partida seno de 2, un centenar de veces
Se puede ver que parte desde 0.9 y sigue reduciendo
Reduce, disminuye, lo reduce cae como éste
Si tuviera que tomar esta a 1000, sería ir muy inferior
10000 es incluso inferior.
Así que ha tendiendo lentamente hacia 0. Y este parece ser el caso de muchos de los puntos
Por ejemplo, para 3, por ejemplo para pi. Va hasta casi 0.
Pi / 2, cualquier cosa. Así que cualquier cosa que usted da, tiende lentamente hacia 0
Y, por supuesto, 0 es un punto fijo.
Así que 0 es un punto fijo para esta función. 0 es también un punto fijo para el seno de x.
Ahora vamos a tomar otro. Vamos a tratar de cos x que está buscando más interesante
Vamos a tomar pi, y vamos a tomar cos de x
Cos de x y cos de una función, y entonces ahora nos tratan esto.
Se puede ver que se va a 0.739085133215
Y esto parece suceder nada por lo general: 3, 2, 1, cualquier cosa.
Y este es un punto fijo de lechuga romana de x.
Este número aparentemente aleatorio es un punto fijo para cos de x.
Debido a mi definición sabes que este es un punto en el que cos (x) igual a x
Pero no es fácil lo que es tan especial acerca de este número.
Así que este es el concepto de un punto fijo.
Así que termina nuestro primer segmento, que es sólo una introducción a las funciones
¿Qué es la iteración, lo que es una órbita, y lo que es un punto fijo.
Ahora vamos a discutir más tipos de puntos en el siguiente segmento.