Αν έχετε εξασκηθεί,

και, ελπίζω, ότι έχετε μάθει τους πίνακες της προπαίδειας,

θα βρείτε τώρα πως είστε έτοιμοι να λύσετε σχεδόν κάθε πρόβλημα πολλαπλασιασμού.

Πρέπει απλώς να καταλάβετε,

- δεν σκέφτομαι καλύτερη λέξη γι' αυτό που θα πω -

το σύστημα για να λύνετε αυτά τα προβλήματα.

Αλλά δε θα σας μάθω απλώς το σύστημα,

θα σας δείξω και το γιατί δουλεύει.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με ένα πρόβλημα πολλαπλασιασμού

που μάλλον θα σκεφτείτε ότι δεν ξέρετε πώς να το λύσετε.

Ας κάνουμε το 16 επί 9.

16 x 9.

Αμέσως μπορεί να πείτε

"Σαλ, δεν έχω μάθει απ' έξω τους πίνακες πολλαπλασιασμού του 16,

δεν πρόκειται να μπορέσω να λύσω αυτό το πρόβλημα".

Και η απάντησή μου είναι ότι βεβαίως και μπορείτε

γιατί θα το σπάσουμε σε προβλήματα

που ξέρετε τη λύση τους.

Ο τρόπος να το λύσετε αυτό εδώ

είναι να πολλαπλασιάσετε πρώτα με 9 τη θέση των μονάδων εδώ.

Άρα πολλαπλασιάζετε το 9 με το 6.

Και νομίζω ότι ξέρετε πόσο μας κάνει το 9 επί 6.

Θα το γράψω εδώ πέρα.

Άρα έχουμε 9 επί 6 ίσον 54.

Το ξέρετε αυτό από τους πίνακες της προπαίδειας.

Αυτό που κάνετε λοιπόν είναι να γράψετε 54

όμως γράφετε το 4 εδώ πέρα στη θέση των μονάδων...

και μεταφέρετε το 5.

Αυτό ακριβώς κάνετε.

Χρησιμοποιούμε τη λέξη "μεταφορά" και όταν προσθέτουμε

και έχουμε ένα, ας πούμε, έξτρα 5 να υπολογίσουμε

αλλά ας πούμε απλώς ότι το "μεταφέρουμε".

Δεν μπορώ να βρω μια καλύτερη λέξη γι' αυτό.

Στη συνέχεια λοιπόν, πολλαπλασιάζουμε το 9 με το 1.

9 επί 1.

Αυτό είναι πολύ απλό.

9 επί 1 ίσον 9.

Κάθε αριθμός επί 1 μας κάνει τον ίδιο αυτό τον αριθμό.

Αλλά έχουμε κι αυτό το 5 που κάθεται εδώ πέρα, οπότε 9 επί 1

και πρέπει να προσθέσουμε κι αυτό το 5.

Άρα έχουμε να προσθέσουμε αυτό συν το 5.

Και πόσο μας κάνει αυτό;

9 επί 1, συν 5

μας κάνει 9 συν 5 που ισούται με 14.

Ας το γράψω εδώ πέρα.

14.

Ορίστε λοιπόν!

16 επί 9 ίσον 144.

Αν θυμάστε τους πίνακες της προπαίδειας μέχρι το 12

θα καταλάβετε ότι είναι το ίδιο με το 12x12.

Αλλά γνωρίζοντας μόνο αυτές τις δύο πληροφορίες

μπορέσαμε να λύσουμε ένα δυσκολότερο πρόβλημα.

Τώρα μπορεί να μου πείτε: "Εντάξει Σαλ, ωραίο το κόλπο που μας έκανες μόλις τώρα

αλλά πώς δουλεύει;"

Και πάντα πρέπει να το ρωτάτε αυτό.

Δεν θα πρέπει απλώς να το πιστεύετε

δεν θα πρέπει απλώς να μαθαίνετε απ' έξω το σύστημα και να υποθέτετε ότι δουλεύει.

Για να το εξηγήσω λοιπόν, θα ξαναγράψω αυτούς τους αριθμούς.

Μπορώ να ξαναγράψω το 16 ως 10... ας το κάνω εδώ πέρα.

10 + 6.

Δηλαδή 16.

Και μπορώ να ξαναγράψω το 9

ας γράψω το 9 ως 9. Εδώ πέρα.

Και τώρα ας κάνω το πρόβλημα του πολλαπλασιασμού.

Θα βάλω ένα μικρό σύμβολο του πολλαπλασιασμού εκεί πέρα.

Λοιπόν, πρώτα απ' όλα θέλω να πολλαπλασιάσω το 9 με το 6.

Και μπορεί να πείτε "ε Σαλ! Γιατί το χώρισες μ' αυτό τον τρόπο;"

Το έκανα γιατί ήθελα να ξεχωρίσω τη θέση των μονάδων από τη θέση των δεκάδων.

Αυτό εδώ πέρα είναι στη δεύτερη στήλη,

δεν είναι ένα 1, είναι ένα 10.

είναι ένα 10 συν ένα 6,

γι' αυτό λοιπόν ήθελα να το γράψω έτσι.

Τέλος πάντων, ας κάνουμε το πρόβλημα.

Το κάνουμε λοιπόν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και πριν.

Λέμε 9 επί 6...

ας το γράψω εδώ.

9 επί 6 μας κάνει 54.

Αλλά αντί να γράψω 54,

θα γράψω πως ισούται με 50 συν 4.

9 επί 6 ισούται με 50 συν 4.

Λοιπόν, αυτή εδώ είναι η στήλη των μονάδων μου.

Ας κάνω μια διακεκομμένη γραμμή.

Αυτή εδώ είναι η στήλη των μονάδων μου.

Άρα μπορώ να βάλω μόνο το 4 εδώ πέρα

και χρειάζεται να κάνω κάτι με το 50.

Πρέπει να το βάλω κάπου

και η σύμβαση, ο τρόπος με τον οποίο το έχω μάθει, λέει

να βάλω το 50 εδώ πάνω.

Θα μπορούσα διαφορετικά να βάλω το 50 εδώ κάτω αν ήθελα

αρκεί να θυμόμουν ότι αυτό το 50 μπαίνει τώρα σ' αυτή τη στήλη.

Οπότε μπορείτε να βάλετε το 50 εδώ πέρα.

Αυτό δηλαδή που κάναμε και στο πρώτο βίντεο.

Γράφω απλώς ένα 5.

Σ' εκείνο το πρώτο βίντεο, έβαλα απλώς ένα 5 εδώ

γιατί αυτό ήταν στη θέση των δεκάδων.

Ένα 5 εδώ στην πραγματικότητα σημαίνει 50.

Ένα 1 εδώ στην πραγματικότητα σημαίνει 10.

Αλλά τώρα το γράφω έτσι

ώστε να μπορείτε να δείτε ότι στην πραγματικότητα σημαίνει 50 και 10.

Και τώρα θα πείτε, "πόσο κάνει 9 επί 10;"

9 επί 10.

Το έχετε μάθει απ' έξω αυτό.

Κάθε αριθμός επί δέκα είναι ο ίδιος αριθμός με ένα 0 στο τέλος.

Άρα μας κάνει 90.

Άρα, 9x10=90...

και μετά θέλουμε να προσθέσουμε 50 σ' αυτό.

Θέλουμε λοιπόν να προσθέσουμε σ' αυτό 50.

Πόσο μας κάνει 90 συν 50;

Μας κάνει 140

Άρα, 9 x 10 = 90,

+ 50 = 140.

Και μπορούμε να ξαναγράψουμε το 140

ως 100 + 40 για να είμαστε συνεπείς.

Αυτό που θα κάνουμε λοιπόν είναι να βάλουμε το 40 εδώ πέρα,

και μετά θα μεταφέρουμε τη μία εκατοντάδα,

αλλά η μία αυτή εκατοντάδα στην πραγματικότητα δεν πάει πουθενά.

Εννοώ πως θα μπορούσαμε να το γράψουμε εδώ πάνω.

Θα μπορούσαμε να το βάλουμε...

Θα μπορούσαμε να γράψουμε το 100 εδώ.

Θα μπορούσαμε να το βάλουμε εδώ.

Υπάρχουν πολλά διαφορετικά μέρη που θα μπορούσαμε να βάλουμε το 100,

αλλά το σημαντικό είναι να ξεχωρίζει σ' αυτή την επόμενη στήλη

που ακόμα δεν έχω σχεδιάσει.

Άρα λοιπόν θα βάλουμε το 100 εδώ.

Έτσι, η απάντησή μας είναι 100 + 40 + 4

που ισούται με 144.

Ελπίζω ότι τη βρήκατε λογική αυτή την εξήγηση.

Ας δοκιμάσουμε τώρα ένα-δύο ακόμα προβλήματα

γιατί πιστεύω ότι το σημαντικό είναι να δούμε παραδείγματα.

Ας δοκιμάσουμε λοιπόν το 55 επί 8.

55 x 8.

Είναι η ίδια άσκηση.

Πρώτα, ξεκινάμε με το 8.

8 επί 5.

Ας το γράψω εδώ.

8 επί 5 ξέρουμε ότι κάνει 40.

Άρα, 8 x 5, γράφουμε το 0 εδώ πέρα.

Είναι 0 συν 40.

Και μετά λέμε 8 επί 5 ξανά.

Μας κάνει 40.

Αλλά τώρα, προσθέτουμε το 4 με αυτό εδώ, και έτσι το αποτέλεσμα είναι 44.

Άρα, 440.

Και μπορείτε να δοκιμάσετε να το κάνετε με τον τόπο που έλυσα το προηγούμενο πρόβλημα...

που το έσπασα σε 50 + 5 και μετά ένα 8.

Αλλά νομίζω ότι με περισσότερα παραδείγματα

θα δείτε ότι όλα αυτά θα γίνουν σαν δεύτερη φύση σας.

Ας κάνω λοιπόν άλλο ένα,

ας το κάνω με αυτό το ροζ χρώμα, αυτό το απαλό ροζ που μοιάζει με το χρώμα του σολομού.

Ας πούμε ότι έχουμε το 78 επί... ας πούμε επί 7.

8 επί 7.

8 x 7 μας κάνει 56.

Ας το γράψω...είναι ένα διαφορετικό πρόβλημα τώρα.

Άρα, 8 x 7 μας κάνει 56.

Γράφουμε το 6 εδώ κάτω και βάζουμε το 5 εδώ πάνω.

7 x 7 = 49.

Εφτά επί εφτά ίσον 49.

Αλλά πρέπει να προσθέσουμε αυτό το 5 εδώ πάνω, άρα προσθέτουμε αυτό το 5.

Πόσο μας κάνει 49 + 5;

Μας κάνει 54.

Έτσι έχουμε 7 x 7 = 49.

49 + 5 μας κάνει 54.

546.

Πριν από δέκα λεπτά

μπορεί να σκεφτόσασταν ότι δε θα μπορούσατε ποτέ να βρείτε τους πίνακες πολλαπλασιασμού του 78,

αλλά όπως βλέπετε είναι μια απλή διαδικασία.

Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα.

Θα γράφω παραδείγματα μέχρι να καταρρεύσουμε μαζί.

Μέχρι να καταρρεύσουμε από την κόπωση του πολλαπλασιασμού.

Ας λύσουμε το 99 επί... ας πούμε επί 3.

Πόσο μας κάνει 3 επί 9;

3 x 9 μας κάνει 27.

Βάζουμε το 7 στη θέση των μονάδων.

Βάζουμε το 2 εδώ πάνω στη θέση των δεκάδων,

γιατί είναι 20 + 7.

Δύο δεκάδες είναι 20.

Συν 7 ίσον 27.

Μετά έχουμε 3 επί 8 που μας κάνει 24.

3 x 8 = 24.

Αλλά έχω κι αυτό το 2 που κάθεται εδώ πέρα

άρα, πρέπει να προσθέσω ένα 2.

Έτσι βρίσκω 26.

3 x 8 μας κάνει 24.

24 + 2 μας κάνει 26.

267 (διακόσια εξήντα επτά)

Τώρα θα κάνω άλλο ένα,

αλλά θα το κάνω λίγο πιο δύσκολο.

Εκεί που πιστεύατε ότι θα είμαστε άνετοι μ' αυτά,

θα σας ξεβολέψω λίγο!

Ας κάνουμε το 239 (διακόσια τριάντα εννιά) επί 6.

Νόμιζα ότι αυτό το βίντεο θα εξηγεί πώς πολλαπλασιάζουμε διψήφιους με μονοψήφιους αριθμούς.

Έτσι είναι, αλλά θέλω απλώς να σας δείξω

ότι μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ένα αριθμό - όσα ψηφία κι αν έχει - με ένα μονοψήφιο αριθμό...

και στην πραγματικότητα είναι η ίδια διαδικασία.

Μπορεί και να μαντέψατε πώς θα το κάνουμε.

Λοιπόν, πόσο μας κάνει 6 x 9;

Ας το γράψω εδώ.

6 x 9.

Το έχουμε ξαναδεί αυτό πριν.

Μας κάνει 54.

Άρα βάζουμε το 4 εδώ κάτω, και βάζουμε το 5 στη θέση των δεκάδων

γιατί το 5 στο 54 στην πραγματικότητα σημαίνει 5 δεκάδες.

Έτσι λοιπόν.

Τώρα θα κάνουμε το 6 x 3.

6 x 3 λοιπόν

μας κάνει 18.

Έχουμε κι αυτό το 5 που κρέμεται εκεί πέρα...

άρα πρέπει να προσθέσουμε κι αυτό το 5 και έχουμε...

πόσο μας κάνει 18 + 5;

Άρα, 6 επί 3 μας κάνει 18, 18 συν 5, κάνει 23.

Για να είμαστε ξεκάθαροι,

δεν πολλαπλασιάσαμε το 6 με το 3 και προσθέσαμε 5

Αυτό που κάναμε στην πραγματικότητα

αν δείτε το πού βρισκόμαστε ως προς το πρόβλημά μας

αυτό είναι στην πραγματικότητα ένα 30.

Συνέβη να έχουμε ένα 3 εδώ.

Αλλά αυτό είναι 6 επί 30 συν 50.

Γιατί το 39 είναι 3 δεκάδες ή 30.

Έτσι αυτός ο αριθμός, στην πραγματικότητα, ακόμα κι αν είπαμε ότι 6 επί 3 ίσον 18

συν 5 ίσον 23,

στην πραγματικότητα είναι 230.

Άρα βάζουμε το 3 στη θέση των δεκάδων.

Ας το κάνω με άλλο χρώμα...

απ' αυτό που χρησιμοποίησα εδώ.

Ισούται με 23.

Μπορούμε να βάλουμε το 3 στη θέση των δεκάδων

και μετά να βάλουμε αυτό το 2 εδώ πέρα.

Τώρα έχουμε σχεδόν τελειώσει, μένει μόνο ένας πολλαπλασιασμός.

Μένει το 6 επί 2.

Αυτό είναι εύκολο.

Μας κάνει 12.

Αλλά έχω κι αυτό το 2 να κρέμεται εκεί πέρα

οπότε πρέπει να το προσθέσω κι αυτό.

Οπότε έχουμε συν 2.

Πόσο μας κάνει αυτό;

Μας κάνει

12 συν 2 μας κάνει 14.

Άρα γράφω το 4.

Έτσι έχουμε 6 επί 2 μας κάνει 12,

συν 2 κάνει 14.

Γράφω το 4 εδώ κάτω.

Αν υπήρχαν κι άλλα ψηφία θα έγραφα το 1 εδώ πάνω,

αλλά δεν υπάρχουν άλλα ψηφία.

Άρα, γράφω το 1 εδώ.

Έτσι 239 επί 6 κάνει 1434.

Ας κάνουμε ακόμα ένα.

Πρέπει να καθαρίσω λίγο χώρο.

Και αφού τα κάνουμε όλο και πιο δύσκολα,

aς δούμε έναν τετραψήφιο αριθμό.

Ας δούμε το 7362 επί...

ας το κάνουμε δύσκολο.

Eπί 9.

Πόσο μας κάνει λοιπόν 9 επί 2;

Και δε θα το κάνω πλάγια εδώ πέρα.

Νομίζω ότι καταλάβατε το μοτίβο.

Πόσο μας κάνει 9 επί 2;

9 επί 2 είναι 18.

18 (δεκαοχτώ).

Μετά κάνουμε το 9 επί 6.

9 επί 6 κάνει 54.

Και 54 συν 1 μας κάνει 55.

55 (πενήντα πέντε).

Πόσο κάνει 9 επί 3;

9 επί 3 κάνει 27, το έχουμε μάθει απ' έξω αυτό.

Και μετά, 27 συν 5 κάνει 32.

Ας αλλάξω χρώματα.

32 (τριάντα δύο).

Και μετά έχουμε 9 x 7.

Μας κάνει 63, αλλά έχουμε κι αυτό το 3 να περισσεύει εκεί.

Άρα έχουμε 9 επί 7 που κάνει 63,

63 συν 3 μας κάνει 66.

Γράφουμε το 6 εδώ πέρα,

και μετά δεν έχουμε πού να βάλουμε το 60 από το 66,

οπότε το γράφουμε κι αυτό εδώ πέρα.

Έτσι έχουμε 7362 επί 9

ίσον 66258.

Ελπίζω να το βρήκατε χρήσιμο!