1
00:00:00,000 --> 00:00:03,181
你作為一名古代研究數學的哲學家,

2
00:00:03,181 --> 00:00:07,185
斷定出如果正數和負數的乘法要 ...


3
00:00:07,185 --> 00:00:10,177
... 和你到目前為止所建立的、

4
00:00:10,177 --> 00:00:13,502
所懂得的乘法的特性一致，


5
00:00:13,502 --> 00:00:17,178
若要得出負數答案， 就須要一個負數乘一個正數，

6
00:00:17,178 --> 00:00:20,770
或一個正數乘一個負數。

7
00:00:20,770 --> 00:00:24,181
而要得出正數答案，就須要 ...

8
00:00:24,181 --> 00:00:27,846
... 負數乘負數。雖然你接受這些是貫徹一致的原則，

9
00:00:27,846 --> 00:00:30,845
但是你還未能完全掌握個中道理。


10
00:00:30,845 --> 00:00:35,770
你想有更深入的理解，並不僅僅接受分配性質的解釋，

11
00:00:35,770 --> 00:00:40,369
所以你再作一個思考實驗。

12
00:00:40,369 --> 00:00:45,377
你問 : 「若用一個基本乘法計算會是怎樣呢?」

13
00:00:45,377 --> 00:00:47,369
當我說, 2 x 3

14
00:00:47,369 --> 00:00:51,183
另一個理解乘法的方法 ...

15
00:00:51,183 --> 00:00:55,103
... 就是重複的加法，

16
00:00:55,103 --> 00:00:58,036
所以你可以視之為兩個 3。

17
00:00:58,036 --> 00:01:02,351
就讓我寫下 3 + 3 ，

18
00:01:02,351 --> 00:01:05,703
留意這裡有兩個 3 ，

19
00:01:05,703 --> 00:01:09,770
或者你可以視為三個 2 ，則等同 ...

20
00:01:09,770 --> 00:01:13,434
... 2 + 2 + 2。

21
00:01:13,434 --> 00:01:17,100
兩種方法來構思都 ...

22
00:01:17,100 --> 00:01:20,602
... 能達到同一個答案,

23
00:01:20,602 --> 00:01:24,597
就是 6。 合理呀!

24
00:01:24,597 --> 00:01:27,569
你嘗試解答負數問題前你已經懂的這一點。

25
00:01:27,569 --> 00:01:30,518
現在, 我們把其中一個數變成負數，


26
00:01:30,518 --> 00:01:33,369
再看一看結果。我們試做 ...

27
00:01:33,369 --> 00:01:35,516
... 2 x -3 。

28
00:01:35,516 --> 00:01:42,103
我會用另一個顏色填寫負數。

29
00:01:42,103 --> 00:01:46,309
2 x -3

30
00:01:46,309 --> 00:01:49,851
用同之前一樣的方式看待，

31
00:01:49,851 --> 00:01:52,853
這裡有兩個 -3, 所以是負數，

32
00:01:52,853 --> 00:01:56,767
我嘗試用不同顏色來辨認 ...

33
00:01:56,767 --> 00:02:01,042
... 這一個 -3 和另一個 -3 ，

34
00:02:01,042 --> 00:02:05,180
或你可以說是 -3 減 3。

35
00:02:05,180 --> 00:02:08,568
這正是有趣的地方，

36
00:02:08,568 --> 00:02:11,036
與這邊的 2 x 3 不同，

37
00:02:11,036 --> 00:02:14,310
並非將 2 加三次。

38
00:02:14,310 --> 00:02:15,885
因為這邊是 2 x -3，

39
00:02:17,460 --> 00:02:19,036
你也可以想像你要減 2 三次。

40
00:02:19,036 --> 00:02:21,700
與上面不一樣，

41
00:02:21,700 --> 00:02:26,519
因為這邊都是正數，所以可寫成 2 + 2 + 2 ，

42
00:02:26,519 --> 00:02:29,436
但因為這個 3 是負數,

43
00:02:29,436 --> 00:02:33,702
我們可以想像成減 2 三次，則是 ...

44
00:02:33,702 --> 00:02:37,930
... -2 減 2、

45
00:02:37,930 --> 00:02:43,186
-2 再減 2、

46
00:02:43,186 --> 00:02:46,102
再減 2、

47
00:02:46,102 --> 00:02:54,936
你減了三次。

48
00:02:54,936 --> 00:02:59,932
總括來說你減了 2 三次。


49
00:02:59,932 --> 00:03:03,770
不論你用那一個方法構想 ,


50
00:03:03,770 --> 00:03:07,264
都會得出 -6 , 


51
00:03:07,264 --> 00:03:10,186
-6 就是答案。

52
00:03:10,186 --> 00:03:16,264
現在, 你已經開始對這部份有掌握了:

53
00:03:16,264 --> 00:03:18,369
負數乘正數, 或正數乘負數，


54
00:03:18,369 --> 00:03:21,600
都會得出負數答案。現在我們要處理一個有違直覺的題目，


55
00:03:21,600 --> 00:03:24,685
就是負數乘負數時, 兩個負數互相取消 ...

56
00:03:24,685 --> 00:03:28,037
... 變成一個正數答案. 為什麼會這樣呢?


57
00:03:28,037 --> 00:03:30,969
我們用這個例子解釋。

58
00:03:30,969 --> 00:03:35,934
比如我們有一個 -2 ...

59
00:03:35,934 --> 00:03:38,103
... 一個 -2, 讓我用另一個顏色寫,

60
00:03:38,103 --> 00:03:42,851
比如我們有一角 -2 , 我已經用過這個顏色

61
00:03:42,851 --> 00:03:45,239
-2 x -3

62
00:03:45,239 --> 00:03:48,702
-2 x -3

63
00:03:48,702 --> 00:03:53,975
現在，我們可用兩個方式看待，我會先做這個題目。

64
00:03:53,975 --> 00:03:57,775
讓我們把某個數目乘以 -3 : 我們會 ...

65
00:03:57,775 --> 00:04:01,234
重複減去那個數目三次, 不管它是甚麼。

66
00:04:01,234 --> 00:04:05,769
現在這個數目不是 + 2 ，


67
00:04:05,769 --> 00:04:08,636
我們要減三次的是 - 2，

68
00:04:08,636 --> 00:04:10,902
讓我澄清一下。這裏的意思是我們要減某個數目三次 ...

69
00:04:10,902 --> 00:04:13,969
減去某數、 減去某數、

70
00:04:13,969 --> 00:04:17,104
減去某數共三次。

71
00:04:17,104 --> 00:04:20,642
這就是這部份告訴我們的。

72
00:04:20,642 --> 00:04:24,302
我們便照做足三次，

73
00:04:24,302 --> 00:04:28,369
在這裡，我們減了三次的數字是 +2 , 現在我們要 ...

74
00:04:28,369 --> 00:04:32,271
... 減的是 -2 ，現在我們則要減 -2。

75
00:04:32,271 --> 00:04:35,770
我們已經確立了一種直覺，知道減負數 ...

76
00:04:35,770 --> 00:04:39,434
... 就如同拿走一個人的債務，

77
00:04:40,368 --> 00:04:46,105
也就是如同加正數一樣, 所以這個算式 ...

78
00:04:46,105 --> 00:04:50,370
... 等同 2 + 2 + 2 ，

79
00:04:50,370 --> 00:04:53,606
這就再次告訴我們，答案是 + 6 。

80
00:04:53,606 --> 00:04:56,901
而你在這裡也可以應用相同的邏輯 ，

81
00:04:56,901 --> 00:05:00,302
不同的是並非加 - 3 兩次, 在這個例子中我可以寫成 ...

82
00:05:00,302 --> 00:05:03,854
... - 3

83
00:05:03,854 --> 00:05:05,569
讓我這樣寫下來，- 3 ...

84
00:05:05,569 --> 00:05:11,523
... -3, 我們把它們加起來 ...

85
00:05:11,523 --> 00:05:15,299
在這裡放正號,

86
00:05:15,299 --> 00:05:18,602
... 讓我在這裡寫一個正號以作澄清，

87
00:05:18,602 --> 00:05:23,349
或因為這邊有個 - 2，我們便減 ...

88
00:05:23,349 --> 00:05:26,184
... -3 兩次。當我們減一個數,

89
00:05:26,184 --> 00:05:30,102
再減一個數, 而這個數 ...


90
00:05:30,102 --> 00:05:33,440
... 正是 - 3, 因此我要寫 ...

91
00:05:33,440 --> 00:05:37,036
... 負號、負號，然後將 3 放在這裡，

92
00:05:37,036 --> 00:05:41,241
再一次, 減 -3 等同拿走一個人的債務,

93
00:05:41,241 --> 00:05:43,182
即是和送錢一樣，

94
00:05:43,182 --> 00:05:48,274
也就是 3 加 3，則同樣是 6。所以你，

95
00:05:48,274 --> 00:05:51,439
作為一名古代哲學家, 應該感覺還不錯。不僅以上原則 ...

96
00:05:51,439 --> 00:05:55,105
... 和你到目前為止所解理的數學一致，

97
00:05:55,105 --> 00:05:58,369
分配性質、結合性質、乘法等等，

98
00:05:58,369 --> 00:06:00,767
一切都是你本來已經知道的，


99
00:06:00,767 --> 00:06:04,772
這些原則你能夠在概念上解理, 而且合乎

100
00:06:04,772 --> 00:06:08,108
你原本的記法、對正數乘法的記法，

101
00:06:08,108 --> 00:06:12,108
那就是重複的加法。