Das sind die ersten fünf Elemente einer Zahlenfolge.
Kommst du auf das nächste?
[Drück "Pause", wenn du selbst rechnen willst.]
[Antwort in:]
Es gibt ein Muster,
aber vielleicht nicht so, wie du es dir vorstellst.
Sieh dir die Folge noch einmal an und lies sie laut vor.
Sieh dir nun die nächste Zahl in der Folge an.
3, 1, 2, 2, 1, 1.
Drück noch mal "Pause", wenn du weiter nachdenken willst.
[Antwort in:]
Das ist eine "Du sagst, was du siehst"- oder Conway-Folge.
Im Gegensatz zu vielen Zahlenfolgen
beruht sie nicht auf der mathematischen Eigenschaft der Zahlen,
sondern auf deren Schreibweise.
Fang mit der ersten Ziffer der Ausgangszahl an.
Lies nun vor, wie oft sie nacheinander vorkommt,
und lies danach den Namen der Ziffer.
Geh dann zur nächsten Ziffer und wiederhole das bis zur letzten.
Also liest man die Zahl Eins als "eine Eins"
und notiert das so, als ob man eine Elf schreibt.
Das ist als Teil der Folge natürlich nicht die Zahl Elf;
es sind zwei Einsen,
die wir dann als 2 1 schreiben.
Diese Zahl liest man dann als 1 2 1 1,
also ausgeschrieben als "eine Eins, eine Zwei, zwei Einsen" usw.
Der Mathematiker John Conway erforschte diese Folgen als Erster.
Er bemerkte ihre interessanten Eigenschaften.
Beginnt man etwa mit der Zahl 22,
erhält man eine unendliche Schleife von zwei Zweien.
Aber mit jeder beliebigen anderen Zahl
wächst die Folge auf ganz spezielle Arten.
Obwohl die Anzahl der Ziffern ständig zunimmt,
scheint diese Zunahme weder linear noch zufällig.
Tatsächlich ergibt sich bei unendlicher Erweiterung der Folge ein Muster.
Das Verhältnis der Anzahl der Ziffern in zwei aufeinanderfolgenden Gliedern
nähert sich allmählich einer einzigen Zahl an,
der Conway-Konstante.
Sie ist etwas größer als 1,3.
Die Anzahl der Ziffern
steigt also mit jedem Schritt in der Folge um etwa 30 %.
Wie ist es mit den Zahlen selbst?
Das ist sogar noch interessanter.
Außer bei der sich wiederholenden Folge von 22
reduziert sich jede mögliche Folge letztendlich auf klare Ziffernreihen.
Egal in welcher Reihenfolge sie auftreten,
jede zeigt sich in ihrer Gesamtheit bei jedem Auftreten ungebrochen.
Conway identifizierte 92 dieser Elemente,
von denen alle nur aus den Ziffern 1, 2, und 3 bestehen,
sowie zwei weitere Elemente,
deren Varianten mit jeder Ziffer ab 4 enden können.
Egal welche Zahl man in die Folge einsetzt,
letztendlich besteht sie nur aus diesen Kombinationen,
wobei Ziffern größer oder gleich vier
nur am Ende der zwei zusätzlichen Elemente auftauchen --
wenn überhaupt.
Außer dass sie ein tolles Rätsel ist,
findet die Conway-Folge auch in der Praxis Anwendung.
Die Lauflängenkodierung z. B.,
eine Datenkompression,
die für Fernsehsignale und digitale Grafiken benutzt wurde,
basiert auf einem ähnlichen Konzept.
Die Zahl der Wiederholungen eines Datenwertes innerhalb des Codes
wird selbst als Datenwert festgehalten.
Solche Folgen sind ein gutes Beispiel,
wie Zahlen und andere Symbole
auf mehreren Ebenen Bedeutung vermitteln können.