இந்தக் காணொளியில் காணப்போவது வழக்கமான ஒன்றுதான்.
வகுத்தல் ஒன்றும் நமக்குப் புதிதல்ல. சொல்லப்போனால் நம் அன்றாட வாழ்க்கையுடன் தொடர்புடையது வகுத்தல்.
அதற்கொரு எடுத்துக் காட்டைக் காண்போம்.
அம்மா கொடுத்த பணத்தில் ஒரு பகுதியை உன் தம்பிக்குக் கொடுத்திருப்பாய்.
உணவருந்தும் போது உன் டப்பாவில் நான்கு சப்பாத்தி இருக்குமானால் அதில் இரண்டை நண்பனுக்குப் பகிர்ந்து தருகிறாய்.
"பிரித்தல்" “பகிர்தல்” வகுத்தல் இவையனைத்தும் ஒரே பொருளைக் குறிக்கும் பல வார்த்தைகள்.
இங்கே சில எடுத்துக் காட்டுகளைப் பார்க்கலாம். என்னிடம் நான்கு கால் டாலர்கள் உள்ளன.
அமெரிக்காவில் கால் டாலர் என்பது செல்லுபடியாகும் நாணயம்.
அவற்றை வரைந்து கொள்வோம். இங்கே நான்கு குவார்டர் நாணயங்கள் உள்ளன.
அதில் ஜார்ஜ் வாஷிங்டனின் உருவம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.
இங்கே இரண்டு பேர் இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம்.
இந்த நாணயங்களை நாங்கள் இருவரும் பிரித்துக் கொள்கிறோம்.
இது நான்.
என்னை அழகாக வரைந்து கொள்கிறேன்.
அவ்வளவு அழகாக இல்லை. சரி நான் சுமாரான அழகு என்று வைத்துக் கொள்வோமே.
எனக்குத் தலைமுடி நிறைய இருக்கிறது.
அந்தப் பக்கம் நீ.
நீயும் அழகு தான்.
ஆனால் தலை மட்டும் வழுக்கை. தவறாக நினைக்க வேண்டாம். வேறுபாடு தெரிய வேண்டும் இல்லையா..? அதற்காகத் தான்.
சரி கவலை வேண்டாம் பக்கக் குறுமீசை போட்டுக் கொள்ளலாம்.
சரி போனால் போகிறது கொஞ்சம் தாடியும் வைத்து விடலாம்.
அது நீ. இது நான்.
இப்பொழுது இந்த நான்கு நாணயங்களையும் நாம் இருவரும் பிரித்துக் கொள்ளப் போகிறோம்.
இங்கு இருப்பது நான்கு நாணயங்கள்.
இவற்றை நம் இருவருக்கும் பிரிக்கிறோம்.
இங்கே இருப்பது நாம் இருவர் தானே....
நாம் இருவர் மட்டுமே என்பதால்
நான்கு நாணயங்களை இரண்டாகப் பிரித்துக் கொள்வோம்.
இதைப்போல்
நம் ஒவ்வொருவருக்கும் இரண்டு இரண்டு நாணயங்களாகப்
பங்கிட்டுக் கொள்வோம்.
ஆளுக்கு இரண்டு நாணங்கள் கிடைத்து விட்டன.
நாம் எடுத்துக் கொண்டது நான்கு நாணயங்கள்.
பிரித்தது இரண்டு சம பங்குகள்.
இதைத் தான் கணித வார்த்தையில் வகுத்தல் என்கிறோம்.
நாம் செய்தது என்ன..? நம்மிடமிருந்த நாணயங்களை 2 பிரிவுகளாக மாற்றினோம்.
நான்கு நாணயங்களை இரண்டு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கும்
ஒவ்வொருவருக்கும் இரண்டு நாணயங்கள் கிடைக்கின்றன.
நான்கை இரண்டாகப் பிரிக்கும் பொழுது
இரண்டு பிரிவு ஆகிறது.
முதல் பிரிவு இது.
இங்கிருப்பது இரண்டாவது பிரிவு.
ஒவ்வொரு பிரிவிலும் எத்தனை உள்ளன?
அல்லது ஒவ்வொரு பிரிவிலும் எத்தனை குவார்டர் நாணயங்கள் உள்ளன?
ஒவ்வொன்றிலும் இரண்டு நாணயங்கள்
பளிச்சென்ற நிறம் கொடுக்கிறேன்.
ஒவ்வொரு பிரிவிலும் 2 குவார்டர்கள் உள்ளன.
ஒரு பிரிவில் 2. இன்னொரு பிரிவில் 2
இதைக் கணித வடவில் எழுதிக் கொள்ளலாம்.
இது போன்ற வகுத்தல் கணக்குகள் நம் அன்றாட வாழ்வில் நிகழக் கூடியது தான்.
வரைபடத்தை முழுமையாகப் பார்ப்போம்.
கணித முறைப்படி எப்படி எழுதுவது?
இது தான் நாம் வகுக்க வேண்டிய நான்கு.
சரியான நிறம் தருகிறேன்
இந்த நான்கானது இரண்டு பிரிவாக வகுக்கப்படுகிறது.
இது ஒரு பிரிவு. இது இன்னொரு பிரிவு.
ஆக இரண்டு பிரிவுகளாகிறது.
4 ÷2=2
நான்கை இரண்டாகப் பிரிக்கும் பொழுது
ஒவ்வொரு பிரிவிலும் இரண்டு குவார்டர்கள் உள்ளன.
இரண்டு சம பாகங்களாக உள்ளன.
இந்த எடுத்துக் காட்டு நம் வாழ்நாள் முழுவதும் பயன்படக் கூடிய கணக்கு ஆகும்.
இதே போல நான் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய இன்னொரு கணித முறை
வகுத்தல் என்பதற்கு எதிர்மறையாக இருக்கிற பெருக்கல் ஆகும்.
இரண்டு குவார்டர்களைக் கொண்ட குழுக்கள் இரண்டு உள்ளன.
இந்த இரண்டு குழுக்களை அதாவது இரண்டை இரண்டால் பெருக்கினால்
கிடைப்பது நான்கு குவார்டர் நாணயங்கள்.
எப்படிப் பார்த்தாலும் இரண்டுமே ஒன்றுதான்.
இரண்டு முறையிலும் கணக்கைப் பார்த்து விட்டால் நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம்.
மேலும் சில எடுத்துக் காட்டுகளைப் பார்க்கலாம்.
அடுத்து நாம் பார்க்கப் போகிற கணக்கு
எண் ஆறினை வகுக்கும் ஒரு கணக்கு
தெளிவாகத் தெரியும்படி நிறம் கொடுக்கலாம்.
6ஐ மூன்றால் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் விடை என்ன...?
இங்கு 6 பொருட்களை வரைந்து கொள்ளலாம்.
பொருட்கள் என்ன என்பது இங்கு முக்கியமல்ல.
சரி குட மிளகாய்கள் என்று வைத்துக் கொள்வோமே. நம்மிடம் இருப்பது ஆறு.
நாம் எப்படி வரைந்தாலும்
இதுதான் குடமிளகாய் என்று சொல்லிக் கொள்ளலாம்.
இப்படித் தான் இருக்கும் என்று சொல்வதற்கில்லை. அதன் வடிவம் நமக்குத் தெரிந்தது தான்.
1, 2, 3, 4, 5, 6.
இந்த ஆறை மூன்றால் வகுக்க வேண்டும்.
இந்தக் கணக்கைச் செய்வதற்கு ஒரு முறை இருக்கிறது.
நம்மிடமுள்ள 6 மிளகாய்களையும்
3 சமபாகங்களாகப் பிரித்துக் கொள்வோம்.
இதனை மூன்று பேருக்குப் பிரித்துத் தருகிறோம்.
ஒவ்வொருவரும் எத்தனை மிளகாய்களைப் பெறுவார்கள்?
முதலில் இவற்றை 3 பிரிவுகளாகப் பிரிக்கலாம்.
நம்மிடம் இருப்பது 6 மிளகாய்கள்
அதனை மூன்று பிரிவாக ஆக்குகிறோம்.
இதை மூன்றாகப் பிரிப்பதற்கு சிறந்த வழி
இது ஒருபிரிவு, இது ஒரு பிரிவு,
இது மூன்றாவது பிரிவு.
இப்பொழுது ஒவ்வொரு பிரிவிலும் எத்தனை மிளகாய்கள் உள்ளன....?
ஒன்று, இரண்டு மிளகாய்கள் உள்ளன.
6ஐ 3ஆல் வகுத்தால் கிடைப்பது இரண்டு.
எனவே இதற்குச் சிறந்த வழி
6ஐ 3 பிரிவுகளாக மாற்றுவது தான்.
இதனைச் சற்றே வேறு விதமாகவும் செய்யலாம்.
அதுவும் எளிமையானது தான்.
ஆறினை மூன்றால் வகுப்பதும் சுலபமானது தானே...
இவை ராஸ்பெர்ரி பழங்கள். ராஸ்பெர்ரியை வரைவதும் சுலபம் தான்.
1,2,3,4,5,6
கடந்த முறை போலவே இதனை வகுப்பதற்கு முன் மூன்று குழுக்களாகப் பிரிந்துக் கொள்வோம்.
1,2,3 பிரிவுகளாக மாறி விட்டோம்.
3 பிரிவுகளாகப் பிரிப்பதற்கு பதில்
ஆறினை மூன்றால் வகுக்க வேண்டுமென்றால்
நாம் மூன்றின் குழுக்களை வகுக்க வேண்டும்
மூன்று குழுக்களுக்குள் அல்ல.
மூன்றின் குழுக்களை வகுப்போம்.
3 பொருட்களாக உள்ள குழுக்கள் எத்தனை...?
குடமிளகாய்க் குழுக்களை வரைந்து கொள்வோம்.
இங்கு ஒரு மூன்றின் குழு....
இது இரண்டாவது குழு. இதிலும் மூன்று மிளகாய்கள் உள்ளன.
6 பொருள்களை எடுத்து, மூன்று உள்ள இரண்டு குழுக்களாக மாற்றியுள்ளோம்.
2 இப்போது நம்மிடம் இரண்டு குழுக்கள் உள்ளன.
வகுத்தலுக்கு மற்றொரு முறை உள்ளது.
இது மிகவும் சுவாரஸ்யமானது.
இந்த இரண்டிற்குமான தொடர்புகளை
ஆறை மூன்றால் வகுப்பதாகவும் ஆறினை இரண்டால் வகுப்பதாகவும் பார்க்கலாம்.
இதனை இங்கே எழுதிக் கொள்வோம்.
ஆறினை இரண்டால் வகுத்தால் கிடைப்பது என்ன..?
இவ்வாறு 2 ஆல் வகுப்பது என்றால்
முதலில் 6 பொருட்களையும் வரைந்து கொள்வோம்.
அதை இரண்டாகப் பிரித்துக் கொள்வோம்.
இது ஒரு குழு.
இது இன்னொரு குழு.
ஒவ்வொரு குழுவிலும் 3 பொருட்கள் உள்ளன.
இதில் மூன்று பொருட்கள்.
6ஐ 2ஆல் வகுக்கும் பொழுது கிடைப்பது 3.
அல்லது இதனை இன்னொரு முறையிலும் செய்யலாம்.
ஆறு இரண்டால் வகுபடுகிறது.
இங்கு 1,2,3,4,5,6 என 6 பொருட்கள் உள்ளன.
இவற்றை இரண்டின் குழுக்களாகப் பிரிக்கிறோம்.
இதில் ஒவ்வொரு குழுவிலும் 2 பொருட்கள் உள்ளன.
இது ஒரு வகையில் சுலபமானதும் கூட.
ஒவ்வொரு குழுவிலும் இருப்பது 2 பொருட்கள்.
ஒரு குழு இங்கு உள்ளது.
மற்றொரு குழு அங்குள்ளது.
ஒன்றிற்கொன்று தொலைவில் இருந்தால் நல்லது.
இவை இரண்டு குழுக்கள்.
இப்பொழுது நம்மிடம் இருப்பது எத்தனை குழுக்கள்...?
1, 2, 3
நம்மிடம் 3 குழுக்கள் உள்ளன.
ஆறினை மூன்றால் வகுத்தால் இரண்டு கிடைக்கும் என்பது எதேச்சைச் செயல் அல்ல.
ஆறை இரண்டால் வகுத்தால் இரண்டு என்பது கணிதப்பூர்வமானது.
அதனை எழுதிக் கொள்வோம்.
6 வகுத்தல் 3 சமம் 2
ஏன் 3ஐயும் 2ஐயும் இடமாற்றுகிறோமென்றால்
மூன்றை இரண்டு முறைப் பெருக்கினால் கிடைப்பது ஆறு.
நம்மிடம் மூன்று மூன்றாக இரண்டு குழுக்கள் இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம்.
இதனைக் காட்சிப்படுத்த வரைந்து கொள்வோம்.
மூன்று பொருட்கள் கொண்ட குழு அங்கு ஒன்று. இங்கு ஒன்று.
இரண்டு மூன்றுகள் சேர்ந்தால் ஆறு.
மூன்றை இரண்டு முறை எடுத்தால் அது ஆறுக்குச் சமம்
இதை வேறு வழியிலும் யோசிக்கலாம்.
என்னிடம் 2 பொருட்கள் கொண்ட 3 குழுக்கள் உள்ளன.
இரண்டு பொருட்கள் கொண்ட ஒரு குழு இங்குள்ளது.
மற்ற ஒரு குழு இங்குள்ளது.
மூன்றாவது குழு இது.
இது எதற்குச் சமம்.
மூன்று முறை இரண்டு என்றால்
அதுவும் 6 க்குச் சமம்.
இரண்டு முறை 3ம் 6க்குச் சமம்.
3 x 2 = 6
இதைப் பெருக்கலின் காணொளியில் பார்த்தோம்.
வரிசை இங்கு முக்கியமில்லை.
எனவே தான் ஒரு எண்ணை வகுக்கும் பொழுது
வேறு வேறு முறைகளைப் பின்பற்றுகிறோம்.
6 பொருட்களை, இரண்டிரண்டாகப் பிரித்தால் மூன்று குழுக்கள் கிடைக்கும்.
அதே 6 பொருட்கள். அதை மூன்று மூன்றாகப் பிரித்தால் 2 குழுக்கள் கிடைக்கும்.
மேலும் சில கணக்குகளைப் பார்ப்போம்.
வகுத்தலை எந்தெந்த முறையில் செய்யலாம் என்பது இப்போது புரிந்து விட்டது இல்லையா...?
அடுத்து மற்றொரு சுவாரஸ்யமான கணக்கு
இங்கே ஒன்பதை நான்கால் வகுக்கிறோம்.
இந்தக் கணக்குப் போட எளிதாக 9 பொருட்களை வரைந்து கொள்வோம்.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
9ஐ 4ஆல் வகுக்கும் பொழுது
ஒரு குழுவிற்கு 4 இருக்குமாறு பிரித்துக் கொள்ளலாம்.
ஒவ்வொரு குழுவிலும் 4 இருக்குமாறு பிரிப்பது எப்படி. ?
இதை இப்படிச் செய்து பார்க்கலாமா..?
நம்மிடம் இங்கே 4 பொருட்கள் உள்ள ஒரு பிரிவு உள்ளது.
நான்கை எப்படி வேண்டுமானாலும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
இது 4 கொண்ட ஒரு குழு.
இதுவும் 4 கொண்ட இன்னொரு குழு.
ஆனால் இதில் ஒன்று மீதியாக இருக்கிறது.
இதை" மீதி" என்று தான் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
எந்தக் குழுவிலும் சேர்க்க முடியாது.
ஒன்பதை நான்கால் வகுக்கும் பொழுது
இப்படித் தான் பிரிக்க முடியும்.
இதன் மூலம் கிடைக்கும் விடை நம்மிடம் ஒரு புதிய எண்ணத்தை உருவாக்குகிறது.
ஒன்பதை 4 ஆல் வகுக்கும் பொழுது வருவது 2 குழுக்கள்.
இது ஒரு குழு..... இது மற்றொரு குழு.....
மிச்சமிருப்பது ஒன்று.
இதை என்ன செய்வது....?
மிச்சமாக இருப்பதை என்ன செய்ய முடியும். அப்படியே இருக்க விட வேண்டியது தான்.
9ஐ 4ஆல் வகுக்கும்பொழுது கிடைப்பது 2.மீதி 1.
12ஐ 4ஆல் வகுப்போம்.
1, 2,,3 , 4 ,5 , 6 ,7 ,8 , 9, 10 11 ,12.
இங்கு இதை எழதுகிறேன்.
12 ÷ 4
இங்கு இந்த 12 பொருள்களையும் பிரிக்கிறேன்.
அவை ப்ளம் அல்லது ஆப்பிள் எனக் கொள்வோம்.
ஒவ்வொரு குழுவிலும் 4ஐ வைத்துப் பிரிப்போம்.
இங்கு அவ்வாறு பிரிக்கிறேன்.
இது நான்கு கொண்ட ஒரு குழு.
இது இன்னொரு 4ஐ கொண்ட குழு.
இது மிகவும் சுலபமாக உள்ளது.
இது 4ஐக் கொண்ட 3வது குழு.
இது இவ்வளவுதான்.
இதில் மீதி இல்லை.
12 பொருள்களையும் 4பொருள்கள் கொண்ட 3 குழுக்களாகப் பிரித்தேன்.
4 பொருட்கள் கொண்ட 3 குழுக்கள்.12
12 ÷ 4 =3
நாம் கடந்த காணொளியில் செய்த பயிற்சியை செயயமுடியும்.
12 ÷ 3 என்ன?
புதிய நிறம் கொடுத்தல்.
12 ÷ 3
இதுவரை கற்றுக் கொண்டதிலிருந்து
மூன்றுமுறை நான்கு 12
இதை நிரூபிப்போம்.
1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12.
இதை 3 பிரிவுகளாக்குவோம்.
கொஞ்சம் வித்தியாசமாகச் செய்கிறேன்.
இதற்கு நல்ல வரிசை தேவையில்லை.
ஒரு குரூப்பில் 3 பொருட்கள் உள்ளன.1
12 ÷ 3
3 பொருட்கள் உள்ள ஒரு குழு.
இதுவும் 3 பொருட்கள் உள்ள ஒரு குழு.
மற்ற இரண்டும் இவ்வாறே.
இதை செய்ய ஒரு சுலபமான வழி உள்ளது
இப்படி செய்வதைவிட
ஆனால் இங்கு அது தேவை இல்லை.
3 அடங்கிய குழுக்களாகப் பிரிக்க வேண்டும்.
எத்தனை குழுக்கள் உள்ளன?
ஒன்றாவது
இரண்டாவது
மூன்றாவது குழு.
வேறு நிறம் மாற்றுதல்.
இது நான்காவது குழு.
இப்பொழுது சரியாக நான்கு குழுக்கள் உள்ளன.
வகுத்தலில் மிகவும் சுலபமான வழி
தெளிவான வழி
நான் இவைகளை மூன்றுமூன்றாகப் பிரிக்க வேண்டும்.
மூன்றுமூன்றாக அடங்கிய 1,2,3,4 குழுக்கள்.
இந்த வழிகளில் 12 பொருட்களை மூன்றுமூன்றாகப் பிரிக்கிறேன்.
இந்த வழியில் நீ யோசிக்கலாம்.
மீதியைத் தரும் இன்னொரு கணக்கை
இங்கு பார்ப்போம்.
14ஐ 5ஆல் வகுபடும்பொழுது வரும் விடை என்ன?
14 பொருட்களை வரைகிறேன்.
1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.
14 பொருட்கள்.
இதை 5 அடங்கிய குழுக்களாகப் பிரிக்கிறேன்.
இது ஒரு குழு,
இது இன்னொரு இரண்டாவது குழு.
இதில் மீதி நான்கு உள்ளது.
5 அடங்கிய இன்னொரு குழுவை உண்டாக்க முடியாது.
இதற்கு விடை 5பொருட்கள் அடங்கிய 2 குழுக்கள்
மீதி நான்கு.
இரண்டு மீதி நான்கு.
உனக்கு தேவையான பயிற்சி கிடைத்ததும்
இம்மாதிரி படங்கள் வரைந்து
வகுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.
ஆனால் அது தவறு இல்லை.
வேறு வழியிலும் இதை யோசிக்கலாம்.
14, நான்கால் வகுபடுகிறது.
இதை இன்னொரு வழியில் எழுதலாம்.
இப்படி எழுதுவதால் தவறெதுவும் இல்லை.
14ஐ 4ல் வகுப்பதை
14 ÷ 5 என்றும் எழுதலாம்.
இனி அடுத்து பார்ப்போம்.
14ல் எத்தனை ஐந்துகள் ?
பார்ப்போம்.
5 ஆம் வாய்ப்பாட்டை ஞாபகப்படுத்திக் கொள்.
ஐந்துமுறை ஒன்று 5
ஐந்துமுறை இரண்டு 10
ஆனால் 14ஐ விட 10 குறைவு.
5முறை 3 என்பது 15 ஆகிறது.
15,14ஐ விட அதிகம்.அதனால் பின் செல்கிறேன்.
இரண்டு ஐந்துகள்.
இரண்டு முறை 5
இரண்டு முறை ஐந்து என்பது 10
பின் இதை கழித்தல் வேண்டும்
பதினான்கிலிருந்து பத்தைக் கழித்தால் நான்கு.
அதே மீதிதான் இங்கும்.
பதினான்கில் இரண்டு ஐந்துகள் உள்ளன.
ஐந்து கொண்ட இரு குழுக்கள் உள்ளன.
அவை பத்துக்குச் சமம்.
இன்னும் மீதி 4 உள்ளது.
மேலும் சிலவற்றைச் செய்வோம்.
வகுத்தல்பற்றி இங்குள்ளதை நீ நன்கு தெளிவாக்கிக் கொள்ளவேண்டும்
இந்த குறிமுறையை பயன்படுத்தி எழுதுகிறேன்.
இங்கு எட்டு இரண்டால் வகுபடுகிறது.
8ஐ இவ்வாறு எழுதுகிறேன்.8--
அது என்னவாக இருக்கும்.
அதுதான் கேள்வி.
எட்டு இரண்டால் வகுபடுகிறது என்றும் இதை எழுதலாம்.
இரண்டாவதில் அரைவட்டம் போட்டுள்ளேன்.
அதை போடாமலும் செய்யலாம்.
இரண்டு முறை ஒன்று இரண்டுக்குச் சமம்.
இப்படி எட்டுவரை போகலாம்.
இதைவிட பெரிய எண்ணை கூட எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
இரண்டால் பெருக்கும்பொழுது எட்டு எண் வருகிறது.
இரண்டு முறை இரண்டு நான்கிற்குச் சமம்.
இது எட்டிற்கும் குறைவாக உள்ளது.
இரண்டு முறை மூன்று ,ஆறு.
இதுவும் எட்டிற்குக் குறைவாக உள்ளது.
இரண்டுமுறை
இரண்டு முறை நான்கு சரியாக எட்டு.
நான்குமுறை இரண்டு எட்டாகிறது.
எட்டில் நான்கு முறை இரண்டு உள்ளது.
எட்டை இரண்டால் வகுத்தால் வரும் விடை நான்கிற்குச் சமம்.
வட்டத்தைக்கூட போட்டுக் கொள்ளலாம்.
ஒன்று,இரண்டு,மூன்று,நான்கு,ஐந்து,ஆறு,ஏழு,எட்டு.
கொஞ்சம் குளறுபடியாக வரைந்துள்ளேன்.
இதை இரண்டிரண்டாகப் பிரிப்போம்.
ஒன்று, இரண்டு
மூன்று,நான்கு 2பொருட்கள் கொண்ட குரூப் உள்ளது.
என்னிடமுள்ள எட்டு பொருட்களை இரண்டிரண்டாகப் பிரித்ததில்
கிடைத்தது நான்கு குரூப்புகள்.
எனவே எட்டை இரண்டால் வகுத்தால் கிடைப்பது நான்கு.
இந்த செயல்முறைகள் உனக்கு உதவும் என நம்புகிறேன்.