Gondolom már hallottad az a szót, hogy osztás,
például valaki azt mondja neked, hogy osszál el valamit.
Oszd el a pénzt közted és a testvéred között,
vagy közted és a haverod között.
Ez azt jelenti, hogy valamit szétvágunk.
Hadd írjam le a szót osztás (Divide a ford.).
Mondjuk van négy negyeddollárosom.
Megteszem a tőlem telhetőt, hogy negyeddollárost rajzoljak.
Van négy darab negyeddollárosom, pont mint ezek.
Ez pedig George Washington a negyeddollároson az én értelmezésemben.
Mondjuk, hogy ketten vagyunk,
és fel fogjuk osztani a negyeddollárosokat magunk között.
Ez itt én vagyok.
Megpróbálom lerajzolni magamat a legjobb tudásom szerint.
Na ez itt én volnék.
Lássuk csak, jó sok hajam van.
És ez pedig te vagy ott.
Tényleg igyekszem.
Mondjuk, hogy kopasz vagy.
De van oldalszakállad.
Lehet, hogy egy kis szakállad is van.
Szóval ez vagy te, ez meg én,
és el fogjuk osztani ezt a négy negyeddollárost kettőnk között.
Négy darab negyeddollárosunk van
és kettőnk között fogjuk elosztani.
Ketten vagyunk.
Amit ki akarok emelni, az a kettes szám.
Szóval elosztjuk a négy negyeddollárost kettő felé.
Kettőn között fogjuk felosztani.
Valószínű, hogy csináltál már valami hasonlót.
Mi fog történni?
Nos, mindegyikőnk kap két negyeddollárost.
Hadd osszam el.
Két felé fogjuk osztani.
Lényegében annyit csináltam, hogy fogtam a négy negyeddollárost
és két egyenlő csoportra osztottam.
Két egyenlő részre.
Ez az osztás.
Felszabdaltuk ezeket a negyeddollárosokat, két egyenlő részre.
Négy negyeddollárost osztasz két csoportra,
ez volt a négy negyeddolláros.
És ezt akarod két csoportra osztani.
Ez az egyes csoport.
Itt az egyes csoport.
És ez itt a kettes csoport.
Mennyi is van mindegyik csoportban?
Vagyis hány negyeddollárosunk van mindegyik csoportban?
Mindegyik csoportban van egy, kettő negyeddolláros.
Kicsit világosabb színt kell választanom.
Van egy, kettő negyeddolláros mindegyik csoportban.
Egy negyeddolláros és két negyeddolláros mindegyik csoportban.
Írjuk le ezt a matematika nyelvén,
amit akkor csináltál,
amikor pénzt osztottál szét
közted és a testvéred vagy a haverod között.
Hadd görgessem egy kicsit odébb,
hogy lásd az egészet.
Hogyan írjuk le ezt a matematika nyelvén?
Írhatjuk, hogy négy osztva -- ez a négy.
A megfelelő színt veszem elő.
Szóval ez a négy, ami ez a négy, két csoportra osztva,
ez a két csoport: egyes csoport és ez a kettes csoport itt.
Két csoportra osztva vagy két kupacra.
Négy osztva kettővel az egyenlő --
amikor a négyet két csoportra osztod,
mindegyik csoportba két negyeddolláros lesz.
Ez egyenlő lesz kettővel.
Azért csináltam ezt a példát,
mert meg akartam mutatni, hogy az osztás
olyas valami amit már jó ideje használsz.
Egy másik fontos tanulság, vagy észrevétel ezzel kapcsolatban,
hogy ez a szorzás ellentéte.
Amikor azt mondom, hogy van két csoport, csoportonként két darab negyeddollárossal,
akkor meg kell szorozni a két csoport, csoportonként két negyeddollárosát,
és azt mondhatom akkor, hogy van négy negyeddollárosom.
Bizonyos szinten, ezek ugyanazt jelentik.
Azért, hogy világosabb legyen nekünk,
csináljunk még pár példát.
Csináljunk még jó pár példát.
Írjuk le, mennyi hat osztva --
megpróbálom szépen csinálni és színekkel jelölni.
Hat osztva hárommal, az mennyivel egyenlő?
Rajzoljunk hat tárgyat.
Ezek bármik lehetnek.
Mondjuk van hat paprikám.
Nem vacakolok sokat a rajzolásukkal.
Igaz ez nem úgy néz ki mint a paprika,
de meg fogod érteni.
Egy, kettő, három, négy, öt, hat.
Elosztom hárommal.
az egyik módja, hogy elképzeljük ezt, az az,
hogy fel akarom osztani a hat paprikámat
három azonos csoportra.
Azt is gondolhatod, hogy három ember között vannak elosztva a paprikák.
Mennyi jut mindenkire?
Osszuk fel három csoportra.
Ez a hat paprikánk.
Felosztom három csoportra.
A legjobban úgy tudom felosztani három csoportra, hogy
van egy csoportom ott, két csoportom, vagyis inkább a második csoportom ott,
és a harmadik csoportom.
Mindegyik csoportba ugyanannyi paprika van?
Ennek van egy, kettő.
Egy, kettő.
Egy, kettő paprika.
Így a hat osztva hárommal, az egyenlő kettővel.
A legjobb ha úgy tekintesz erre,
hogy a hatot három csoportra osztod.
Kicsit másképp is szemlélheted,
mindazonáltal ez nem teljesen különböző,
de jó módja, hogy megértsük.
Úgy is gondolhatsz rá, hogy hat osztva hárommal.
Még egyszer, mondjuk van hat málnám -- ezt könnyebb rajzolni.
Egy, kettő, három, négy, öt, hat.
És itt, ahelyett, hogy három csoportra osztanánk, mint ahogy itt csináltuk.
Ez volt egy csoport, két csoport, három csoport.
Ahelyett, hogy három csoportra osztanánk,
amit mondani akarok az az,
hogyha a hatod hárommal elosztom, akkor hármas csoportokra akarom osztani.
Nem három csoportra.
Hármas csoportokra akarom osztani.
Hány csoportom is lesz így?
Hadd rajzoljak néhány hármas csoportot,
Ez egy hármas csoport.
És ez két hármas csoport.
Szóval ha van hat valamim és felosztom azokat hármas csoportokra,
akkor lesz ebből egy, két csoport.
Ez egy másik módja, hogy elképzeld az osztást.
Ez egy érdekes dolog.
Amikor ezen a két összefüggésen gondolkodsz,
akkor meg fogod látni mi közös abban, hogy hat osztva hárommal, és hat osztva kettővel.
Itt fogom folytatni.
Mennyi hat osztva kettővel,
amikor is ennek az értelmében kérdezed?
Hat osztva kettővel, amikor így csinálod --
hadd rajzoljam le, egy, kettő, három, négy, öt, hat.
Hat osztva kettővel, abban az értelemben, hogy hatot két csoportra osztunk,
amit kapunk, az egy csoport, mint ez,
és még egy csoport, mint ez itt,
és mindegyik csoportban három elem van.
Három valamim van bennük.
A hat osztva kettővel, az három.
Vagy elképzelheted a másik módon is.
Hat osztva kettővel az --
veszel hat valamit: egy, kettő, három, négy, öt, hat.
És aztán kettes csoportokra osztod őket,
ahol minden csoportban két elem lesz.
Ezt könnyebb megcsinálni,
ha mindegyik csoportban két elem van. Ez egy csoport itt.
Nem is kell, hogy szépen legyenek ezek elrendezve.
Ez lehet egy másik csoport ott,
és ez lehet megint egy csoport itt.
Nem kell, hogy szépen össze legyenek rendezve.
Ezek mind kettes csoportok.
De hány csoportom is van?
Van nekem egy, kettő, három.
Három csoportom van.
Vegyél észre valamit: az nem véletlen, hogy hat osztva hárommal, az kettő,
és hat osztva kettővel az három.
Hadd írjam le.
Hat osztva hárommal, az egyenlő kettővel,
és hat osztva kettővel, az egyenlő hárommal.
Fel is cserélhetnéd ezt kettest és hármast ezekben az összefüggésekben,
ennek az az oka, hogy a kétszer három az egyenlő hattal.
Mondjuk van két hármas csoportom.
Rajzolok két hármas csoportot.
Ez egy hármas csoport és itt a másik hármas csoport.
Két hármas csoport az összesen hat.
Kétszer három, az egyenlő hattal.
Vagy a másik módon, ha gondolkodsz:
van három kettes csoportom.
Ez egy kettes csoport itt,
van nekem egy másik kettes csoportom,
és van a harmadik kettes csoportom, itt ni.
Ez mennyi is összesen?
Három kettes csoport -- háromszor kettő.
Ez szintén egyenlő hattal.
Tehát kétszer három az egyenlő hattal.
Háromszor kettő, az egyenlő hattal.
Ezt már láttuk a szorzásokról szóló videóban,
hogy szorzásnál nem számít a sorrend.
Viszont az osztásnál igen, ezért ha elosztasz valamit,
azaz a szorzást fordítottját csinálod --
ha van hat bigyód és fel akarod osztani kettes csoportokra, akkor három csoportot kapsz.
Ha viszont a hat bigyót hármas csoportokra osztod, akkor két csoportot kapsz.
Nézzünk még pár példát.
Úgy gondolom ezek majd segítenek jobban megérteni az osztást.
Nézzünk egy érdekeset.
Legyen a kilenc osztva néggyel.
Képzeljük el, hogy a kilencet néggyel osztjuk, felrajzolok négy tárgyat.
Egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, nyolc, kilenc.
Amikor néggyel osztjuk, ennél a feladatnál és úgy gondolkodom,
hogy négyes csoportokra fogom osztani.
Ha fel akarom osztani négyes csoportokra --
hadd próbáljam csak meg.
Itt van egy négyes csoport.
Csak úgy kiválasztottam őket.
Ez egy négyes csoport.
Aztán itt van egy másik négyes csoport.
Aztán kimaradt itt nekem egy darab.
Ez maradéknak fogjuk nevezni,
ebből nem tudok négyes csoportot csinálni.
Amikor néggyel osztok
négyes csoportokra szedem szét a kilencet.
A válasz tehát -- ez új dolog lesz neked --
kilenc osztva néggyel, az két csoport lesz.
Van itt egy csoport, egy másik csoport itt,
és van maradékom, ami egy.
Van egy, ami kimaradt, amivel nem tudtam mit kezdeni.
Maradék (remainder) -- ez mutatja a maradékot: egy.
Kilenc osztva néggyel, az kettő, maradt egy.
Ha azt kérdezem tőled, mennyi tizenkettő osztva néggyel -- hadd csináljak ide tizenkettő bigyót.
Egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, nyolc, kilenc, tíz, tizenegy, tizenkettő.
Le is írom ezt:
tizenkettő osztva néggyel.
Szóval fel akarom osztani ezt a tizenkettő tárgyat --
legyenek ezek almák vagy szilvák --
osszuk fel négyes csoportokra.
Lássuk csak, hogy meg tudom-e csinálni.
Ez egy négyes csoport, így,
ez egy másik négyes csoport, így ni,
-- ez eléggé egyszerű --
és akkor a harmadik négyes csoport.
Így ni!
És nincs maradékom, mint ahogy az előbb volt.
A tizenkettőt teljesen fel tudom osztani négyes csoportokra.
Egy, kettő, három négyes csoport.
Tizenkettő osztva néggyel, az egyenlő hárommal.
És akkor megcsinálhatjuk azt is amit az imént láttunk:
mennyi tizenkettő osztva hárommal?
Ezt másik színnel csinálom.
Tizenkettő osztva hárommal.
Azok alapján amit eddig tanultunk,
mondhatjuk, hogy ez négy lesz, mert háromszor négy, az tizenkettő.
De inkább bizonyítsuk be magunknak.
Nos akkor egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, nyolc, kilenc, tíz, tizenegy, tizekettő.
Osszuk fel hármas csoportokra!
Egy kicsit idétlenül fognak kinézni, szándékosan,
hogy lássad, nem kell szabályos alakúra osztani.
Ez egy hármas csoport itt.
Tizenkettő osztva hárommal.
Lássuk csak, itt egy másik hármas csoport, pont mint az ott.
És akkor ezt veszem még egy hármas csoportnak.
És akkor veszem ezeket egy hármas csoportnak.
Persze egyszerűbben is fel lehetett volna osztani,
mint ilyen nyomi L-alakú izékre,
de csak azt akartam ezzel mutatni, hogy mindegy milyen formára osztod fel.
Az a lényeg, hogy hármas csoportokra osszad.
Hány csoportunk is van?
Van egy csoportunk,
aztán itt van a második csoportunk,
és harmadik csoportunk itt van,
És aztán van itt nekünk -- ezt egy másik színnel csinálom --
és akkor itt van a negyedik csoportunk.
Pontosan négy csoportunk van.
Amikor azt mondtam, hogy van egyszerűbb módja is a felosztásnak,
az egyszerűbb mód természetesen -- vagy nem természetesen --
szóval ha ezt hármas csoportokra akarom osztani,
csinálhattam volna egy, kettő, három, négy darab hármas csoportot.
Így vagy úgy, a tizenkét elemet hármas csoportokra osztom.
Így is fel lehet fogni.
Csináljunk egy másik példát, mondjuk amiben lesz maradék.
Na akkor nézzük.
Mennyi tizennégy osztva öttel?
Rajzoljunk tizennégy elemet.
Egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, nyolc, kilenc, tíz, tizenegy, tizenkettő, tizenhárom, tizennégy.
Tizennégy elem.
Ezeket ötös csoportokra fogom osztani.
Ez a legkönnyebb, ott van egy csoport,
két csoport.
Viszont itt a végén, csak négy maradt,
ezekből nem tudok ötös csoportot csinálni.
A válaszom, hogy tudok két ötös csoportot csinálni,
és lesz maradékom (remainder) -- 'r' (remainder) maradék -- méghozzá négy.
Kettő, marad négy.
Amikor elég gyakorlatot szerzel,
akkor már nem akarsz ilyen karikákat rajzolni
és felosztani őket.
Mindazon által, hogy abban semmi hiba sem lenne,
de egy másik módja, hogy a feladatra gondolj,
hogy azt mondod, tizennégy osztva öttel, viszont hogyan kell ezt kiszámolni?
Másik módja, hogy ezt leírjuk,
nincs ebben semmi rossz, ha ezt is megmutatom:
tizennégy felosztva ötös csoportokra, az ugyanaz mint a tizennégy osztva --
ez az osztás jele -- osztva öttel.
És akkor lássuk, hogyan is kell ezt megoldani.
Hányszor van meg az öt a tizennégyben?
Lássuk csak.
Ötször -- fejben a szorzótáblát kell majd használnod --
ötször egy, az öt,
ötször kettő, az tíz,
Ez még mindig kevesebb, mint tizennégy, szóval az öt legalább kétszer megvan benne.
Ötször három, az tizenöt.
Nos, ez nagyobb, mint tizennégy, eggyel vissza kell lépnem.
Az öt csak kétszer van meg benne.
Kétszer van meg.
Kétszer öt, az tíz.
Majd jön a kivonás.
Tizennégyből tíz, az négy.
Ez ugyanaz a maradék, mint amit itt láttunk.
A tizennégyet szét tudom osztani ötösökre éppen kétszer,
amivel két ötös csoportot kapunk.
Az pedig csak tíz.
És megint marad négy.
Hadd mutassak még egy párat,
hogy biztos legyek abban, hogy nagyon, nagyon, nagyon, nagyon jól érted ezeket.
Most ezt ilyen módon írom fel.
Nyolc osztva kettővel.
Írhattam volna ezt is
szeretném tudni ez mennyi.
Ez egy kérdőjel.
Írhattam volna így is, hogy nyolc osztva kettővel.
A két módszer bármelyikével megcsinálhatom -- rögtön rajzolok majd köröket is --
viszont előbb, karikák rajzolása nélkül akarom megoldani,
kétszer egy, az egyenlő kettővel.
Ez biztos, hogy megvan a nyolcban,
de lehet, hogy nagyobb szám is belefér a nyolcba,
ha megszorzom kettővel.
Kétszer kettő, az egyenlő néggyel.
Ez még mindig kisebb, mint nyolc.
Kétszer három, az egyenlő hattal.
Ez még mindig kisebb, mint nyolc.
Kétszer -- ó, valami furcsaság történt a tollammal...
Kétszer négy az pont egyenlő nyolccal.
A kettő pontosan négyszer van meg a nyolcban.
Így mondhatjuk, hogy a kettő négyszer van meg a nyolcban.
Vagy azt, hogy nyolc osztva kettővel, az egyenlő néggyel.
A köreinket is megrajzolhatjuk.
Egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, nyolc.
Összevissza rajzoltam szándékosan.
Osszuk fel kettes csoportokra.
Van egy kettes csoport, két kettes csoport,
három kettes csoport, négy kettes csoport.
Ha van nyolc valamim és kettes csoportokra kell osztani,
akkor négy csoport lesz ebből.
Nyolc osztva kettővel, az négy.
Remélem hasznosnak találtad ezeket!