1
00:00:00,816 --> 00:00:02,341
Als we bezig zijn met simpele getaltheorie

2
00:00:02,341 --> 00:00:04,592
zien we daar de concrete getallen.

3
00:00:04,592 --> 00:00:07,514
We zien 23 + 5.

4
00:00:07,514 --> 00:00:08,715
We weten wat deze getallen zijn

5
00:00:08,715 --> 00:00:10,005
en we kunnen ze berekenen.

6
00:00:10,005 --> 00:00:11,661
Dit wordt 28.

7
00:00:11,661 --> 00:00:13,898
We kunnen 2 x 7 zeggen.

8
00:00:13,898 --> 00:00:17,476
We kunnen 3 / 4 zeggen.

9
00:00:17,476 --> 00:00:19,059
In al deze gevallen weten we precies

10
00:00:19,059 --> 00:00:20,872
met welke getallen we bezig zijn.

11
00:00:20,872 --> 00:00:23,776
Als we de algebraïsche wereld binnengaan

12
00:00:23,776 --> 00:00:25,873
en je hebt hier waarschijnlijk al iets van gezien,

13
00:00:25,873 --> 00:00:30,051
beginnen we met het idee van variabelen.

14
00:00:30,051 --> 00:00:31,533
Er zijn meerdere manieren

15
00:00:31,533 --> 00:00:32,283
om over variabelen te denken,

16
00:00:32,283 --> 00:00:34,502
maar het zijn eigenlijk waarden en uitdrukkingen

17
00:00:34,502 --> 00:00:36,252
die kunnen veranderen.

18
00:00:36,252 --> 00:00:38,145
De waarden in deze uitdrukkingen kunnen veranderen.

19
00:00:38,145 --> 00:00:42,201
Dus ik schrijf bijvoorbeeld

20
00:00:42,201 --> 00:00:44,781
x + 5

21
00:00:44,781 --> 00:00:46,647
en dat is een uitdrukking.

22
00:00:46,647 --> 00:00:48,305
Deze kan een waarde aannemen,

23
00:00:48,305 --> 00:00:51,466
afhankelijk van de waarde van x.

24
00:00:51,466 --> 00:00:56,656
Als x gelijk is aan 1,

25
00:00:56,656 --> 00:01:01,723
dan in x + 5, onze vergelijking hier,

26
00:01:01,723 --> 00:01:06,049
is x gelijk aan 1,

27
00:01:06,049 --> 00:01:07,070
want x is nu 1.

28
00:01:07,070 --> 00:01:08,321
Het wordt 1 + 5.

29
00:01:08,321 --> 00:01:11,101
Dus x + 5 zal gelijk zijn aan 6.

30
00:01:11,101 --> 00:01:16,821
Als x gelijk is aan, zeg, -7,

31
00:01:16,821 --> 00:01:22,183
dan zal x + 5 uitkomen op...

32
00:01:22,183 --> 00:01:24,120
Nu x -7 is

33
00:01:24,120 --> 00:01:28,842
wordt het -7 + 5, wat uitkomt op -2.

34
00:01:28,842 --> 00:01:29,441
Dus let op.

35
00:01:29,441 --> 00:01:34,019
x is hier een variabele

36
00:01:34,019 --> 00:01:37,705
en zijn waarde verandert, afhankelijk van de context.

37
00:01:37,705 --> 00:01:39,946
En dit is in de context van een uitdrukking.

38
00:01:39,946 --> 00:01:42,174
Je zult dit ook zien in de context van een vergelijking.

39
00:01:42,174 --> 00:01:44,299
Het is belangrijk om het verschil te begrijpen

40
00:01:44,299 --> 00:01:46,897
tussen een uitdrukking en een vergelijking.

41
00:01:46,897 --> 00:01:49,827
Een uitdrukking is simpelweg een weergave van waarde,

42
00:01:49,827 --> 00:01:51,734
een weergave van een soort hoeveelheid.

43
00:01:51,734 --> 00:01:54,327
Dus dit is een uitdrukking.

44
00:01:54,327 --> 00:01:56,639
Een uitdrukking zou iets zijn als,

45
00:01:56,639 --> 00:01:57,976
als wat we hier zagen.

46
00:01:57,976 --> 00:01:59,260
x + 5

47
00:01:59,260 --> 00:02:01,052
De waarde van deze uitdrukking zal veranderen,

48
00:02:01,052 --> 00:02:05,745
afhankelijk van de waarde van deze variabele.

49
00:02:05,745 --> 00:02:09,058
Je kunt dit berekenen voor verschillende waarden van x.

50
00:02:09,058 --> 00:02:11,270
Een andere uitdrukking zou iets kunnen zijn als

51
00:02:11,270 --> 00:02:13,150
y + z, bijvoorbeeld.

52
00:02:13,150 --> 00:02:14,340
Nu is alles een variabele.

53
00:02:14,340 --> 00:02:16,554
Als y 1 is en z is 2,

54
00:02:16,554 --> 00:02:18,560
dan wordt dit 1 + 2.

55
00:02:18,560 --> 00:02:21,392
Als y 0 is en z is -1,

56
00:02:21,392 --> 00:02:24,068
dan wordt dit 0 + -1.

57
00:02:24,068 --> 00:02:25,897
Dit kan allemaal worden berekend

58
00:02:25,897 --> 00:02:27,416
en ze zullen je een waarde geven

59
00:02:27,416 --> 00:02:30,811
die afhankelijk is van de waarde van de variabelen

60
00:02:30,811 --> 00:02:32,327
die in de uitdrukking staan.

61
00:02:32,327 --> 00:02:34,285
In een vergelijking worden twee uitdrukkingen

62
00:02:34,285 --> 00:02:35,472
aan elkaar gelijk gesteld,

63
00:02:35,472 --> 00:02:38,100
daarom heten ze 'vergelijkingen'.

64
00:02:38,100 --> 00:02:40,122
Je vergelijkt twee dingen.

65
00:02:40,122 --> 00:02:42,919
In een vergelijking wordt een uitdrukking

66
00:02:42,919 --> 00:02:44,643
gelijkgesteld aan een andere uitdrukking.

67
00:02:44,643 --> 00:02:47,869
Dus het zou iets kunnen zijn als...

68
00:02:47,869 --> 00:02:52,062
x + 3 = 1

69
00:02:52,062 --> 00:02:54,459
In deze situatie, waar je een uitdrukking hebt,

70
00:02:54,459 --> 00:02:57,883
waar je één uitdrukking hebt met maar één onbekende,

71
00:02:57,883 --> 00:02:59,273
kun je uitrekenen

72
00:02:59,273 --> 00:03:01,622
wat x moet zijn in dit scenario

73
00:03:01,622 --> 00:03:03,210
en je kunt het misschien zelfs uit je hoofd doen.

74
00:03:03,210 --> 00:03:05,327
Wat plus 3 is gelijk aan 1?

75
00:03:05,327 --> 00:03:06,432
Je kunt dat uit je hoofd doen.

76
00:03:06,432 --> 00:03:08,871
Als x -2 is, is -2 + 3 gelijk aan 1.

77
00:03:08,871 --> 00:03:12,033
Dus in deze context beperkt een vergelijking

78
00:03:12,033 --> 00:03:15,134
welke waarde deze variabele aan kan nemen,

79
00:03:15,134 --> 00:03:17,411
maar het beperkt niet altijd zo sterk.

80
00:03:17,411 --> 00:03:18,932
Je kunt een vergelijking hebben als

81
00:03:18,932 --> 00:03:25,734
x + y + z = 5

82
00:03:25,734 --> 00:03:27,784
Nu heb je deze uitdrukking,

83
00:03:27,784 --> 00:03:29,368
die gelijk is aan deze uitdrukking.

84
00:03:29,368 --> 00:03:31,645
5, hier, is een uitdrukking.

85
00:03:31,645 --> 00:03:32,901
En er zijn een paar beperkingen.

86
00:03:32,901 --> 00:03:35,004
Als iemand je vertelt waar y en z voor staan,

87
00:03:35,004 --> 00:03:36,314
dan kun je x berekenen.

88
00:03:36,314 --> 00:03:38,226
Als iemand je vertelt waar x en y voor staan,

89
00:03:38,226 --> 00:03:39,925
dan beperkt dat de waarde van z.

90
00:03:39,925 --> 00:03:42,381
Maar het hangt af van deze verschillende waarden.

91
00:03:42,381 --> 00:03:44,060
Dus, bijvoorbeeld,

92
00:03:44,060 --> 00:03:51,637
we zeggen dat y 3 is en z is 2.

93
00:03:51,637 --> 00:03:53,393
Wat zou x zijn in dit geval?

94
00:03:53,393 --> 00:03:58,102
Dus als y 3 is en z is 2,

95
00:03:58,102 --> 00:03:58,608
dan krijg je,

96
00:03:58,608 --> 00:04:00,487
de linkeruitdrukking wordt dan

97
00:04:00,487 --> 00:04:02,148
x + 3 + 2,

98
00:04:02,148 --> 00:04:04,998
dat is x + 5,

99
00:04:04,998 --> 00:04:06,813
want dit hier wordt 5.

100
00:04:06,813 --> 00:04:08,975
Dus x + 5 = 5.

101
00:04:08,975 --> 00:04:11,198
En wat + 5 = 5?

102
00:04:11,198 --> 00:04:12,632
Nu we dit zo beperkt hebben

103
00:04:12,632 --> 00:04:14,378
moet x wel...

104
00:04:14,378 --> 00:04:16,938
moet x gelijk staan aan 0.

105
00:04:16,938 --> 00:04:18,235
Belangrijk hier

106
00:04:18,235 --> 00:04:19,789
is het verschil tussen

107
00:04:19,789 --> 00:04:20,803
een uitdrukking en een vergelijking.

108
00:04:20,803 --> 00:04:21,850
Een vergelijking is simpelweg

109
00:04:21,850 --> 00:04:23,669
het vergelijken van twee uitdrukkingen.

110
00:04:23,669 --> 00:04:25,370
Wat belangrijk is,

111
00:04:25,370 --> 00:04:27,994
is dat een variabele verschillende waarden aan kan nemen,

112
00:04:27,994 --> 00:04:31,365
afhankelijk van de context.

113
00:04:31,365 --> 00:04:32,778
Om dit door te laten dringen

114
00:04:32,778 --> 00:04:35,218
gaan we een aantal uitdrukkingen berekenen,

115
00:04:35,218 --> 00:04:38,056
voor verschillende waarden van de variabelen.

116
00:04:38,056 --> 00:04:41,595
Dus, als we bijvoorbeeld

117
00:04:41,595 --> 00:04:43,309
de volgende uitdrukking hebben:

118
00:04:43,309 --> 00:04:47,799
x tot de macht y

119
00:04:47,799 --> 00:04:51,955
Als x dan gelijk is aan 5

120
00:04:51,955 --> 00:04:54,311
en y is gelijk aan 2,

121
00:04:54,311 --> 00:04:55,791
y is gelijk aan 2,

122
00:04:55,791 --> 00:04:58,908
dan is de uitkomst van deze uitdrukking...

123
00:04:58,908 --> 00:05:01,506
Als x hier 5 is,

124
00:05:01,506 --> 00:05:02,888
x is 5,

125
00:05:02,888 --> 00:05:04,363
y is 2,

126
00:05:04,363 --> 00:05:06,612
dan wordt dit 5 tot de tweede.

127
00:05:06,612 --> 00:05:08,154
En dat komt neer op

128
00:05:08,154 --> 00:05:09,785
25.

129
00:05:09,785 --> 00:05:11,633
Als we de waarden veranderen,

130
00:05:11,633 --> 00:05:14,360
als we voor de waarde van x,

131
00:05:14,360 --> 00:05:16,292
even dezelfde kleur pakken,

132
00:05:16,292 --> 00:05:20,965
als we x gelijkstellen aan -2

133
00:05:20,965 --> 00:05:24,772
en y aan 3

134
00:05:24,772 --> 00:05:27,839
dan zou deze uitdrukking neerkomen op,

135
00:05:27,839 --> 00:05:30,469
weer even de juiste kleur pakken,

136
00:05:30,469 --> 00:05:32,386
dat zou neerkomen op,

137
00:05:32,386 --> 00:05:35,376
-2, dat vullen we in voor x

138
00:05:35,376 --> 00:05:36,705
in deze context

139
00:05:36,705 --> 00:05:38,172
en y is 3.

140
00:05:38,172 --> 00:05:42,080
-2 tot de derde macht,

141
00:05:42,080 --> 00:05:44,577
dat is -2 x -2 x -2

142
00:05:44,577 --> 00:05:46,895
dat is -8

143
00:05:46,895 --> 00:05:48,567
-2 x -2 = +4

144
00:05:48,567 --> 00:05:52,154
4 x -2 is -8.

145
00:05:52,154 --> 00:05:53,367
is -8.

146
00:05:53,367 --> 00:05:55,713
Dus afhankelijk van deze waarden...

147
00:05:55,713 --> 00:05:58,280
We kunnen nog complexere dingen doen.

148
00:05:58,280 --> 00:05:59,681
We kunnen een uitdrukking hebben als

149
00:05:59,681 --> 00:06:06,609
de vierkantswortel van x + y min x.

150
00:06:06,609 --> 00:06:11,878
Als x gelijk is aan 1

151
00:06:11,878 --> 00:06:16,013
en y is gelijk aan 8,

152
00:06:16,013 --> 00:06:18,571
dan zou deze uitdrukking neerkomen op...

153
00:06:18,571 --> 00:06:21,422
Voor elke x vullen we een 1 in,

154
00:06:21,422 --> 00:06:23,008
dus hier staat dan een 1

155
00:06:23,008 --> 00:06:24,812
en hier staat dan een 1.

156
00:06:24,812 --> 00:06:26,746
En voor elke y

157
00:06:26,746 --> 00:06:28,413
vullen we een 8 in.

158
00:06:28,413 --> 00:06:30,819
In deze context zetten we de variabelen

159
00:06:30,819 --> 00:06:32,087
zo dat hier een 8 staat.

160
00:06:32,087 --> 00:06:34,611
Dus onder het wortelteken staat 1 + 8.

161
00:06:34,611 --> 00:06:37,821
Dus de vierkantswortel van 9, dat is 3.

162
00:06:37,821 --> 00:06:40,974
Dus in deze context wordt dit gemakkelijker.

163
00:06:40,974 --> 00:06:43,119
Als we deze waarden toewijzen aan de variabelen,

164
00:06:43,119 --> 00:06:45,586
kun je dit vereenvoudigen tot 3.

165
00:06:45,586 --> 00:06:46,503
1 + 8 is 9,

166
00:06:46,503 --> 00:06:48,685
de wortel daarvan is 3

167
00:06:48,685 --> 00:06:50,769
en dan krijg je 3 - 1

168
00:06:50,769 --> 99:59:59,999
wat gelijk is aan 2.