... eine Unbekannte ...
... und einer Gleichung.
... viel komplexere Dinge tun -
... was diese Variable sein kann.
2.
Das ergit 3.
Werte von x ausrechnen.
minus 2
minus x.
setzen wir eine 1 ein.
und das ergibt -2.
und z gleich 2
welchen Wert diese Variable annimmt.
Wenn wir mit konkreten Rechnungen zu tun haben ...
... sehen wir dort konkrete Zahlen.
Wenn wir zum Beispiel 23 + 5 sehen, ...
dann wissen wir was diese Zahlen hier bedeuten ...
... und wir können das ausrechnen.
Das ist 28.
Oder wenn wir 2 mal 7 haben
oder 3 dividiert (geteilt) durch 4...
... und in all diesen Beispielen wissen wir genau
... mit welchen Zahlen wir hier rechnen.
Wenn wir in das Land der Algebra kommen ...
- und das hast Du vorher sicherlich schon oft gesehen -
... gibt es das Konzept der "Variablen".
Varialble kann man sich auf ...
... unterschiedliche Weise vorstellen.
Aber letzlich sind es nur Werte oder Ausdrücke (Terme)
... die sich ändern können (die "variabel" sind).
Die Werte in diesen Termen können sich ändern.
Ein Beispiel
x plus 5
Das hier ist ein Ausdruck (ein Term)
Und dieser Term kann unterschiedliche Werte annehmen
je nach dem wie der Wert von x ist.
Wenn also x z.B. den Wert 1 hat,
dann ergibt x plus 5
den Wert 1.
Denn x ist ja gleich 1.
Also haben wir "1 + 5".
x + 5 ergibt also 6.
Wenn x gleich -7 ist
dann ergibt x + 5 ...
x ist nun -7
Dann haben wir -7 +5
Das heißt also
das x hier ist eine Variable
und sein Wert kann sich je nach Kontext ändern.
Und hier haben wir als Kontext einen Term (einen mathematischen Ausdruck)
Ein anderer Kontext kann eine Gleichung sein.
Es ist wichtig den Unterschied zu kennen ...
zwichen einem Term .... (einem mathematischen Ausdruck)
Ein Term ist nur ein Ausdruck,
eine Art Zusammenstellung von Werten, eine Menge oder Anzahl von etwas.
Das ist ein Term ("expression".)
Ein Term ist ...
... etwas wie das hier ...
x plus 5.
Der Wert dieses Ausdrucks kann sich ändern ...
... je nachdem
Und man kann das einfach für verschiedene
Ein Beispiel für einen anderen Term ...
... ist y plus z.
Nun haben wir nur Variable in diesem Ausdruck.
Wenn y den Wert 1 hat und z den Wert 2 ...
... dann wird das zu 1 plus 2.
Wenn y den Wert 0 hat und z den Wert -1 ...
... dann ergibt das 0 plus -1.
Diese Ausdrücke kann man alle berechnen...
... und man erhält ein einen Wert abhängig ...
... davon welchen Wert jede einzelne Variable hat ...
... und dadurch diesen Ausdruck festlegt.
Bei einer Gleichung werden ...
Terme gleich gesetzt.
Daher heißt es auch "Gleichung" ("equations".).
Man setzt zwei Dinge gleich.
Bei einer Gleichung setzt man einen Ausdruck ...
dem Ausruck gleich.
Hier ein Beispiel.
x plus 3 ergibt gleich 1.
Und in diesem Fall, wenn eine Gleichung ...
da steht und es gibt nur ...
... dann kann man ausrechnen was "x" sein muss.
In diesem Beispiel ...
- das ginge sogar im Kopf -
Irgendetwas plus 3 ergibt 1?
Das geht im Kopf.
-2 plus 3 ergibt 1.
In diesem Zusammenhang
schränkt eine Gleichung ein, ...
Aber das muss nicht immer so einschränkend sein.
Wie in diesem Beispiel
x plus y plus z ergibt 5.
Nun ergibt also dieser Ausdruck
genau das gleiche wie dieser Ausdruck.
Und 5 ist hier eben auch ein Ausdruck.
Und es gibt hier ein paar Einschränkungen.
Wenn jemand y und z fest legt.
dann wird dadurch x festgelegt.
Wenn x und y festgelegt werden, dann .
ist auch bereits festgelegt, was z sein muss.
Aber es hängt davon ab, was diese unterschiedlichen Dinge sind.
Zum Beispiel
Wenn y gleich 3 setzen
was wäre dann in diesem Falle x ?
wenn also y gleich 3 ist
dann erhalten wir
auf der linken Seite
x plus 3 plus 2
daraus wird x plus 5
Dieser Teil hier ergibt 5
x plus 5 ergibt 5
Somit: "was" plus 5 ergibt 5 ?
Nun wird x festgelegt auf
x muss also 0 sein
x ist gleich 0
Der wichtige Punkt an dieser Stelle ist
-du hast in der Zwischenzeit hoffentlich den Unterschied
zwischen Term (expression) und Gleichung (equation) festgestellt -
Bei einer Gleichung werden
zwei Terme gleich gesetzt.
Was man sich hier also merken sollte
ist dass eine Variable verschiedene Werte annehmen kann,
abhängig vom Kontext der Aufgabe.
Und damit das wirklich gut sitzt ...
machen wir noch ein paar weitere Übungen...
... wo die Variablen verschiedene Werte annehmen.
Wenn wir zum Beispiel folgenden Ausdruck haben
Wenn wir folgenden Term haben,
x hoch ... y
Wenn x gleich .... 5 ist,
und y ist gleich 2
y = 2
dann ergibt das für unseren Term
x wird also zu 5
x wird 5
y wird zu 2
Daraus wird also 5 hoch 2
ausgerechnet ergibt das
25
Wenn wir andere Werte einsetzen
x sei ...
- ich nehme die gleiche Farbe -
x sei ...
und y sei ... 3
Dann ergibt dieser Ausdruck einen Wert von
- ich nehme die gleiche Farbe -
der Ausdruck ergibt also -2
Das setzen wir nun für x ein
in diesem Kontext.
und y ist nun 3
-2 hoch 3
das ist (-2) x (-2) x (-2)
und das ergibt -8
minus 2 mal minus 2 ergibt plus 4
mal minus 2 ergibt minus 8
ergibt minus 8
Also, abhängig davon, welche Werte Also abhängig von diesen Werten
-wir könnten hier noch ...
Wir könnten einen Term wie diesen haben
Die Wurzel aus x plus y und dann
Wenn nun x den Wert ... 1 annimmt
und y habe den Wert 8
dann berechnet sich dieser Term zu ...
Überall wo ein x steht
also eine 1 hier
und eine 1 da
und überall wo ein y steht
setzen wir eine 8 ein.
In diesem Kontext setzen wir diese Werte ein.
Also hier steht eine 8.
Unter der Wurzel steht also
1 plus 8, das ergibt also die Quadratwurzel von 9.
Der ganze Ausdruck vereinfacht sich also in diesem Kontext
wenn wir diese Variablen auf diese Werte festgelegt haben
- der ganze Ausdruck vereinfacht sich zu 3
1 plus 8 ergibt 9
daraus die Quadratwurzel ergibt 3
und somit haben wir 3 minus 1
das ergibt ...