Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση για τη διαίρεση των κλασμάτων.
Ας ξεκινήσουμε.
Πριν λοιπόν δούμε το τι συμβαίνει...ίσως αυτό το κάνω σε άλλο μάθημα...
θα σας δείξω τη μέθοδο με την οποία...
διαιρούμε δύο κλάσματα μεταξύ τους.
Και θα δείτε ότι εντέλει δεν είναι πολύ πιο δύσκολο...
από τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων.
Ας λοιπόν σας έλεγα να διαιρέσουμε το 1/2 με το 1/2...
όποτε διαιρούμε με κλάσμα, ή μάλλον, όταν διαιρούμε με τον όποιο αριθμό...
είναι το ίδιο με το να πολλαπλασιάζουμε τον αντίστροφό του.
Άρα το 1/2 διά του 1/2 ισούται με 1/2 επί 2/1.
Απλώς αντιστρέψαμε το δεύτερο 1/2.
Και ξέρουμε από το μάθημα για τον πολλαπλασιασμό ...
ότι 1/2 x 2/1 ισούται με 2/2...
ή αλλιώς ισούται με 1.
Και αυτό βγάζει νόημα γιατί...
κάθε αριθμός αν διαιρεθεί με τον εαυτό του, μας δίνει 1.
1/2 διά 1/2 ίσον 1, όπως ακριβώς 5 / 5 = 1...
όπως ακριβώς 100 / 100 = 1.
Και αυτή δεν είναι μια νέα αρχή που τη μαθαίνουμε εδώ.
Στην πραγματικότητα, πάντα την ακολουθούσατε.
Αλλά αυτό δεν είναι επίσης το ίδιο με το ...
2 επί το αντίστροφο του 2, που μας κάνει 1;
Θα σας το δείξω.
Αλλά ας δούμε ένα-δύο ακόμα παραδείγματα...
για να δούμε ότι η διαίρεση μεταξύ κλασμάτων, όλη αυτή η ιδέα του πολλαπλασιασμού με τον αντίστροφο αριθμό...
δεν είναι μια νέα έννοια...
Αν λοιπόν σας ρώταγα πόσο κάνει το 12 διά 4;
Ξέρουμε την απάντηση σ' αυτό, αλλά θα σας δείξω...
ότι είναι το ίδιο με το 12 x 1/4.
12/1 x 1/4 = 12/4 που μας κάνει 3.
Και το 12/4 είναι ουσιαστικά ένας άλλος τρόπος για να γράφουμε το "12 διά 4"...
άρα ο πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο αριθμό είναι ένας μακρύτερος δρόμος για να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.
Αυτό που ήθελα να σας δείξω μ' αυτό είναι ότι αυτό που κάνουμε σ' αυτό το μάθημα...
δεν είναι κάτι το καινούριο - το κάναμε πάντα...
όταν διαιρούσαμε με έναν αριθμό.
Η διαίρεση είναι αυτό το πράγμα.
Η διαίρεση με ένα αριθμό είναι το ίδιο...
με τον πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο αυτού του αριθμού.
Και για να θυμηθούμε τι σημαίνει "αντίστροφος αριθμός"...
αν έχουμε έναν αριθμό Α, τότε ο αντίστροφός του είναι το 1/Α.
Άρα το αντίστροφο του 2/3 είναι το 3/2, ή το αντίστροφο του 5...
καθώς το 5 είναι το ίδιο με το 5/1, το αντίστροφό του είναι το 1/5.
Ας κάνουμε λοιπόν κάποια προβλήματα διαίρεσης μεταξύ κλασμάτων.
Πόσο μας κάνει το 2/3 / 5/6;
Ξέρουμε λοιπόν ότι αυτό είναι το ίδιο με το 2/3 x 6/5...
και αυτό ισούται με 12/15.
Μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 3 και θα πάρουμε 4/5.
Πόσο μας κάνει το 7/8 διά 1/4;
Είναι το ίδιο με το 7/8 x 4/1.
Θυμηθείτε πως μόλις αναποδογύρισα αυτό το 1/4.
Το να διαιρέσουμε με το 1/4 είναι το ίδιο με το να πολλαπλασιάσουμε με το 4/1.
Αυτό είναι όλο που χρειάζεται να κάνετε.
Και μετά θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το κόλπο...
που μάθαμε στο μάθημα για τον πολλαπλασιασμό.
8 / 4 = 2
4 / 4 = 1.
Άρα το αποτέλεσμα είναι 7/2.
Ή αλλιώς, αν θέλουμε να το γράψουμε αυτό ως μεικτό αριθμό...
εδώ έχουμε τώρα ένα καταχρηστικό κλάσμα.
Τα καταχρηστικά κλάσματα έχουν έναν αριθμητή που είναι μεγαλύτερος
από τον παρονομαστή.
Αν θέλατε να το γράψετε αυτό ως μεικτό αριθμό, τότε...
το 2 χωρά στο 7 τρεις φορές και μας μένει υπόλοιπο 1, άρα ισούται με 3 και 1/2.
Μπορείτε να το γράψετε με όποιον από τους δύο τρόπους θέλετε.
Εγώ το γράφω συνήθως έτσι...
γιατί είναι ευκολότερο να δουλέψουμε μ' αυτή την μορφή.
Ας κάνουμε κι άλλα πολλά προβλήματα...
όσα προλάβουμε στα επόμενα λεπτά.
Πόσο μας κάνει -2/3 / 5/2;
Κι εδώ αυτό ισούται με
-2/3 επί τι;
Επί τον αντίστροφο του 5/2, που είναι το 2/5...
και αυτό ισούται με -4/15.
Πόσο μας κάνει το 3/2 / 1/6;
Είναι το ίδιο με το 3/2 x 6/1...
νομίζω ότι το καταλαβαίνετε τώρα.
Για να δούμε και άλλα παραδείγματα.
Και βεβαίως, όποτε θέλετε μπορείτε να σταματήσετε το βίντεο...
και να το δείτε από την αρχή ξανά αν μπερδεύεστε.
Για να δούμε... ας κάνουμε το -5/7 / 10/3.
Αυτό είναι το ίδιο με το -5/7 x 3/10.
Απλώς πολλαπλασιάζουμε με το αντίστροφο.
Αυτό κάνω ξανά και ξανά.
-5 x 3...
μας κάνει -15.
7 x 10 = 70.
Αν διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 5...
θα πάρουμε το -3/14.
Θα μπορούσαμε να κάνουμε την απλοποίηση εδώ.
Να διαιρέσουμε με το 5 ...
και θα παίρναμε το -3/4 ξανά.
Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα.
Νομίζω πάντως ότι το καταλαβαίνετε.
Ας πάρουμε το 1/2 / (-3).
Για να δούμε!
Τι συμβαίνει λοιπόν όταν πάρουμε ένα κλάσμα και το διαιρέσουμε...
με έναν ακέραιο αριθμό;
Ξέρουμε ότι κάθε ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.
Είναι το ίδιο με το 1/2 / -(3/1).
Και η διαίρεση ενός κλάσματος είναι το ίδιο...
με τον πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφό του.
Άρα το αντίστροφο του -3/1 είναι το -1/3...
και αυτό ισούται με -1/6.
Ας κάνουμε και το ανάποδο.
Ας δούμε το -3 / 1/2.
Το ίδιο πράγμα.
Το -3 είναι το ίδιο με το -3/1 και αν το διαιρέσουμε με το 1/2
είναι το ίδιο με το να πολλαπλασιάσουμε το -3/1 με το 2/1...
που ισούται με το -6/1, που ισούται με το -6.
Τώρα ας δούμε λίγο...
γιατί δουλεύει αυτός ο τρόπος.
Ας πούμε ότι έχουμε το 2 / 1/3.
Ξέρουμε λοιπόν ότι αυτό ισούται με 2/1 x 3/1...
που ισούται με 6.
Άρα, πώς σχετίζονται το 2, το 1/3 και το 6;
Ας το δούμε έτσι.
Ας πούμε ότι έχω 2 κομμάτια πίτσα.
Έχω 2 κομμάτια πίτσα.
Εδώ λοιπόν είναι τα 2 μου κομμάτια πίτσα.
Να τα! Δύο!
Άρα, έχω δύο κομμάτια πίτσα...
και θα τα χωρίσω σε τρίτα.
Θα κόψω λοιπόν κάθε πίτσα σε τρίτα.
Θα σχεδιάσω αυτό το σήμα της Μερσεντές.
Διαιρώ λοιπόν κάθε πίτσα στα τρία, έτσι;
Πόσα κομμάτια έχω;
Για να δούμε: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Έχω 6 κομμάτια.
Άρα μπορείτε να το σκεφτείτε αυτό για λίγο...
αλλά νομίζω ότι το καταλαβαίνετε λίγο.
Για να δούμε άλλο ένα για να κουράσουμε το μυαλό μας.
Αν είχα το -7/2 / -4/9...
είναι το ίδιο με το -7/2 / -9/4...
έτσι δεν είναι;
Απλώς πολλαπλασίασα με το αντίστροφο του -4/9.
9 x 7 ισούται με ... -7 x -9 ισούται με +63...
και 2 x 4 = 8.
Ελπίζω ότι πήρατε μια καλή ιδέα...
για το πώς διαιρούμε ένα κλάσμα...
και μπορείτε να δοκιμάσετε μόνοι σας τις ασκήσεις πολλαπλασιασμού μεταξύ κλασμάτων.
Καλή διασκέδαση!