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00:00:07.022 --> 00:00:10.718
なぜほとんどのマンホールのふたは
丸いのでしょうか？

00:00:10.718 --> 00:00:15.049
転がすのが簡単で どんな向きでも穴に収まる
という理由ももちろんあります

00:00:15.049 --> 00:00:17.785
しかしもう一つ不可欠な理由があり

00:00:17.785 --> 00:00:23.130
円と特別な形だけが持っている
幾何学的特性に関係しています

00:00:23.130 --> 00:00:26.859
平行な２本の線が正方形に接している
様子を思い浮かべて下さい

00:00:26.859 --> 00:00:31.905
正方形が回転すると
２本の線はまず引き離され その後元に戻ります

00:00:31.905 --> 00:00:33.579
しかしこれを円でやってみてください

00:00:33.579 --> 00:00:37.042
２本の直線は常に同じ距離－

00:00:37.042 --> 00:00:39.037
円の直径のままです

00:00:39.037 --> 00:00:41.612
円は正方形とは異なり

00:00:41.612 --> 00:00:46.688
数学的には定幅（ていふく）曲線と
呼ばれる形なのです

00:00:46.688 --> 00:00:50.220
この性質を持つ他の図形は
ルーローの三角形です

00:00:50.220 --> 00:00:53.309
これを作るには 正三角形からスタートし

00:00:53.309 --> 00:00:58.779
三角形の１つの頂点を
残る２つの頂点を通る円の中心にします

00:00:58.779 --> 00:01:03.586
同様に残る２つの頂点を中心とする
２つの円を描きます

00:01:03.586 --> 00:01:07.704
その結果 全ての円が重なった部分が
求める図形です

00:01:07.704 --> 00:01:11.464
ルーローの三角形は平行線の間を

00:01:11.464 --> 00:01:13.583
距離を変えずに転がることができるので

00:01:13.583 --> 00:01:18.335
やや創造的な技術をもってすれば
車輪として使えます

00:01:18.335 --> 00:01:23.167
もし同時に中心を
ほぼ円形の軌道で回転させると

00:01:23.167 --> 00:01:28.010
周は角が丸くなった正方形を描き

00:01:28.010 --> 00:01:32.512
三角形の掘削用ビットが
正方形の穴をあけます

00:01:32.512 --> 00:01:34.986
あらゆる奇数の辺を持つ正多角形から

00:01:34.986 --> 00:01:38.518
先程の説明と同じ方法を使って

00:01:38.518 --> 00:01:41.215
定幅曲線を作ることができますが

00:01:41.215 --> 00:01:44.807
同時に 他の方法によっても
たくさんの定幅曲線を作ることができます

00:01:44.807 --> 00:01:49.792
例えばある定幅曲線を
別の定幅曲線の周りを転がすことにより

00:01:49.792 --> 00:01:51.656
新しい定幅曲線を作ることができます

00:01:51.656 --> 00:01:55.997
この先の尖った曲線群は数学者達を魅惑しています

00:01:55.997 --> 00:01:57.827
定幅図形はバルビエの定理

00:01:57.827 --> 00:02:01.230
「あらゆる定幅曲線の周は

00:02:01.230 --> 00:02:05.630
円に限らず 直径（幅）の円周率倍である」
をもたらしました

00:02:05.630 --> 00:02:09.676
また別の定理によると 「同じ幅を持つ

00:02:09.676 --> 00:02:11.537
いかなる定幅曲線も

00:02:11.537 --> 00:02:13.762
全て同じ外周をもち

00:02:13.762 --> 00:02:17.646
ルーローの三角形はその中で面積が最小で

00:02:17.646 --> 00:02:20.826
円 つまり無限の辺に対する
ルーローの多角形が

00:02:20.826 --> 00:02:24.356
面積最大である」と示されています

00:02:24.356 --> 00:02:28.795
３次元では定幅曲面

00:02:28.795 --> 00:02:30.686
たとえばルーローの四面体などが作れます

00:02:30.686 --> 00:02:32.715
正四面体を作り

00:02:32.715 --> 00:02:37.953
各頂点を中心に 対面の頂点に接するまで
球を膨らませ

00:02:37.953 --> 00:02:42.970
共通部分以外の全てを捨てるのです

00:02:42.970 --> 00:02:44.672
定幅曲面は

00:02:44.672 --> 00:02:49.039
２つの平行な面で一定の距離を維持します

00:02:49.039 --> 00:02:52.377
そのためたくさんのルーローの４面体を床にまけば

00:02:52.377 --> 00:02:57.614
その上を大理石の上のようにスムーズに
板で滑ることができます

00:02:57.614 --> 00:03:00.443
さてマンホールのふたに戻ります

00:03:00.443 --> 00:03:02.748
正方形のマンホールは ふたの短い辺が

00:03:02.748 --> 00:03:07.311
穴のより長い部分に重なると
中に落ちてしまいます

00:03:07.311 --> 00:03:12.105
しかし定幅曲線であれば
どのような向きでもおちることはありません

00:03:12.105 --> 00:03:14.803
通常は円形ですが 良く見ていれば

00:03:14.803 --> 00:03:19.073
ルーローの三角形のマンホールに
出会うこともあるでしょう