なぜほとんどのマンホールのふたは 丸いのでしょうか？
転がすのが簡単で どんな向きでも穴に収まる という理由ももちろんあります
しかしもう一つ不可欠な理由があり
円と特別な形だけが持っている 幾何学的特性に関係しています
平行な２本の線が正方形に接している 様子を思い浮かべて下さい
正方形が回転すると ２本の線はまず引き離され その後元に戻ります
しかしこれを円でやってみてください
２本の直線は常に同じ距離－
円の直径のままです
円は正方形とは異なり
数学的には定幅（ていふく）曲線と 呼ばれる形なのです
この性質を持つ他の図形は ルーローの三角形です
これを作るには 正三角形からスタートし
三角形の１つの頂点を 残る２つの頂点を通る円の中心にします
同様に残る２つの頂点を中心とする ２つの円を描きます
その結果 全ての円が重なった部分が 求める図形です
ルーローの三角形は平行線の間を
距離を変えずに転がることができるので
やや創造的な技術をもってすれば 車輪として使えます
もし同時に中心を ほぼ円形の軌道で回転させると
周は角が丸くなった正方形を描き
三角形の掘削用ビットが 正方形の穴をあけます
あらゆる奇数の辺を持つ正多角形から
先程の説明と同じ方法を使って
定幅曲線を作ることができますが
同時に 他の方法によっても たくさんの定幅曲線を作ることができます
例えばある定幅曲線を 別の定幅曲線の周りを転がすことにより
新しい定幅曲線を作ることができます
この先の尖った曲線群は数学者達を魅惑しています
定幅図形はバルビエの定理
「あらゆる定幅曲線の周は
円に限らず 直径（幅）の円周率倍である」 をもたらしました
また別の定理によると 「同じ幅を持つ
いかなる定幅曲線も
全て同じ外周をもち
ルーローの三角形はその中で面積が最小で
円 つまり無限の辺に対する ルーローの多角形が
面積最大である」と示されています
３次元では定幅曲面
たとえばルーローの四面体などが作れます
正四面体を作り
各頂点を中心に 対面の頂点に接するまで 球を膨らませ
共通部分以外の全てを捨てるのです
定幅曲面は
２つの平行な面で一定の距離を維持します
そのためたくさんのルーローの４面体を床にまけば
その上を大理石の上のようにスムーズに 板で滑ることができます
さてマンホールのふたに戻ります
正方形のマンホールは ふたの短い辺が
穴のより長い部分に重なると 中に落ちてしまいます
しかし定幅曲線であれば どのような向きでもおちることはありません
通常は円形ですが 良く見ていれば
ルーローの三角形のマンホールに 出会うこともあるでしょう