Posso pedir-vos para se lembrarem de uma altura

em que realmente adoraram algo,

um filme, um álbum, uma música ou um livro,

e em que o recomendaram de coração

a alguém de quem também gostavam muito,

e em que anteciparam a sua reacção, esperaram por ela,

e a reacção chegou, e a pessoa odiou o que recomendaram.

Em jeito de introdução,

este é o tema a que

me dedico todos os dias de trabalho desde há seis anos.

Eu sou professor de matemática do ensino secundário.

Eu vendo um produto a um mercado

que não o quer, mas é forçado por lei a comprá-lo.

Quero dizer, é uma proposta perdedora.

Há um estereótipo sobre os estudantes que considero útil,

um estereótipo útil sobre todos vocês.

Podia dar-vos

um exame final de Álgebra II

e esperaria um resultado não superior

a 25% de aprovações.

E estes factos dizem menos sobre vocês ou sobre os meus alunos

do que dizem sobre aquilo a que chamamos

o ensino da matemática nos E.U.A. hoje em dia.

Para começar, gostaria de dividir a matemática em duas categorias.

Uma é a computação. Esta é a matéria que vocês já esqueceram.

Por exemplo, factorizar expressões quadráticas

com coeficientes maiores que um.

Esta matéria também é muito fácil de reaprender,

admitindo que têm bases muito sólidas

de raciocínio, de raciocínio matemático.

Chamemos-lhe a aplicação

dos processos matemáticos ao mundo que nos rodeia.

Isto é difícil de ensinar.

Isto é o que gostaríamos que os alunos retivessem,

mesmo que não sigam nas áreas da matemática.

Isto é também algo que, da forma como a ensinamos nos E.U.A,

não garante a retenção dos conhecimentos.

Gostaria de falar sobre o porquê de isto acontecer,

de ser uma calamidade para a sociedade, o que podemos fazer

e, para terminar, o porquê de esta altura ser fantástica

para se ser professor de matemática.

Primeiro, apresento-vos cinco sintomas

que indicam que estão a fazer raciocínio matemático

de forma errada na vossa sala de aula.

Um é a falta de iniciativa; se os vossos alunos não tomarem a iniciativa.

Vocês terminam o vosso bloco de matéria

e imediatamente levantam-se mãos

a pedir para voltarem a explicar tudo outra vez junto às secretárias.

Os alunos têm falta de perseverança.

Se os alunos têm falta de atenção; se derem convosco

a explicar novamente os mesmos conceitos três meses depois.

Há uma aversão a problemas em texto corrido,

que afecta 99% dos meus alunos.

E o restante um por cento deles

está avidamente à procura da fórmula

para aplicar na situação em causa.

Isto é mesmo destrutivo.

David Milch, criador da série "Deadwood" e de outras séries de TV fantásticas,

tem uma descrição muito boa para isto.

Ele jurou que ia criar

séries de drama contemporâneo

adaptadas aos dias de hoje,

porque viu que quando as pessoas enchem as suas cabeças

com quatro horas por dia de, por exemplo, "Two and a Half Men", sem ofensas,

isso molda as activações neuronais, segundo ele,

de uma forma em que as pessoas esperam problemas fáceis.

Ele chamou a isto: "uma impaciência com a irresolução".

Somos impacientes com coisas que não se resolvem rapidamente.

Estamos à espera de problemas com a duração das séries de 22 minutos,

três anúncios comerciais e um padrão de gargalhadas.

E vou confrontar-vos com aquilo que todos já sabem:

nenhum problema que valha a pena resolver é tão simples.

Estou muito preocupado com isto,

porque vou reformar-me num mundo que vai ser gerido pelos meus alunos.

Estou a prejudicar

o meu próprio futuro e bem-estar

quando ensino desta forma.

Estou aqui para dizer-vos que o modo como os manuais, em particular,

os manuais adoptados em massa, ensinam o raciocínio matemático

e a resolução de problemas de forma paciente,

é equivalente, em termos práticos, a ficar a ver "Two and a Half Men" e ficar por aí.

(Risos)

A sério, aqui temos um exemplo de um manual escolar de física.

O mesmo se passa com os de matemática.

Reparem primeiro que

o problema tem três dados no enunciado,

cada um dos quais vai ser usado numa fórmula

algures, eventualmente,

que o aluno vai então calcular.

Eu acredito na vida real.

Perguntem a vocês próprios que problema alguma vez resolveram,

que tenha valido a pena,

onde tivessem todos os dados à priori;

ou onde não tivessem informação a mais e a tivessem que filtrar,

ou onde não tivessem informação suficiente

e tivessem que descobrir alguma.

Estou certo que todos concordam que nenhum problema desses é assim.

E o manual, sabe que está a levar os alunos ao colo,

porque, vejam isto, este é o exercício de treino.

Quando chega a hora resolver o verdadeiro problema proposto,

temos problemas como este mesmo aqui

onde apenas trocámos uns números e alterámos um pouco o contexto.

E se o aluno mesmo assim não reconhecer as semelhanças,

o livro diz-nos a que

problema exemplo se pode recorrer para descobrir a fórmula.

Sendo assim, podia-se perfeitamente

passar nesta lição sem saber nada de física,

basta saber descodificar o manual. É uma vergonha.

Eu consigo diagnosticar o problema de forma mais específica na matemática.

Aqui está um problema muito fixe. Gosto deste.

É sobre definir inclinação e declive

usando um teleférico.

Mas, na verdade, o que temos aqui são quatro camadas distintas.

E estou curioso sobre quem é que consegue ver as quatro camadas,

em particular quando estão comprimidas

e são apresentadas ao aluno todas de uma vez,

como é que isso cria a resolução impaciente do problema.

Vou defini-las aqui: Vocês têm a ilustração.

Também têm a estrutura matemática,

estou a falar das grelhas, medições, legendas,

pontos, eixos, esse tipo de coisas.

Temos os passos, que nos levam àquilo que se quer saber

que é: que troço é o mais inclinado.

Espero que todos consigam ver.

Espero mesmo que todos consigam ver como, o que estamos a fazer aqui,

é pegar numa questão interessante e dar uma resposta interessante,

mas estando a construir um caminho suave e sério

de uma ponta à outra,

e a dar os parabéns aos alunos pelo quão bem

eles conseguem ultrapassar os obstáculos pelo caminho.

É tudo o que estamos aqui a fazer.

Quero dizer-vos que, se pudermos separar isto de forma diferente,

e construir os problemas com os alunos,

podemos ter tudo o que procuramos em termos de resolução paciente de problemas.

Aqui, começo por introduzir a ilustração do problema

e pergunto imediatamente:

Qual é o troço mais inclinado?

E isto dá início ao debate

porque a ilustração é criada para que se possam defender duas respostas.

Assim conseguimos pôr as pessoas a debaterem o problema,

os amigos contra os amigos,

em pares, em equipa, não importa.

E às tantas apercebemo-nos de que

está a ficar incomodativo falar sobre

o esquiador no canto inferior esquerdo do ecrã

ou no esquiador acima da linha média.

E apercebemo-nos de quão bom seria

se tivéssemos umas legendas A, B, C e D

para falar mais facilmente dos esquiadores.

E depois, quando começamos a definir o que significa a inclinação,

apercebemo-nos de que seria bom ter algumas medidas

para focar o problema, e perceber o que realmente significa.

E aí e apenas aí,

mostramos a estrutura matemática envolvida.

A matemática serve o debate.

Não é o debate que serve a matemática.

E, nessa altura, digo-vos que 9 das 10 turmas

são capazes de fazer o problema sobre a inclinação e os declives.

Mas se precisarem,

os vossos alunos conseguem realizar os passos em conjunto.

Vocês vêm como isto aqui, comparado com aquilo ali --

qual deles cria a resolução paciente do problema, aquele raciocínio matemático?

Tem sido óbvia a escolha na minha experiência, para mim.

E agora dou lugar por instantes a Einstein,

que, penso eu, não ficou a dever nada a ninguém.

Ele falava sobre a importância extrema da formulação dos problemas, ("A formulação de um problema é regularmente mais essencial que a solução, que poderá ser meramente uma questão de capacidade matemática ou experimental")

e ainda assim, da minha experiência, nos E.U.A,

apenas damos problemas aos alunos;

não os envolvemos na formulação do problema.

Por isso, 90% do que eu faço

com as minhas cinco horas semanais de preparação

é pegar em elementos interessantes

de problemas como este do meu manual

e reconstruí-los para suportarem o raciocínio matemático e a resolução paciente do problema.

E funciona assim.

Gosto desta pergunta. É sobre um reservatório de água.

A pergunta é: Quanto tempo demora a enchê-lo? Ok?

Primeiro, eliminamos todos os passos.

Os alunos é que têm que os desenvolver.

Têm que os formular.

E notem que toda a informação ali escrita é tudo coisas que precisam.

Nada é uma distracção, o que é bom.

Os alunos precisam de decidir:

a altura interessa? As dimensões interessam?

A cor da válvula interessa? O que interessa neste caso?

Que pergunta tão vaga, tendo em conta o programa de matemática.

Então, agora temos um repositório de água.

Quanto tempo demorará a enchê-lo? É isto que temos.

E como estamos no século XXI,

gostaríamos de falar do mundo real tal como o vemos

e não em termos de ilustrações ou desenhos

como se vê tipicamente nos manuais,

por isso, tiramos uma fotografia do cenário.

Agora temos o cenário real.

Quanto tempo demorará a enchê-lo?

E, melhor ainda, é gravar um vídeo,

um vídeo de alguém a enchê-lo.

E está a encher devagar, dolorosamente devagar.

É entediante.

Os alunos estão a olhar para o relógio, a rolar os olhos,

e a perguntar-se a certo ponto

"Fogo, quanto tempo é que demora a encher?"

(Risos)

É assim que se vê que eles morderam o isco, certo?

E essa pergunta, tirada daqui, é muito divertida para mim

porque, como disse na introdução,

eu ensino miúdos, por causa da minha inexperiência,

ensino os miúdos mais difíceis de ensinar, está bem?

E tenho alunos que não se juntam a uma conversa sobre matemática:

"porque alguém tem a fórmula,

porque alguém sabe manipular a fórmula melhor do que eu,

por isso, não vou falar sobre isso."

Mas neste caso, todos podem jogar com a intuição.

Todos já encheram algo com água,

então deixo os miúdos darem o palpite sobre quanto demorará a encher.

Tenho miúdos que têm aversão à matemática e a conversar,

que passam a juntar-se ao debate.

Pomos nomes no quadro, juntamo-los a palpites

e os miúdos aderem.

E depois seguimos o processo que já descrevi.

E a melhor parte, ou uma das melhores partes

é que não vamos ver a resposta às soluções

no fim do livro da edição do professor.

Em vez disso, basta ver o filme até ao fim.

(Risos)

E isso é assustador, percebem,

porque os modelos teóricos que funcionam sempre

e que têm resposta no fim do livro do professor,

são muito bons, mas

é assustador falar das fontes de erros

quando a teoria não está de acordo com a prática.

Mas esses debates têm sido tão valiosos,

dos mais valiosos.

Por isso, estou aqui para dar conta de

alguns jogos divertidos com alunos que chegam

erradamente moldados no primeiro dia de aulas.

Estes são os miúdos, que agora, depois de um semestre,

se eu puser algo no quadro

totalmente novo, totalmente estranho,

eles conseguem falar sobre isso três ou quatro minutos a mais

do que conseguiam no princípio do ano,

o que é tão divertido.

Já não são avessos aos problemas em texto corrido,

porque redefinimos o que é um problema em texto corrido.

Já não se deixam intimidar pela matemática,

porque estamos lentamente a redefinir o conceito de matemática.

Isto tem sido muito divertido.

1. Encorajo os professores de matemática com quem falo para usarem meios multimédia

porque permitem trazer o mundo real para dentro da sala de aula

em alta definição e a cores,

2. Encorajar a utilização da intuição por parte dos alunos

3. Fazer a pergunta mais curta que conseguirem

e deixar que as perguntas mais específicas surjam no debate

4. Deixar que os alunos possam construir o problema,

porque Einstein assim o disse

e finalmente, 5. Para, de uma forma geral, sermos menos prestativos,

porque o manual está a ajudar os alunos da maneira errada.

Está a desviar os alunos das suas obrigações

da resolução paciente de problemas e do raciocínio matemático.

E digo que esta é uma altura fantástica para ser professor de matemática

porque temos as ferramentas para criar

este currículo de grande qualidade no nosso bolso.

Estão em todo o lado e são relativamente baratas.

E as ferramentas para o distribuir

livremente, sob licenças abertas

nunca foram tão baratas e generalizadas.

Eu pus uma série de vídeos no meu blogue há pouco tempo

e tive 6.000 visualizações em duas semanas.

Ainda recebo e-mails de professores de países onde nunca fui

a dizer: "Uau. Tivemos um bom debate sobre isso.

E, a propósito, vê como melhorei os teus conteúdos."

o que é surpreendente.

Publiquei recentemente este problema no meu blogue.

Estando numa mercearia, em que fila nos devemos pôr?

Na que tem um carrinho e 19 itens

ou na que tem quatro carrinhos com três, cinco, dois e um item (respectivamente).

A modelação linear envolvida nisso gerou interesse na minha sala de aula,

mas também me levou ao programa "Good Morning America" umas semanas depois,

o que é algo estranho, não é?

E, disto tudo, só posso concluir

que as pessoas, não só os alunos,

estão mesmo necessitadas disto.

A matemática faz o mundo ter sentido.

A matemática é o vocabulário

para a nossa intuição.

Por isso, resta-me encorajar-vos para, qualquer que seja o vosso papel na educação,

sejam alunos, pais, professores, legisladores, não importa,

insistam num melhor currículo de matemática.

Precisamos de mais pessoas que resolvam problemas pacientemente. Obrigado. (Aplausos)