இந்தக் காணொளியில் கழித்தல் கணக்கை
ஒருமுறை மறுபார்வை பார்த்து விடுவோம்.
5லிருந்து 3ஐக் கழிப்பது என்றால் அது எதைக் குறிக்கிறது?
இதை நம்மால் பல கோணங்களில் பார்க்க முடியும்.
நம்மிடம் 5 செர்ரிப் பழங்கள் இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம். செர்ரி என்றால் தெரியுமில்லையா.....
ரத்தச் சிவப்பில் அழகாக உருண்டையாக இருக்கும். அவை 1, 2, 3, 4, 5
5 பழங்கள் உள்ளன, இந்த ஐந்தில் 3ஐக் கழிப்பது என்றால்
அதாவது மூன்றைக் குறைப்பது
வேறு வார்த்தையில் சொன்னால் இந்த ஐந்து பழங்களில் இருந்து
3 பழங்களை எடுத்து விடுவது.
இந்த ஒன்று.... அடுத்து ஒன்று..... மற்றும் ஒன்று.......
3 பழங்களை எடுத்து விட்டோம்.
மூன்றினை எடுத்து விட்ட பிறகு, மீதம் இருப்பவை எத்தனை?
இங்கே மீதமாக இருப்பது 1, 2
இரண்டு பழங்கள் மீதி உள்ளன.
இதையே இன்னொரு விதமாகவும் செய்யலாம். எப்படி?
5 கழித்தல் 3 என்றால்,
5க்கும் 3க்கும் இடையில்
என்ன வித்தியாசம் இருக்கிறது?
இதை வரைந்து கொள்வோம்.
நம்மிடம் இருப்பது ஐந்து பெர்ரிப் பழங்கள்.
1, 2, 3, 4, 5
உங்களிடம் 3 பழங்கள் இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம்.
இதற்கு வேறு நிறம் கொடுப்போம்.
உங்களிடம் மூன்று பெர்ரிப் பழங்கள் உள்ளன.
5 இல் மூன்றைக் கழித்தால்
உங்களிடம் இருப்பதை விட என்னிடம் எத்தனை பழங்கள் அதிகமாக இருக்கும்..?
இந்த பெர்ரிப் பழங்களைப் பாருங்கள்
என்னிடம் ஒரு பழம், உங்களிடம் ஒரு பழம்
ஆனால், கூடுதலாக இந்த 2 பழங்கள் என்னிடம் உள்ளன, உங்களிடம் இல்லை
உங்களைவிட என்னிடம் இருப்பது 2 பழங்கள் அதிகம்.
இந்தக் கணக்கை நாம் எண் கோட்டின் வழியாகவும் செய்யலாம்.
உங்களுக்குத் தெளிவாகப் புரியும்.
ஓர் எண் கோட்டை வரைந்து கொள்கிறேன்.
இது நம்முடைய எண் கோடு
எண் கோட்டு முறையை பல காணொளிகளில் பார்த்திருப்பீர்கள்.
இந்த எண் கோட்டை நீட்டிக்கொண்டேபோகலாம் என்பது உங்களுக்குத் தெரியும்.
உண்மையில், நாம் 0க்கு இடப்பக்கமும் செல்லலாம்
இடப்பக்கம் சென்றால், அவை எதிர்மறை எண்கள்.
இப்போது நாம் 0 ல் தொடங்குவோம்.
0, 1, 2, 3, 4, 5... என 7வரை வரைவோம்
5 கழித்தல் 3 என்றால், 5லிருந்து 3ஐக் கழிக்க வேண்டும்.
ஆகவே 5ல் தொடங்குவோம்.
5 + 3 என்றால் வலப்பக்கம் 3 இடங்கள் நகர வேண்டும்.
அது, நம்மிடமுள்ள எண்ணிக்கையை அதிகரிக்கும்.
ஆனால் இங்கே செய்யப்போவது மூன்றைக் கழித்தல்.
ஆகவே, 1, 2, 3 எனக் குறைத்துக் கொண்டே போக கிடைக்கும் விடை 2.
இந்தக் கோணத்தில் புரிந்து கொள்ள நாம்
இன்னொரு எண் கோடு வரைந்து கொள்வோம்.
அதுதான் தெளிவாகப் புரியும்.
ஐந்தானது மூன்றை விட
எத்தனை அதிகம் என்பது தெரியும்.
விடை அதே இரண்டு தான்.
ஆனால் நாம் கணக்கை இன்னொரு கோணத்தில் புரிந்து கொள்கிறோம்.
சரி மற்றுமொரு எண் கோடு வரையலாம்.
அதில் எண்களைக் குறித்துக் கொள்வோம்.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
இதில் ஐந்து எங்கே இருக்கிறது.
ஆங்..... இங்கே இருக்கிறது.
இந்த இடத்தைக் குறிக்க ஒரு பிங்க் நிற சதுரம் வரைவோம்
ஐந்து இங்கே இருக்கிறது.
அடுத்து 3 எங்கே உள்ளது? அதை மஞ்சளில் குறித்துக் கொள்வோம்.
இது மூன்று
இந்த இரண்டிற்கும்
இடையே உள்ள வேறுபாடு என்ன..?
ஐந்துக்கும் மூன்றுக்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசத்தை
அறிந்து கொள்ள எளிய முறை ஒன்று இருக்கிறது.
மூன்றுடன் எதைக் கூட்டினால் 5 வரும்?
வித்தியாசம் என்றால், 5லிருந்து 3 எவ்வளவு வேறுபடுகிறது என்பது தான்.
மூன்றில் இருந்து போவோம் ஒன்று.... இரண்டு 5க்குச் செல்ல 2 தேவை
ஆக, 5 க்கும் மூன்றுக்கும்
இடையிலான வித்தியாசம் இரண்டு.
இரண்டு நிலைகள் வேறுபட்டிருப்பது நமக்குத் தெரிந்து விட்டது.
அதை இங்கே வரைவோம்
இது 2
கழித்தல் என்பதற்கும் வித்தியாசம் என்பதற்கும் இடையே
உள்ள வேறுபாட்டை நாம் தெரிந்து கொள்வோம்.
இவை கழித்தலின் இரண்டு வேறுபட்ட கோணங்கள்.
எப்படிக் கணக்கிட்டாலும் மிகச் சரியாக ஒரே விடைதான் கிடைக்கும்.
எந்த முறையைப் பின்பற்றினாலும், விடை ஒன்றுதான்
ஏனென்றால் ஒரே விடையைக் கண்டுபிடிக்கத்தான் இரண்டு வேறு கோணங்களில் முயற்சிக்கிறோம்.
சரி இன்னொரு கணக்கு. இப்போது வேறுபட்ட எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம்.
7 கழித்தல் 4 என்ன?
என்னிடம் 7 அடி நீள மரம் உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம்.
இந்த மரக்கட்டை
ஏழு அடி நீளம் உள்ளது.
அதில் இங்கே ஒரு கோடு வரைகிறோம். இதைப் பூஜ்ஜியம் என்று வைத்துக் கொள்வோம்.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
ஆக, இந்த மரக்கட்டையின் நீளம் ஏழு அடி.
இதில் 4 அடியை அறுத்து விடுகிறோம்.
இந்த 4 அடியை இதிலிருந்து எடுப்பது என்றால்
1, 2, 3, 4ஐ அறுத்து விட வேண்டும்.
அறுத்தது போக மீதி மரத்தின் நீளம் எவ்வளவு இருக்கும்?
இதெல்லாம் நீக்கப்பட்டு விட்ட பின்னர்
4 அடி மரம் நீக்கிய பிறகு
மீதமிருப்பது 1, 2, 3 அடி மரம்
நம்மிடம் மீதமிருப்பது மூன்று அடி.
ஆக, ஏழு கழித்தல் நான்கு மூன்று
இங்கே கழித்தல் என்பது நீக்குதல்
மரத்தைப் பொறுத்த அளவில் அறுத்து நீக்குவது.
இதை இன்னொரு கோணத்தில் பார்க்கலாம்.
அப்போதும் அதே விடைதான் வரும்.
7 கழித்தல் நான்கு என்ற கணக்கு தான்.
இங்கே ஏழு அங்கு நீளத்திற்கு
மரத்தைப் போல ஒன்று இருக்கிறது.
இது 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
இது 7 அங்குலம்.
இதிலிருந்து 4 அங்குலத்தை எடுப்பதற்குப் பதிலாக
அதை ஒரு நான்கு அங்குல மரத்தால் அளந்து பார்ப்போம்.
இது மற்றொரு 4 அங்குல மரம்.
அங்குலம் என்றால் உங்களுக்குத் தெரியும் இல்லையா.... ஆங்கிலத்தில் இஞ்ச் என்று கூறுவது தான் தமிழில் அங்குலம் எனப்படுவது.
இது 7 அங்குல மரம், இது 4 அங்குல மரம்.
7 கழித்தல் 4 என்பதை,
ஏழிலிருந்து நான்கை நீக்குவதாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
7 அங்குல மரத்திற்கும் 4 அங்குல மரத்திற்கும்
இடையை உள்ள வேறுபாட்டைக் காண்பதாகவும் வைத்துக் கொள்ளலாம்.
சரி இங்கே என்ன வேறுபாடு?
4 அங்குல மரத்திலிருந்து 7 அங்குல மரத்துக்குச் செல்ல
நாம் 3 அங்குலத்தைச் சேர்க்க வேண்டும்.
ஏதோ ஒருவகையில் சேர்ப்பது
அல்லது, மூன்று அங்குல உயரத்தை வளர்ப்பது.
ஏதாவது அது அதிகமானால் தான் நான்கு அங்குலம் ஏழு அங்குலமாக மாறும்.
இந்த இரு முறைகளும் முற்றிலும் ஒன்று தான்.
இருவேறு முறைகளில் கழித்தல் அவ்வளவு தான்.
அடுத்து நாம் காணப் போவது சற்றே பெரிய கணக்கு.
எளிய கணக்குகளுக்கு எண் கோடு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
17 கழித்தல் 9 கணக்கைப் பார்க்கலாம்.
இதையும்
இரண்டு வழிகளில் கழிக்கலாம்.
இந்த இடத்தில் 17 பொருட்கள் என்பதைக் குறிக்க
பதினேழு சிப்ஸ் வரைந்து கொள்வோம். இந்த சிப்ஸ்களை கவனமாக கையாள வேண்டும். இல்லையென்றால் உடைந்து விடும்.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 சிப்ஸ்.
இவற்றில் நாம் 9ஐ நீக்கப்போகிறோம்.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ஒன்பதை நீக்கி விடுகிறோம்.
மீதி எத்தனை சிப்ஸ் இருக்கும்.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
ஆக, 17 இல் ஒன்பது போக எட்டு மீதம் இருக்கும்.
ஆனால், இப்படி ஒவ்வொன்றாக எடுத்துக் கொண்டிருந்தால்
கணக்குப் போட அதிக நேரமாகும்.
இத்தனை வட்டங்கள் வரைந்து, அவற்றை அடித்துக் கொண்டிருந்தால்
காகிதமும் வீணாகும்
நேரமும் வீணாகும்....
இந்தக் கணக்கைச் செய்ய எளிய வழி...
எண் கோடு வரைந்து கணக்கிடுவது தான்.
எண் கோட்டினை எப்போதுமே பூஜ்ஜியத்தில் தான் தொடங்க வேண்டும் என்பதில்லை.
எண் கோட்டில் 18இல் தொடங்கி 17, 16...
15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7... என்று தொடர்ந்து
இடது பக்கமாக பூஜ்ஜியம் வரை செல்லலாம்
இப்போது 17ல் தொடங்குவோம்.
17ல் தொடங்கி, அதில் 9ஐ நீக்குகிறோம்.
ஆக நம்மிடம் மீதமிருப்பது என்ன 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
இப்போதும் நமக்கு
விடையாகக் கிடைப்பது எட்டு.
இந்த முறை மிகவும் எளிதாக இருக்கும்.
ஆனால், ஒவ்வொருமுறையும் இப்படிக் கணக்கிட இயலாது
ஆனால், ஒவ்வொருமுறையும்
கழிப்பது அல்லது வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பது போன்றவற்றைச் செய்து கொண்டிருக்க இயலாது.
ஆகவே, நீங்கள் இதை ஆழமாகத்
தெரிந்து வைத்திருப்பது அவசியம்.
உதாரணமாக, 17 கழித்தல் 9 என்பதை மனப்பாடமாக என்று சொல்ல வேண்டும்.
என்னைக் கேட்டால் எட்டு என்று எண் கோடில்லாமல் ஒவ்வொன்றாக நீக்காமல் சொல்லி விட முடியும்.
சரி பதினேழு கழித்தல் எட்டு என்ன..?
பதினேழு கழித்தல் எட்டு
ஆம் ஒன்பது...
இது எப்படி?
8 + 9 என்றால் அது பதினேழிற்குச் சமம்.
ஆகவே, 17 இல் ஒன்பதைக் கழித்தால் கிடைப்பது எட்டு.
அல்லது, 17 கழித்தல் எட்டு என்றால் விடை ஒன்பது.
17 கழித்தல் எட்டு என்கிறபோது
ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுடன் 8ஐக் கூட்டினால் 17 வரும்
அந்த எண் தான் 9.
17 கழித்தல் ஒன்பது என்கிறபோது
ஏதோ ஓர் எண்ணுடன் 9ஐக் கூட்டினால் 17 வரும்
அந்த எண் 8
இவை எல்லாமே ஒன்றுதான்
8 கூட்டல் 9 சமம் 17
அல்லது, 17 கழித்தல் 9 சமம்எட்டு.
அல்லது, 17 கழித்தல் எட்டு என்றாலும் அது ஒன்பது.
இதில் ஒன்றும் குழப்பம் இல்லையே....
பெரும்பாலான கழித்தல் கணக்குகளில்
ஒற்றை இலக்க விடை என்றால்
உடனே உங்களது கற்பனையில் எண்கோடு வந்து விட வேண்டும்.
அதன் மூலமாக விடை சட்டென்று கிடைத்து விடும்.
மேலும் சில கணக்குகளைப் போட்டுப் பார்த்தால்
அவை நம் நினைவில் பதிய ஏதுவாகி விடும்.
சிறிய எண்களை மனப்பாடம் செய்து விட்டு
அதன் பிறகு பெரிய எண்களைக் கழிக்கும் கணக்குகளைப் பார்க்கலாம்.
இப்போது, 13 லிருந்து ஐந்தைக் கழிப்போம்.
இந்தக் கணக்கிற்கு நாம் பழைய முறைப்படி
பழம், சிப்ஸ் போன்றவற்றை எடுத்துக் கொள்ளப் போவதில்லை.
அவற்றையெல்லாம் சாப்பிட்டு விட்டதாக நினைத்துக் கொண்டு
நேரடியாக எண் கோடு வரைவோம்.
தொடங்கலாமா 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5
என்று தொடர்ந்து கீழ் நோக்கிச்சென்று கொண்டே இருக்கலாம்.
பூஜ்ஜியத்தைக் கடந்தும் செல்லலாம்.
அதை அப்புறம் பார்க்கலாம்.
இப்போது 13ல் தொடங்கினோம்.
அதிலிருந்து 5ஐ நீக்குகிறோம்.
இது கழித்தல் முறைப்படி
5ஐ நீக்குகிறோம்
1, 2, 3, 4, 5... விடை 8
ஆக, 13 கழித்தல் 5 சமம் 8
இதையே இன்னொரு கோணத்தில் செய்யலாம்.
13ஐக் குறிக்கலாம்.
அடுத்து ஐந்தைக் குறிப்போம்.
இது 5
இந்த எண் கோட்டில் 5 இங்கே இருக்கிறது.
5உடன் எதைக் கூட்டினால் 13 வரும்?
பார்ப்போம்.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
5 உடன் 8ஐக் கூட்டினால் 13 வரும்
5 கூட்டல்எட்டு என்றால் பதிமூன்று.
பதிமூன்று கழித்தல் ஐந்து சமம் எட்டு
இவை அனைத்திலும் நாம் புரிந்து கொள்வது ஒன்று தான்.
13க்கும் 5க்கும் வித்தியாசம் 8
13க்கும் 8க்கும் வித்தியாசம் 5
இது நமக்குப் புரிகிறது தானே.
இது நமக்கு நல்ல பயிற்சியாக அமையும்.
ஏதேனும் இரண்டு எண்களை எடுத்துக் கொண்டு
கழித்துப் பார்ப்போம். அதையே கூட்டிப் பார்ப்போம்.
அது ஒரு நல்ல பயிற்சியாக அமையும்.