0:00:06.663,0:00:09.040
皮克斯擅長說故事

0:00:09.040,0:00:11.333
但有個故事並不廣為人知

0:00:11.333,0:00:13.682
就是運用在動畫中

0:00:13.682,0:00:15.418
大量的數學

0:00:15.418,0:00:16.839
你在初中和高中

0:00:16.839,0:00:18.387
所學到的數學

0:00:18.387,0:00:20.508
在皮克斯中無所不在

0:00:20.508,0:00:23.095
舉個很簡單的例子

0:00:23.095,0:00:25.137
有人認識這他嗎？

0:00:26.727,0:00:29.305
這是《玩具總動員》裡的「胡迪」

0:00:29.305,0:00:31.971
讓胡迪走向另一邊

0:00:31.971,0:00:34.521
就像這樣，從左到右

0:00:34.521,0:00:38.888
你相信嗎？[br]你剛看到了一堆數學

0:00:38.888,0:00:40.055
在哪呢？

0:00:40.055,0:00:42.114
我解釋一下

0:00:42.114,0:00:43.322
你要知道

0:00:43.322,0:00:45.076
藝術家和設計師腦子裡想的

0:00:45.076,0:00:46.829
都是圖像和意象

0:00:46.829,0:00:49.639
但電腦裡運作的都是數字和方程式

0:00:49.639,0:00:51.222
為了要讓兩者結合

0:00:51.222,0:00:52.888
我們運用了數學概念

0:00:52.888,0:00:54.752
稱為幾何座標

0:00:54.752,0:00:56.754
我們設定一個座標系統

0:00:56.754,0:01:00.171
x 軸表示物件向右移動的距離

0:01:00.171,0:01:02.945
y 軸則決定物件的高度

0:01:02.945,0:01:04.709
有了座標

0:01:04.709,0:01:07.554
就能讓胡迪出現在任何地方

0:01:07.554,0:01:09.721
舉例來說[br]如果我們知道

0:01:09.721,0:01:11.803
左下角圖像的座標

0:01:11.803,0:01:13.772
那就能知道其他的圖像在哪了

0:01:13.772,0:01:16.471
剛才看到的動畫

0:01:16.471,0:01:18.471
就叫做平移

0:01:18.471,0:01:21.473
x 座標值從 1 開始

0:01:21.473,0:01:24.306
在大約 5 的地方停下

0:01:24.306,0:01:26.700
如果用數學的方式表示

0:01:26.700,0:01:29.738
x 值比剛開始

0:01:29.738,0:01:32.053
大四個值

0:01:32.053,0:01:35.082
換言之，平移的數學

0:01:35.082,0:01:36.500
就是加法

0:01:36.500,0:01:37.835
對吧？

0:01:37.835,0:01:38.972
那進位法呢？

0:01:38.972,0:01:41.303
功能是讓物件變大或變小

0:01:41.303,0:01:44.138
猜猜進位法的數學應該是什麼？

0:01:44.968,0:01:48.222
擴大、乘法，沒錯

0:01:48.222,0:01:49.889
如果要把東西放兩倍大

0:01:49.889,0:01:52.305
x 值和 y 值都要加乘

0:01:52.305,0:01:53.944
都乘上 2

0:01:53.944,0:01:56.192
顯示了進位法的數學

0:01:56.192,0:01:57.521
就是乘法

0:01:57.521,0:01:58.554
好的

0:01:58.554,0:01:59.472
那這個呢？

0:01:59.472,0:02:02.722
讓圖像旋轉

0:02:02.722,0:02:06.071
旋轉的數學就是三角函數

0:02:06.071,0:02:08.139
這是解釋三角函數的方程式

0:02:08.139,0:02:09.994
乍看有點嚇人

0:02:09.994,0:02:12.995
你在八或九年級時可能學過

0:02:12.995,0:02:16.000
假如你坐在教室裡學三角函數

0:02:16.000,0:02:18.759
想著以後又不可能用到這東西

0:02:18.759,0:02:21.170
只要記住[br]任何你在我們電影裡

0:02:21.170,0:02:22.554
看到會旋轉的東西

0:02:22.554,0:02:24.806
就關係著三角函數

0:02:24.806,0:02:27.176
我七年級時第一次愛上數學

0:02:27.176,0:02:28.802
現場有七年級生嗎？

0:02:28.802,0:02:29.818
有一些是

0:02:29.818,0:02:32.055
我那時候的自然老師告訴我

0:02:32.055,0:02:33.720
怎麼用三角函數

0:02:33.720,0:02:36.640
計算我正在建造的火箭高度

0:02:36.640,0:02:38.055
我當時覺得很神奇

0:02:38.055,0:02:41.140
從此我就對數學死心踏地

0:02:41.140,0:02:42.859
這有點老數學了

0:02:42.859,0:02:44.305
數學是在古希臘時期

0:02:44.305,0:02:47.140
發展並廣為人知

0:02:47.140,0:02:48.911
有個傳說

0:02:48.911,0:02:51.493
有趣的數學都已被理解

0:02:51.493,0:02:54.329
事實上[br]是所有數學都已被理解

0:02:54.329,0:02:56.304
但新的數學

0:02:56.304,0:02:58.124
卻是一直持續的創造

0:02:58.124,0:03:00.334
且有些是皮克斯創造的

0:03:00.334,0:03:02.555
我要舉個例子

0:03:02.555,0:03:04.172
這些角色

0:03:04.172,0:03:05.888
來自一些我們早期的電影

0:03:05.888,0:03:10.434
《海底總動員》、《怪獸電力公司》、《玩具總動員 2》

0:03:10.434,0:03:13.682
誰知道左上角那個藍色的角色是誰？

0:03:13.682,0:03:15.639
是「多莉」，這很容易

0:03:15.639,0:03:16.602
這個就比較難了

0:03:16.602,0:03:19.853
有人知道右下角那個角色是誰嗎？

0:03:19.853,0:03:22.445
「艾爾玩具城」的老闆「艾爾」，沒錯

0:03:22.445,0:03:24.304
注意這些角色

0:03:24.304,0:03:25.776
他們都很複雜

0:03:25.776,0:03:27.778
他們的形體非常複雜

0:03:27.778,0:03:28.885
清理玩具的爺爺

0:03:30.335,0:03:31.798
我有個樣本

0:03:31.798,0:03:33.941
畫面中間的是清理玩具的爺爺

0:03:33.941,0:03:35.746
這是他的手

0:03:35.746,0:03:37.749
你能想像這隻手過海關

0:03:37.749,0:03:39.237
會多麼有趣

0:03:40.917,0:03:42.837
這隻手的形狀很複雜

0:03:42.837,0:03:45.712
這不只是一堆球體和圓柱體黏在一起

0:03:45.712,0:03:47.591
它不只很複雜

0:03:47.591,0:03:49.727
甚至還要進行複雜的活動

0:03:49.727,0:03:51.509
我現在告訴你這怎麼做的

0:03:51.509,0:03:53.771
我要先告訴你什麼是中點

0:03:53.771,0:03:55.721
這裡有兩個點，A 點和 B 點

0:03:55.721,0:03:57.099
兩點間有一條線段

0:03:57.099,0:03:59.304
我們從兩個面向討論

0:03:59.304,0:04:01.022
M 是中點

0:04:01.022,0:04:03.389
平分該線段

0:04:03.389,0:04:05.108
這是幾何學

0:04:05.108,0:04:06.471
為了寫出方程式和數字

0:04:06.471,0:04:08.529
我再次介紹座標系統

0:04:08.529,0:04:10.472
如果已得知 A 和 B 的座標

0:04:10.472,0:04:12.405
就可以藉由算出平均

0:04:12.405,0:04:13.742
輕易得到 M 的座標

0:04:13.742,0:04:16.245
你現在對皮克斯的工作已有足夠了解

0:04:16.245,0:04:17.578
我秀給你看

0:04:17.578,0:04:19.541
我要做的這個有點嚇人

0:04:19.541,0:04:22.055
移動一個會動的樣本

0:04:22.055,0:04:25.972
這裡有一個四角形

0:04:25.972,0:04:27.088
我現在要把這個

0:04:27.088,0:04:29.132
弄成圓滑的曲線

0:04:29.132,0:04:31.761
只是運用中點的概念

0:04:31.761,0:04:32.929
我首先要做的

0:04:32.929,0:04:34.889
就是平均分割

0:04:34.889,0:04:37.097
把各邊都加上中點

0:04:37.097,0:04:39.221
如此 4 個點就變 8 個點

0:04:39.221,0:04:40.518
這並沒有使其變圓滑

0:04:40.518,0:04:41.722
我現在要讓它圓滑一點

0:04:41.722,0:04:44.691
順時針移動這些點

0:04:44.691,0:04:47.805
到鄰近的中點

0:04:47.805,0:04:49.222
移動一下

0:04:49.222,0:04:51.139
這就叫做平均線移

0:04:51.139,0:04:52.556
現在上面有 8 個點

0:04:52.556,0:04:53.639
變圓滑了一些

0:04:53.639,0:04:55.325
我要把它弄得更圓滑

0:04:55.325,0:04:56.890
我該怎麼做？

0:04:56.890,0:04:59.077
重複剛才的動作

0:04:59.077,0:05:00.997
現在變16個點

0:05:00.997,0:05:02.554
我現在要把平均分割和平均線移

0:05:02.554,0:05:04.169
兩個步驟合在一起

0:05:04.169,0:05:05.616
稱為細分

0:05:05.616,0:05:07.449
意思就是先分割再線移

0:05:07.449,0:05:09.262
變 32 個點

0:05:09.262,0:05:10.700
如果不夠圓滑，就再重複一次

0:05:10.700,0:05:12.117
變 64 個點

0:05:12.117,0:05:13.971
有看到變形後的曲線

0:05:13.971,0:05:15.638
跟原來四個點的差別嗎？

0:05:15.638,0:05:17.117
我們就是如此創造出

0:05:17.117,0:05:19.222
各角色的外型

0:05:19.222,0:05:20.558
但記得我剛說過

0:05:20.558,0:05:23.145
只了解這種靜止且固定的形狀

0:05:23.145,0:05:24.146
是不夠的

0:05:24.146,0:05:25.533
我們要讓它動起來

0:05:25.533,0:05:27.277
讓曲線動起來

0:05:27.277,0:05:28.900
這就是細分的厲害

0:05:28.900,0:05:31.653
記得《玩具總動員》裡的三眼外星人嗎？

0:05:31.653,0:05:32.534
你認得他們的聲音

0:05:32.534,0:05:34.268
「噢～」

0:05:34.268,0:05:35.048
看好

0:05:35.048,0:05:36.950
所以我們要移動這個曲線

0:05:36.950,0:05:41.079
就只要移動原本的四個點

0:05:41.079,0:05:43.666
「噢～」

0:05:44.996,0:05:46.783
我覺得這很酷

0:05:46.783,0:05:49.086
如果你不這麼覺得[br]大門就在那

0:05:49.086,0:05:50.673
這對我們彼此都好

0:05:52.783,0:05:54.617
平均分割與平均線移的概念

0:05:54.617,0:05:56.803
也用在平面外觀

0:05:56.803,0:06:00.222
先分割再線移

0:06:00.222,0:06:02.263
再次分割和線移

0:06:02.263,0:06:03.867
兩個放在一起就是細分

0:06:03.867,0:06:05.616
我們就是如此創造出

0:06:05.616,0:06:09.106
角色的 3D 外型

0:06:09.106,0:06:10.534
細分的概念

0:06:10.534,0:06:13.234
在1997年[br]我們首次運用在動畫短片

0:06:13.234,0:06:14.821
叫做《棋局》

0:06:14.821,0:06:16.782
主角「傑瑞」有立體的外表

0:06:16.782,0:06:19.200
他就是《玩具總動員 2》清理玩具的爺爺

0:06:19.200,0:06:20.327
他的兩隻手

0:06:20.327,0:06:22.868
是我們第一次運用到細分

0:06:22.868,0:06:24.667
兩隻手都是細分後的表面

0:06:24.667,0:06:26.506
臉部也是

0:06:26.506,0:06:27.835
他的夾克也是

0:06:27.835,0:06:29.783
這是傑瑞細分前的手

0:06:29.783,0:06:32.586
這是細分之後

0:06:32.586,0:06:34.590
所以細分只是讓各個表面

0:06:34.590,0:06:35.842
往內縮或往外凸

0:06:35.842,0:06:37.676
而做出漂亮的外觀

0:06:37.676,0:06:40.116
就成了你在電影院裡所見的那樣

0:06:40.116,0:06:43.182
從那之後[br]我們都是用此法創出角色

0:06:43.182,0:06:46.560
這是《勇敢傳說》裡的「梅莉達」

0:06:46.560,0:06:48.313
她穿的衣服就是細分表面

0:06:48.313,0:06:49.482
雙手、臉都是

0:06:49.482,0:06:51.200
那些族人的臉、手

0:06:51.200,0:06:52.821
也都是細分表面

0:06:52.821,0:06:55.066
今天看到了我們運用動畫角色上的

0:06:55.066,0:06:58.838
加法、乘法、三角函數和幾何學

0:06:58.838,0:07:00.075
如果再給我一點時間

0:07:00.075,0:07:01.867
我就能介紹線性代數

0:07:01.867,0:07:04.662
微分和積分

0:07:04.662,0:07:06.033
也如何囊括在內

0:07:06.033,0:07:09.200
今天我主要是要讓你們知道

0:07:09.200,0:07:12.117
記得你在高中到大二間

0:07:12.117,0:07:15.071
所學的數學

0:07:15.071,0:07:18.954
皮克斯無時無刻都在使用

0:07:18.954,0:07:20.484
謝謝