ピクサーで最も大切なのは ストーリーを語ることですが あまり語られていないのは いかに深く数学が 映像制作に関わっているかです 皆さんが 中学や高校で学ぶ数学を 皆さんが 中学や高校で学ぶ数学を ピクサーでは毎日使っています まずは 簡単な例をお見せしましょう このキャラクターは誰でしょう？（歓声） そう 　トイ・ストーリーのウッディです ではウッディに皆さんの前を 横切ってもらいましょう そう 左から右側に向かって 歩いてもらいます 実は 今見たものに 沢山の数学が使われているんです どこでかって？ その説明には まず これを理解して下さい アーティストやデザイナーは 形やイメージを使って考えますが コンピュータが使うのは 数や数式だという事です この２つの世界を結びつけるのが 数学の一分野である 座標幾何学というものです これは 座標軸を設定して どのくらい右側にあるかをｘで表し どのくらい上方にあるかをｙで表すものです つまり ｘとｙの座標の値で ウディーが今どこにいるかを表せます 例えば このイメージの 左下角の座標が分かれば 残り全体のイメージの 位置がわかります 先ほどの ずらす様なアニメーションの動きは 「平行移動」と呼ばれ 始点の座標 ｘの値は１で 終点のｘの値は５の近辺でした これを数学を使って表すと 終点のｘの値は始点のｘの値より ４大きく つまり平行移動を 数学で表すと 足し算になります いいですね？ では スケーリングは？ これは サイズの 縮小・拡大です スケーリングは数学で 何にあたるか分かるかな？ 拡張？ 掛け算　その通り 何かを２倍の大きさにしたければ 座標のｘとｙの両方の値に ２を掛けるわけです ですから スケーリングを 数学で表すと 掛け算だと分かります いいですね？ これはどうでしょう？ 回転はどうでしょう？ くるっと回すのは？ 回転を数学で表すと 三角関数になります これを数式で表すと こうなります ちょっと難しそうですが 中学の２年か３年で習うはずです 三角関数の授業中に こんなの一体 何の役に立つのかと思ったら ピクサーのアニメーションで 何かが回転するたびに ピクサーのアニメーションで 何かが回転するたびに 三角関数が使われていると 思い出してください 僕が数学を好きになったのは 中学１年の時でした 中学１年生はいますか？ 数人いますね 中学１年の時の科学の先生が 僕の作っていたロケットの高度を 三角関数を使って 計算する方法を教えてくれました これは スゴイと思いました それ以来 数学のとりこになりました これは 古い数学です 長い事 知られている数学で 大昔のギリシャ人とかが作ったものです 時々こんな事を耳にします 興味深い数学は 全て出尽くしてしまったとか 数学は知り尽くされている というものです でも 実際には 新しい数学も 常に生まれているんです ピクサーで生まれたものも いくつかあります その例を １つお見せしましょう 初期の映画のキャラクターを いくつかお見せします 『ファインディング・ニモ』『モンスターズ・インク』 『トイ・ストーリー２』です 左上の青いキャラクターは？ ドリーですね これは簡単です もう少し難しく この右下のは 知っているかな？ 「アルのトイバーン」のアル・マクウィギン その通り これらのキャラクターは とても複雑です 形がとても複雑なんです 実は あのおもちゃの清掃員ですが 真ん中にいる男性ですが これが 彼の手のモデルです ここに持ってくるのに 空港の手荷物検査で いろいろ質問されました この手はとても複雑な形です 球体や筒を くっ付けた だけではありません それに 複雑な形であるだけでなく 複雑な動きもしなくてはなりません これをどう実現するのかですが まず 中点というものを 説明しましょう 点A と点B があって これを結ぶ線分があります まずは ２次元で見てみましょう ここで 中点 M は 先ほどの線分を真ん中で分ける点です このような位置関係です 数式と数字で表すために ここで 先ほどの座標を使います A と B の座標がわかれば M の座標も簡単に計算できます AB の座標の平均です これが分かれば ピクサーで働けますね さあ ここで もう少し高等なものをお見せしましょう 実際にやってみましょう これは ４つ角のある 多角形ですが これを滑らかな 曲線に変えてみましょう 中点の概念のみを使ってやってみます まず 最初にするのが 「分割」の操作です それぞれの辺に中点を追加します 図形上の４つの点が８つに増えました でも まだ滑らかではありません これを少し滑らかにするために これらの全ての点を 今ある位置から 右回り方向に隣接する点との 中点に移します これをアニメーションでお見せしましょう このステップを「平均」と呼びましょう 点の数は８と変わりませんが いくらか 滑らかです ここで さらに滑らかの曲線にするには どうしたら良いでしょう？ 繰り返しです 「分割」と「平均」です 点は16に増えました この２つのステップの 「分割」と「平均」をまとめて 「細分割」と呼びましょう 分割して平均する組み合わせです 点は32になりました もっと やりましょうか 点を64に増やしましょう なめらかな曲線が 見えてきましたか？ こうやって キャラクターの 形を作っていくわけです でも 先ほど言いましたが 動かせない 形の決まったものでは 物足りません これを動かさなくてはいけません このような曲線を動かすには 「細分割」が力を発揮するんです トイ・ストーリーに出てくる エイリアンですが あの声みたいに 「ウ～」って 準備いいですか？ このような曲線を動かすには 最初の４つの点を 動かすだけでいいんです 「ウ～」 すごいですね そう 思わない方 出口はあちらです これ以上すごいものは 今日はお見せしませんので... この「分割」と「平均」の概念は 面にも使えるんです 分割して平均し 分割して平均します これを細分割として行ない この方法を使って ピクサーでは全ての面を ３Dで作っています 「細分割」のアイデアが 初めて使われたのは 1997年のショート・フィルム 『ゲーリーじいさんのチェス』でした このゲーリーが おもちゃの清掃員として トイ・ストーリーにカメオ出演しています 彼の手が 細分割の元祖なんです 彼の手が 細分割の元祖なんです 手は細分割曲面ですが 彼の顔も細分割曲面で 上着もそうでした これが細分割前のゲーリーの手 これが 細分割後の手です 細分割はたくさんの面からなる 曲面を滑らかにし 皆さんが完成した映画で見るような 美しい曲面をつくります 以来 様々なキャラクターは 全てこの方法で作られています これは 『メリダとおそろしの森』の主役 メリダです 彼女のドレスは 細分割曲面で 手も顔もそうなんです 後ろの一族全ての 顔も手も 細分割曲面が使われています 今日は足し算や掛け算 三角関数や幾何が ピクサーの映画に重要だとわかりました もっと時間があれば 線形代数や 微分・積分なども大切だと お見せできます 今日お伝えしたかったのは 学校で習う数学 高校から 大学の２年まで程度のものが ピクサーで毎日使われているということです ありがとうございました