WEBVTT

00:00:00.800 --> 00:00:03.017
讓我們來做大量的習題

00:00:03.017 --> 00:00:07.036
只是想確保我們把基本三角函數掌握得很好

00:00:07.036 --> 00:00:11.447
讓我們來構思一些直角三角形

00:00:11.447 --> 00:00:13.668
讓我們來構思些直角三角形

00:00:13.668 --> 00:00:15.186
而且我想把它解釋得十厘清楚

00:00:15.186 --> 00:00:18.042
目前爲止，它們只適用於直角三角形

00:00:18.042 --> 00:00:23.475
所以如果你正在找一些非直角三角形裏的角的三角函數

00:00:23.475 --> 00:00:25.704
我們將看到 必須要構建直角三角形

00:00:25.704 --> 00:00:27.867
但現在我們只集中注意力在直角三角形

00:00:27.867 --> 00:00:31.344
因此我們說，我有一個三角形

00:00:31.344 --> 00:00:33.897
而且假設這裡的長度是7

00:00:33.897 --> 00:00:37.757
也假設，這條邊的長度

00:00:37.757 --> 00:00:39.452
假設是4

00:00:39.452 --> 00:00:42.516
讓我們找出這裡的斜邊將會是多少

00:00:42.516 --> 00:00:45.720
因此我們知道 讓我們把斜邊叫做“h”

00:00:45.720 --> 00:00:52.200
我們知道h的平方將等於 7的平方+4的平方

00:00:52.200 --> 00:00:55.194
這從勾股定理中來

00:00:55.194 --> 00:00:57.469
斜邊的平方等於

00:00:57.469 --> 00:01:01.974
其他兩條邊的平方的總和

00:01:01.974 --> 00:01:04.533
h的平方 = 7的平方 + 4的平方

00:01:04.533 --> 00:01:09.776
這就等於49+16

00:01:09.776 --> 00:01:11.800
49+16

00:01:11.800 --> 00:01:18.553
49+10=59，加上6等於65

00:01:18.553 --> 00:01:21.107
所以這是√65 這是 h平方

00:01:21.107 --> 00:01:25.705
讓我寫下：h平方 - 這是不同的陰影的黃色

00:01:25.705 --> 00:01:28.818
因此我們有一個數的平方是等於65

00:01:28.818 --> 00:01:33.533
我做得對嗎？49+10=59，加上另外的6等於65

00:01:33.533 --> 00:01:37.600
或者我們能說h等於，如果我們把兩邊的開方

00:01:37.600 --> 00:01:39.200
開方

00:01:39.200 --> 00:01:42.933
65的平方根，而且我們真的不能把它化簡了

00:01:42.933 --> 00:01:44.699
這是13

00:01:44.699 --> 00:01:47.463
這跟13乘以5一樣

00:01:47.463 --> 00:01:50.388
他們都不能完全平方

00:01:50.388 --> 00:01:51.804
它們都是質數 所以你不能再化簡它們

00:01:51.804 --> 00:01:55.467
這就等於65的平方根

00:01:55.467 --> 00:02:02.114
現在讓我們找，讓我們這個角的的三角函數

00:02:02.114 --> 00:02:05.457
假設這個角叫做Θ

00:02:05.457 --> 00:02:06.533
所以每當你做它

00:02:06.533 --> 00:02:09.467
你總是想要把它寫下來--至少對我來說，寫下來它起作用

00:02:09.467 --> 00:02:11.714
soh cah toa

00:02:11.714 --> 00:02:13.120
soh

00:02:13.120 --> 00:02:16.464
soh cah toa。我有些模糊的記憶

00:02:16.464 --> 00:02:18.786
從我的三角學老師

00:02:18.786 --> 00:02:21.293
也許我已經在幾本書裏讀過它了，我不知道 — — 你知道，關於

00:02:21.293 --> 00:02:23.867
一些類型的印度公主命名爲"soh cah toa" 或什麽的

00:02:23.867 --> 00:02:26.123
但它是一個非常有用的助記符

00:02:26.123 --> 00:02:27.564
這樣我們可以應用"soh cah toa"

00:02:27.564 --> 00:02:31.046
假設我們要找餘弦值

00:02:31.046 --> 00:02:34.436
我們想要找角的餘弦值

00:02:34.436 --> 00:02:37.965
我們想找角的餘弦值，你說："soh cah toa ！"

00:02:37.965 --> 00:02:40.800
所以"cah". "Cah"告訴我們如何處理餘弦值

00:02:40.800 --> 00:02:43.027
"cah"這部分告訴我們

00:02:43.027 --> 00:02:46.371
餘弦值是 鄰邊比斜邊

00:02:46.371 --> 00:02:51.433
餘弦值等於鄰邊

00:02:51.433 --> 00:02:55.798
現在，讓我們看一遍 Θ ； 哪條是鄰邊？

00:02:55.798 --> 00:02:57.702
我們都知道，斜邊

00:02:57.702 --> 00:03:00.767
我們知道，斜邊是這條

00:03:00.767 --> 00:03:04.761
所以它不能是那條。其他僅有的一條相鄰的邊

00:03:04.761 --> 00:03:07.133
不是斜邊，是4

00:03:07.133 --> 00:03:10.473
所以鄰邊在這裡，這條是

00:03:10.473 --> 00:03:14.374
這恰好是靠近角的旁邊

00:03:14.374 --> 00:03:15.754
這是構成這個三角形的一條邊之一

00:03:15.754 --> 00:03:17.133
這是4

00:03:17.133 --> 00:03:21.108
斜邊我們已經知道了是 √65

00:03:21.108 --> 00:03:25.380
因此是4除以√65

00:03:25.380 --> 00:03:29.142
有時候人們會希望你把分母有理化，意思是

00:03:29.142 --> 00:03:32.625
他們不喜歡分母是一個無理數

00:03:32.625 --> 00:03:35.227
就象√65一樣

00:03:35.227 --> 00:03:39.359
如果他們-如果你想重寫使它分母裏沒有無理數

00:03:39.359 --> 00:03:41.634
你可以乘以分子和分母

00:03:41.634 --> 00:03:43.306
用√65

00:03:43.306 --> 00:03:45.094
這顯然不會更改數字

00:03:45.094 --> 00:03:48.122
因爲我們上下乘以同樣的數

00:03:48.122 --> 00:03:49.111
所以我們把用1乘以這個數字

00:03:49.111 --> 00:03:52.780
這不會改變數，而且至少它可以去除分母中的無理數

00:03:52.780 --> 00:03:54.127
所以分子變成

00:03:54.127 --> 00:03:57.800
4x √65

00:03:57.800 --> 00:04:03.461
而且分母，√65 乘以 √65，等於65

00:04:03.461 --> 00:04:07.130
我們沒有去掉無理數，它依然在那裏，只是在分子那裏

00:04:07.130 --> 00:04:09.777
現在讓我們來做其他三角函數

00:04:09.777 --> 00:04:12.401
或者其他重要的三角函數

00:04:12.401 --> 00:04:14.399
將來我們將要學很多這些

00:04:14.399 --> 00:04:15.443
但它們都是從這些中延伸出來的

00:04:15.443 --> 00:04:19.733
因此讓我們想Θ的符號是什麽。再一次，用到 soh cah toa

00:04:19.733 --> 00:04:25.474
soh 告訴怎麽做正弦值。正弦值是對邊比斜邊

00:04:25.474 --> 00:04:29.200
正弦值等於對邊比斜邊

00:04:29.200 --> 00:04:31.372
正弦值是對邊比斜邊

00:04:31.372 --> 00:04:34.390
因此，哪條是這個角的對邊呢？

00:04:34.390 --> 00:04:38.430
我們從它走向對面，它面對什麽，它面對著7

00:04:38.430 --> 00:04:41.200
所以，對邊是7

00:04:41.200 --> 00:04:44.468
正好在這，這是對邊

00:04:44.468 --> 00:04:47.800
然後在斜邊，它是對邊比斜邊

00:04:47.800 --> 00:04:51.109
斜邊是√65

00:04:51.109 --> 00:04:52.966
65的平方根

00:04:52.966 --> 00:04:55.133
再一次如果我們想使它有理化

00:04:55.133 --> 00:04:59.933
我們可以乘以√65分之√65

00:04:59.933 --> 00:05:04.298
然後分子，我們會得到7√65

00:05:04.298 --> 00:05:07.966
在分母我們得到65

00:05:07.966 --> 00:05:10.474
現在讓我們來做正切值

00:05:10.474 --> 00:05:12.796
讓我們來做正切值

00:05:12.796 --> 00:05:14.793
因此，如果我問你正切值

00:05:14.793 --> 00:05:17.394
θ的正切值

00:05:17.394 --> 00:05:20.784
再一次回到soh cah

00:05:20.784 --> 00:05:23.106
toa, toa這一部分告訴我們怎樣做正切值

00:05:23.106 --> 00:05:24.800
它告訴我們

00:05:24.800 --> 00:05:27.053
它告訴我們

00:05:27.053 --> 00:05:29.867
正切值等於對邊

00:05:29.867 --> 00:05:33.137
等於對邊比

00:05:33.137 --> 00:05:35.867
對邊比鄰邊

00:05:35.867 --> 00:05:38.709
所以對這個角來說 我們已經找出了對邊

00:05:38.709 --> 00:05:41.124
是7，它對著7

00:05:41.124 --> 00:05:42.533
這條對邊是7

00:05:42.533 --> 00:05:46.372
所以，是7

00:05:46.372 --> 00:05:48.200
嗯，4是鄰邊

00:05:48.200 --> 00:05:51.295
這個4是鄰邊，所以鄰邊是4

00:05:51.295 --> 00:05:54.330
因此是7比4

00:05:54.330 --> 00:05:56.133
我們完成了

00:05:56.133 --> 00:05:59.375
我們找出了所有三角形內θ的所有比率

00:05:59.375 --> 00:06:00.416
讓我們做另一題

00:06:00.416 --> 00:06:02.719
讓我們做另一題。我將把它具體化，因爲現在我們已經說過

00:06:02.719 --> 00:06:06.434
x的正切值，θ的正切值。讓我把題目弄得複雜點

00:06:06.434 --> 00:06:08.431
假設

00:06:08.431 --> 00:06:10.799
假設，讓我畫另一個直角三角形

00:06:10.799 --> 00:06:13.772
這是另一個直角三角形

00:06:13.772 --> 00:06:17.533
我們正解決的一切題目

00:06:17.533 --> 00:06:21.109
假設，斜邊的長度是4

00:06:21.109 --> 00:06:26.357
假設這條邊的長度將會是2

00:06:26.357 --> 00:06:31.790
假設這條邊的長度將會是2√3

00:06:31.790 --> 00:06:33.462
我們能證明這個結果

00:06:33.462 --> 00:06:36.467
如果你把這條邊平方 所以你會有，讓我把它寫下來

00:06:36.467 --> 00:06:38.803
2乘以3的平方根之積的平方

00:06:38.803 --> 00:06:42.471
加上2的平方等於

00:06:42.471 --> 00:06:46.467
這是2 這將是4x3

00:06:46.467 --> 00:06:49.763
4x3+4

00:06:49.763 --> 00:06:53.478
這將會=12+4 = 16

00:06:53.478 --> 00:06:57.800
16確實是4的平方，因此這真的等於4的平方

00:06:57.800 --> 00:07:01.790
它等於4的平方，它滿足勾股定理

00:07:01.790 --> 00:07:06.133
如果你記得你在30，60，90三角形中，

00:07:06.133 --> 00:07:07.781
你可能會學習到幾何

00:07:07.781 --> 00:07:11.450
你可能會認出這個是一個30，60，90度三角形

00:07:11.450 --> 00:07:13.133
這個是直角

00:07:13.133 --> 00:07:15.867
我應該把它畫出來，表示出這是一個直角三角形

00:07:15.867 --> 00:07:20.366
這裡的這個是30度的角

00:07:20.366 --> 00:07:23.385
然後這個角

00:07:23.385 --> 00:07:26.125
是60度角

00:07:26.125 --> 00:07:27.797
它們是30 60 90 因爲

00:07:27.797 --> 00:07:31.791
30度角所對的邊=斜邊的一半

00:07:31.791 --> 00:07:36.800
60度角的對邊比另一條邊的值是√3

00:07:36.800 --> 00:07:38.432
不是比斜邊

00:07:38.432 --> 00:07:40.159
因此我們不準備

00:07:40.159 --> 00:07:43.415
這個的目的不是複習30 60 90三角形 盡管我剛做過

00:07:43.415 --> 00:07:46.933
讓我們真正地找三角形不同角的比值

00:07:46.933 --> 00:07:51.295
因此如果我問你

00:07:51.295 --> 00:07:54.639
什麽是30度角的正弦值

00:07:54.639 --> 00:07:58.447
記得30度是三角形的其中一個角，但它可以滿足

00:07:58.447 --> 00:08:01.698
當你有一個30度角而且你正在解決直角三角形的問題

00:08:01.698 --> 00:08:05.135
我們將來會有廣泛的定義，但如果你說30度的正弦值

00:08:05.135 --> 00:08:09.035
這裡的這個角是30度，因此我能用這個直角

00:08:09.035 --> 00:08:12.133
因此我們只需要記得 soh cah toa

00:08:12.133 --> 00:08:17.116
重寫它 soh cah toa

00:08:17.116 --> 00:08:22.782
正弦值soh告訴我們怎樣做正弦值。正弦值是對邊比斜邊

00:08:22.782 --> 00:08:26.358
30度的正弦值是對邊

00:08:26.358 --> 00:08:30.723
對邊是2比斜邊

00:08:30.723 --> 00:08:32.395
斜邊是4

00:08:32.395 --> 00:08:35.646
這是4分之二，也就等於二分之一

00:08:35.646 --> 00:08:40.800
30度的正弦值，你會看見這總是等於

00:08:40.800 --> 00:08:44.144
現在，什麽是

00:08:44.144 --> 00:08:46.867
什麽是餘弦值

00:08:46.867 --> 00:08:50.135
再一次回到 soh cah toa

00:08:50.135 --> 00:08:52.643
cah告訴我們怎樣做餘弦值

00:08:52.643 --> 00:08:56.033
餘弦值是鄰邊比斜邊

00:08:56.033 --> 00:08:59.051
因此，對於30度角來說，它的鄰邊是這條

00:08:59.051 --> 00:09:01.791
鄰邊是正好與它相鄰

00:09:01.791 --> 00:09:05.467
不是斜邊 是鄰邊比斜邊

00:09:05.467 --> 00:09:09.129
因此是2x√3

00:09:09.129 --> 00:09:13.633
鄰邊除以斜邊 除以4

00:09:13.633 --> 00:09:16.977
或者如果我們簡化它，我們用分子和分母同時除以2

00:09:16.977 --> 00:09:20.646
是√3/2

00:09:20.646 --> 00:09:22.782
最後我們做正切值

00:09:22.782 --> 00:09:27.800
30度角的

00:09:27.800 --> 00:09:30.305
我們回到soh cah toa

00:09:30.305 --> 00:09:31.699
soh cah toa

00:09:31.699 --> 00:09:34.800
toa 告訴我們怎樣做正切值，是對邊比鄰邊

00:09:34.800 --> 00:09:38.804
你找到30度角，因爲我們關注30度角的正切值

00:09:38.804 --> 00:09:42.101
30度角的正切值，對邊是2

00:09:42.101 --> 00:09:46.200
對邊是2，鄰邊是2√3

00:09:46.200 --> 00:09:48.045
它正好與它的鄰邊相鄰

00:09:48.045 --> 00:09:49.439
鄰邊的意思是旁邊

00:09:49.439 --> 00:09:52.039
因此2√3

00:09:52.039 --> 00:09:54.454
這就等於抵消兩個2

00:09:54.454 --> 00:09:56.776
得出1/√3

00:09:56.776 --> 00:10:00.723
或者我們可以同時用√3乘以分子和分母

00:10:00.723 --> 00:10:05.367
因此，我們有√3/√3

00:10:05.367 --> 00:10:08.804
因此這分子將會等於√3

00:10:08.804 --> 00:10:12.473
然後分母等於3

00:10:12.473 --> 00:10:15.800
因此我們已經使 √3/3

00:10:15.800 --> 00:10:17.442
十分公平

00:10:17.442 --> 00:10:20.693
現在讓我們用相同的三角形 算出60度的三角形比率

00:10:20.693 --> 00:10:22.457
因爲我們已經畫好了

00:10:22.457 --> 00:10:28.328
因此什麽是什麽是60度角的正弦值?

00:10:28.328 --> 00:10:30.166
我想你現在已經掌握訣竅了

00:10:30.166 --> 00:10:34.253
正弦值是 對邊比鄰邊，soh從soh cah toa中來

00:10:34.253 --> 00:10:36.668
從60度角看那哪條是對邊

00:10:36.668 --> 00:10:39.315
就是對著2√3

00:10:39.315 --> 00:10:42.566
因此對邊是 2√3

00:10:42.566 --> 00:10:45.306
而且從60度角，鄰邊是 對不起

00:10:45.306 --> 00:10:47.999
應該是對邊比斜邊，不想把你弄糊塗

00:10:47.999 --> 00:10:50.507
因此它是對邊比斜邊

00:10:50.507 --> 00:10:54.315
是2√3 / 4，4是斜邊

00:10:54.315 --> 00:10:59.981
因此它等於，簡化就是√3/2

00:10:59.981 --> 00:11:05.507
60度的餘弦值是多少

00:11:05.507 --> 00:11:10.244
因此記住soh cah toa. 餘弦值是鄰邊比斜邊

00:11:10.244 --> 00:11:13.667
鄰邊是與60度角相鄰的兩條邊

00:11:13.667 --> 00:11:17.907
因此它是2比斜邊4

00:11:17.907 --> 00:11:20.972
因此這等於1/2

00:11:20.972 --> 00:11:24.176
最後 什麽是正切值？

00:11:24.176 --> 00:11:27.984
什麽是60度的正切值？

00:11:27.984 --> 00:11:32.349
好的，正切值，soh cah toa 正切值是對邊比鄰邊

00:11:32.349 --> 00:11:34.671
60度的對邊是

00:11:34.671 --> 00:11:36.400
2√3

00:11:36.400 --> 00:11:38.000
2√3

00:11:38.000 --> 00:11:39.919
然後鄰邊是

00:11:39.919 --> 00:11:42.733
鄰邊是2

00:11:42.733 --> 00:11:44.800
60度的鄰邊是2

00:11:44.800 --> 00:11:48.650
因此它的對邊比鄰邊 2√3/2

00:11:48.650 --> 00:11:52.644
等於√3

00:11:52.644 --> 00:11:54.641
然後我只是想--看看它們之間的關係

00:11:54.641 --> 00:11:57.984
30度的正弦值等於60度的餘弦值

00:11:57.984 --> 00:12:01.333
30度的餘弦值等於60度的正弦值。

00:12:01.333 --> 00:12:03.966
然後這些東西都和對方相反

00:12:03.966 --> 00:12:05.635
我想如果你想想這個三角形

00:12:05.635 --> 00:12:07.105
它將會言之有理地解釋原因

00:12:07.105 --> 00:12:08.461
我們將會繼續延伸這個

00:12:08.461 --> 99:59:59.999
並且給你更多的練習在接下來的一些影片中