讓我們來做大量的習題 只是想確保我們把基本三角函數掌握得很好 讓我們來構思一些直角三角形 讓我們來構思些直角三角形 而且我想把它解釋得十厘清楚 目前爲止，它們只適用於直角三角形 所以如果你正在找一些非直角三角形裏的角的三角函數 我們將看到 必須要構建直角三角形 但現在我們只集中注意力在直角三角形 因此我們說，我有一個三角形 而且假設這裡的長度是7 也假設，這條邊的長度 假設是4 讓我們找出這裡的斜邊將會是多少 因此我們知道 讓我們把斜邊叫做“h” 我們知道h的平方將等於 7的平方+4的平方 這從勾股定理中來 斜邊的平方等於 其他兩條邊的平方的總和 h的平方 = 7的平方 + 4的平方 這就等於49+16 49+16 49+10=59，加上6等於65 所以這是√65 這是 h平方 讓我寫下：h平方 - 這是不同的陰影的黃色 因此我們有一個數的平方是等於65 我做得對嗎？49+10=59，加上另外的6等於65 或者我們能說h等於，如果我們把兩邊的開方 開方 65的平方根，而且我們真的不能把它化簡了 這是13 這跟13乘以5一樣 他們都不能完全平方 它們都是質數 所以你不能再化簡它們 這就等於65的平方根 現在讓我們找，讓我們這個角的的三角函數 假設這個角叫做Θ 所以每當你做它 你總是想要把它寫下來--至少對我來說，寫下來它起作用 soh cah toa soh soh cah toa。我有些模糊的記憶 從我的三角學老師 也許我已經在幾本書裏讀過它了，我不知道 — — 你知道，關於 一些類型的印度公主命名爲"soh cah toa" 或什麽的 但它是一個非常有用的助記符 這樣我們可以應用"soh cah toa" 假設我們要找餘弦值 我們想要找角的餘弦值 我們想找角的餘弦值，你說："soh cah toa ！" 所以"cah". "Cah"告訴我們如何處理餘弦值 "cah"這部分告訴我們 餘弦值是 鄰邊比斜邊 餘弦值等於鄰邊 現在，讓我們看一遍 Θ ； 哪條是鄰邊？ 我們都知道，斜邊 我們知道，斜邊是這條 所以它不能是那條。其他僅有的一條相鄰的邊 不是斜邊，是4 所以鄰邊在這裡，這條是 這恰好是靠近角的旁邊 這是構成這個三角形的一條邊之一 這是4 斜邊我們已經知道了是 √65 因此是4除以√65 有時候人們會希望你把分母有理化，意思是 他們不喜歡分母是一個無理數 就象√65一樣 如果他們-如果你想重寫使它分母裏沒有無理數 你可以乘以分子和分母 用√65 這顯然不會更改數字 因爲我們上下乘以同樣的數 所以我們把用1乘以這個數字 這不會改變數，而且至少它可以去除分母中的無理數 所以分子變成 4x √65 而且分母，√65 乘以 √65，等於65 我們沒有去掉無理數，它依然在那裏，只是在分子那裏 現在讓我們來做其他三角函數 或者其他重要的三角函數 將來我們將要學很多這些 但它們都是從這些中延伸出來的 因此讓我們想Θ的符號是什麽。再一次，用到 soh cah toa soh 告訴怎麽做正弦值。正弦值是對邊比斜邊 正弦值等於對邊比斜邊 正弦值是對邊比斜邊 因此，哪條是這個角的對邊呢？ 我們從它走向對面，它面對什麽，它面對著7 所以，對邊是7 正好在這，這是對邊 然後在斜邊，它是對邊比斜邊 斜邊是√65 65的平方根 再一次如果我們想使它有理化 我們可以乘以√65分之√65 然後分子，我們會得到7√65 在分母我們得到65 現在讓我們來做正切值 讓我們來做正切值 因此，如果我問你正切值 θ的正切值 再一次回到soh cah toa, toa這一部分告訴我們怎樣做正切值 它告訴我們 它告訴我們 正切值等於對邊 等於對邊比 對邊比鄰邊 所以對這個角來說 我們已經找出了對邊 是7，它對著7 這條對邊是7 所以，是7 嗯，4是鄰邊 這個4是鄰邊，所以鄰邊是4 因此是7比4 我們完成了 我們找出了所有三角形內θ的所有比率 讓我們做另一題 讓我們做另一題。我將把它具體化，因爲現在我們已經說過 x的正切值，θ的正切值。讓我把題目弄得複雜點 假設 假設，讓我畫另一個直角三角形 這是另一個直角三角形 我們正解決的一切題目 假設，斜邊的長度是4 假設這條邊的長度將會是2 假設這條邊的長度將會是2√3 我們能證明這個結果 如果你把這條邊平方 所以你會有，讓我把它寫下來 2乘以3的平方根之積的平方 加上2的平方等於 這是2 這將是4x3 4x3+4 這將會=12+4 = 16 16確實是4的平方，因此這真的等於4的平方 它等於4的平方，它滿足勾股定理 如果你記得你在30，60，90三角形中， 你可能會學習到幾何 你可能會認出這個是一個30，60，90度三角形 這個是直角 我應該把它畫出來，表示出這是一個直角三角形 這裡的這個是30度的角 然後這個角 是60度角 它們是30 60 90 因爲 30度角所對的邊=斜邊的一半 60度角的對邊比另一條邊的值是√3 不是比斜邊 因此我們不準備 這個的目的不是複習30 60 90三角形 盡管我剛做過 讓我們真正地找三角形不同角的比值 因此如果我問你 什麽是30度角的正弦值 記得30度是三角形的其中一個角，但它可以滿足 當你有一個30度角而且你正在解決直角三角形的問題 我們將來會有廣泛的定義，但如果你說30度的正弦值 這裡的這個角是30度，因此我能用這個直角 因此我們只需要記得 soh cah toa 重寫它 soh cah toa 正弦值soh告訴我們怎樣做正弦值。正弦值是對邊比斜邊 30度的正弦值是對邊 對邊是2比斜邊 斜邊是4 這是4分之二，也就等於二分之一 30度的正弦值，你會看見這總是等於 現在，什麽是 什麽是餘弦值 再一次回到 soh cah toa cah告訴我們怎樣做餘弦值 餘弦值是鄰邊比斜邊 因此，對於30度角來說，它的鄰邊是這條 鄰邊是正好與它相鄰 不是斜邊 是鄰邊比斜邊 因此是2x√3 鄰邊除以斜邊 除以4 或者如果我們簡化它，我們用分子和分母同時除以2 是√3/2 最後我們做正切值 30度角的 我們回到soh cah toa soh cah toa toa 告訴我們怎樣做正切值，是對邊比鄰邊 你找到30度角，因爲我們關注30度角的正切值 30度角的正切值，對邊是2 對邊是2，鄰邊是2√3 它正好與它的鄰邊相鄰 鄰邊的意思是旁邊 因此2√3 這就等於抵消兩個2 得出1/√3 或者我們可以同時用√3乘以分子和分母 因此，我們有√3/√3 因此這分子將會等於√3 然後分母等於3 因此我們已經使 √3/3 十分公平 現在讓我們用相同的三角形 算出60度的三角形比率 因爲我們已經畫好了 因此什麽是什麽是60度角的正弦值? 我想你現在已經掌握訣竅了 正弦值是 對邊比鄰邊，soh從soh cah toa中來 從60度角看那哪條是對邊 就是對著2√3 因此對邊是 2√3 而且從60度角，鄰邊是 對不起 應該是對邊比斜邊，不想把你弄糊塗 因此它是對邊比斜邊 是2√3 / 4，4是斜邊 因此它等於，簡化就是√3/2 60度的餘弦值是多少 因此記住soh cah toa. 餘弦值是鄰邊比斜邊 鄰邊是與60度角相鄰的兩條邊 因此它是2比斜邊4 因此這等於1/2 最後 什麽是正切值？ 什麽是60度的正切值？ 好的，正切值，soh cah toa 正切值是對邊比鄰邊 60度的對邊是 2√3 2√3 然後鄰邊是 鄰邊是2 60度的鄰邊是2 因此它的對邊比鄰邊 2√3/2 等於√3 然後我只是想--看看它們之間的關係 30度的正弦值等於60度的餘弦值 30度的餘弦值等於60度的正弦值。 然後這些東西都和對方相反 我想如果你想想這個三角形 它將會言之有理地解釋原因 我們將會繼續延伸這個 並且給你更多的練習在接下來的一些影片中